精品解析：浙江省绍兴诸暨市城东中学2024-2025学年九年级下学期3月考试数学试卷

城东初中2024学年第二学期3月阶段性检测 八年级数学试题卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、方程是一元一次方程，故选项不符合题意； B、不是整式方程，故选项不符合题意； C、方程只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程，符合一元二次方程的定义，故选项C符合题意． B、方程是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 2. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质，除法，加减法运算规则依次计算判定即可． 【详解】解：A、，选项A错误，不符合题意； B、，选项B错误，不符合题意； C、，不是同类二次根式，不能合并，选项C错误，不符合题意； D、，选项D正确，符合题意； 故选：D． 3. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程没有实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选A． 【点睛】本题考查根与判别式．熟练掌握时，一元二次方程没有实数根，是解题的关键． 4. 一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数，一定不会发生变化统计量是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项，结合方差、平均数、中位数及众数的求法逐项验证即可得到答案． 【详解】A、原来数据的方差加入一个数后的方差一定发生了变化，不符合题意； B、原来数据的平均数是＝，加入一个数，平均数一定变化，不符合题意； C、原来数据的中位数是3，加入一个数后，如果中位数一定变化，不符合题意； D、原来数据的众数是2，加入一个数后众数仍为2，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查统计量的计算，熟记方差、平均数、中位数及众数的求法是解决问题的关键． 5. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．利用多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：因为多边形的内角和公式为， 所以， 解得， 所以这个多边形的边数是． 故选：B． 6. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是解题关键． 平行四边形中，利用邻角互补可求得的度数，利用对角相等，即可得的值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ． 故选：A． 7. 一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法．根据配方法的步骤解答，即可． 【详解】解： ∴， 即， ∴， 解得：． 故选：A 8. 某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件元销售时，每天销售是件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件元，设每件T恤降低元，如果服装店一天能赢利元，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为件，每件的利润为，由总利润每件的利润数量建立方程求出其解即可． 【详解】解：由题意，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出每件的利润和销售的数量． 9. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，，，， ，，， 的平分线和的平分线交于上一点， ，， ，，， ，， ， ， ； 故选：C． 10. 已知一元二次方程（）的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，继而，那么，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解． 【详解】对于二次根式，要使其有意义，被开方数需满足． 解不等式，两边同时减去2，得． 所以的取值范围是． 故答案为：． 12. 某果园随机从甲、乙两个品种的葡萄树中各采摘10棵，得到两个品种产量的方差分别为（），（），则产量比较稳定的品种是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义和统计学意义，熟练掌握方差的统计学意义是解题的关键．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，数据波动越大，稳定性越小；方差越小，数据波动越小，稳定性越好．根据方差的意义即可判断． 【详解】解： ， 根据方差的意义可知：方差越大，数据波动越大，稳定性越小；方差越小，数据波动越小，稳定性越好． 产量比较稳定的品种是乙． 故答案为：乙． 13. 已知y=++2，那么xy=______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得出：， 解得：， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可． 14. 已知三角形的一边长为6，另外两边，为方程的解，则当______时，三角形为等腰三角形． 【答案】16或12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入， 得出， 解得， 此时一元二次方程为， 解得：，， ∴此时， ， ∴此时能够构成三角形； 同理：当，则把代入， 得出， 解得； 当为腰长时，方程， 则， 解得， 此时方程为此时一元二次方程为， 解得：， ∴此时， ， ∴能够构成三角形； 故答案为：12或16． 15. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，点是正六边形的中心，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 作于点， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 16. 如图，的面积为27，点为边上的一点，延长交的平行线于点，连接，以、为邻边作平行四边形，交边于点，连结，当时，则的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用面积的和差关系求出是解题的关键．由面积的和差关系可求，即可求解． 【详解】解：连接， ∵的面积为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、简答题（共8小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据二次根式的性质和运算法则计算即可求解； （）利用平方差公式计算即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解题关键． （1）运用因式分解法分解成两个一元一次方程，解方程即可； （2）移项后运用因式分解法分解成两个一元一次方程，解方程即可 小问1详解】 解：， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 19. 某校为了了解初二学生寒假期间参加体育锻炼的天数，随机抽取了部分初二学生进行调查，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查中，体育锻炼天数的众数为______天，中位数为______天． （2）请补全条形统计图． （3）如果该校初二有名学生，请你估计初二约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于天． