精品解析：甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期3月月考检测数学试卷

2025学年春学期高一年级3月月考检测 高一数学试卷 2025年4月7日 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 样本数据25，17，26，31，29，18，28，40的中位数为（ ） A. 31 B. 29 C. 30 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】首先将样本排序，再根据中位数定义，即可求解. 【详解】样本数据按照从小到大的顺序排列为17，18，25，26，28，29，31，40，中间的两个数为26，28，故中位数为． 故选：D 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】先应用向量加法，再应用垂直得出平面向量的数量积为0计算求参. 【详解】因为，， 所以. 又，所以， 解得或. 故选：C. 3. 高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（ ） A. 15，9，12 B. 9，15，12 C. 12，9，15 D. 15，12，9 【答案】A 【解析】 【分析】由分层抽样的方法结合题意计算即可. 【详解】利用分层抽样的方法得，高一（1）班应抽出（人）， 高一（2）班应抽出（人）， 高一（3）班应抽出（人）， 则高一（1）班，高一（2）班，高一（3）班分别被抽取的人数是15，9，12， 故选：A. 4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理易得. 【详解】因，，由正弦定理，. 故选：A. 5. 已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，，三点共线，可得，结合基本不等式即可求. 【详解】因为，，三点共线， 所以存在非零实数，使得， 所以， 所以， 所以， 所以. 当时等号成立，所以的最小值为 故选：A 6. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 7. 在中，角所对的边分别为，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即，因，则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：B. 8. 在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得则，进一步可得，即，由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值，利用余弦定理算出，解即可得的最小值. 【详解】因为，，则，故， 故，所以，所以当垂直于时，取得最小值. 在中，由余弦定理得， 在中，， 由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值， 此时，即的最小值为. 故选：A. 二、多选题 9. 据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄平均数的估计值为30 C. 该场观众年龄众数的估计值为35 D. 该场观众年龄60%分位数的估计值为34 【答案】ACD 【解析】 【分析】由频率和为1求得判断A选项；由频率分布直方图的平均数公式求得该场观众年龄平均数的估计值，判断B选项；由频率分布直方图中纵轴最高组数据得到众数的估计值，判断C选项；由频率分布直方图求得该场观众的百分位数即可判断D选项. 【详解】∵， ∴，A选项正确； ，B选项错误； 由频率分布直方图可知该场观众年龄众数的估计值为35，C选项正确； ∵，， ∴该场观众年龄60%分位数的估计值为， ∴， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 10. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可. 【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确； B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误； C选项：，又，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； D选项：，又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 起点相同的单位向量均相等 B. 若向量，则 C. 若向量，，则、不一定平行 D. 任意两向量、均有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相等向量的概念可判断A选项；根据向量垂直的等价条件可判断B选项；根据共线向量的概念可判断C选项；利用平面向量数量积的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，起点相同的单位向量的方向不一定相同，故这些向量不一定相等，A错； 对于B选项，若向量，则，B对； 对于C选项，向量，，若，则、不一定平行； 若，若