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息是解题关键． （1）先求出本次抽样调查人数、锻炼天的人数，根据众数和中位数的定义即可求解； （2）根据（1）中所求数据补图即可； （3）用总人数乘以“活动时间不少于天”的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次抽样调查人数为（名）， 锻炼天的人数是（名）， 众数是天， 将体育锻炼天数从小到大排序，排在中间位置的两个数都是天， 中位数为天． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：补图如下： 【小问3详解】 解：本次抽样调查中，参加体育锻炼的天数不少于天的学生有（名）， （名）． 答：估计初二约有名学生参加体育锻炼的天数不少于天． 20. 有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】（1）， （2）剩余木板的面积为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：剩余木板（阴影部分）的面积为． 21. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的各个性质是解题关键． （1）由平行四边形的性质结合角平分线的定义证得，即可求解； （2）由平行四边形的性质结合角平分线的定义可得，再求出，即可求解的长． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）26，12 （2）剪去正方形的边长为 （3）剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 小问1详解】 解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）若关于方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，令，求的最大值． 【答案】（1）是 （2）0或 （3）16 【解析】 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 解得：，， ∵，符合邻根方程的定义， ∴是邻根方程； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是邻根方程 ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； 【小问3详解】 解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 答：t的最大值为16． 【点睛】本题考查一元二次方程、根与系数关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 24. 如图，平行四边形中，，，．点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为秒． （1）求平行四边形的面积； （2）求当时，的面积； （3）当的面积是平行四边形面积的时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）过点作于点，由角所对的直角边等于斜边的一半，得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解； （）过点作，分别计算出时，，和的长，再按三角形面积公式计算即可； （）分点在线段上，点在线段上和点在线段上，点在线段上，两种情况计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为； 【小问2详解】 解：当时，，， 如图，过点作，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴当时，的面积为； 【小问3详解】 解：由（）知平行四边形的面积为， ∵的面积是平行四边形面积的， ∴的面积为：， 当点在线段上运动t秒时，点在上运动t秒，，，高为， ∴， 解得：（负值已舍去）； 点在线段上，且运动时间为秒时点在线段上， 如图，过点作垂直于点，垂直于延长线于点， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∵， 整理得：， 解得：（舍）或， ∴当时，点在线段上，点在线段上，符合题意， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 城东初中2024学年第二学期3月阶段性检测 八年级数学试题卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列式子计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数，一定不会发生变化的统计量是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 5. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是( ) A 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 9 8. 某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件元销售时，每天销售是件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件元，设每件T恤降低元，如果服装店一天能赢利元，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 已知一元二次方程（）的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 某果园随机从甲、乙两个品种葡萄树中各采摘10棵，得到两个品种产量的方差分别为（），（），则产量比较稳定的品种是______．（填“甲”或“乙”） 13. 已知y=++2，那么xy=______． 14. 已知三角形的一边长为6，另外两边，为方程的解，则当______时，三角形为等腰三角形． 15. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，点是正六边形的中心，则的长为______． 16. 如图，的面积为27，点为边上的一点，延长交的平行线于点，连接，以、为邻边作平行四边形，交边于点，连结，当时，则的面积为______． 三、简答题（共8小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 某校为了了解初二学生寒假期间参加体育锻炼的天数，随机抽取了部分初二学生进行调查，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查中，体育锻炼天数的众数为______天，中位数为______天． （2）请补全条形统计图． （3）如果该校初二有名学生，请你估计初二约有多少名学生参加体育锻炼天数不少于天． 20. 有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 21. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，令，求的最大值． 24. 如图，平行四边形中，，，．点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为秒． （1）求平行四边形面积； （2）求当时，的面积； （3）当的面积是平行四边形面积的时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$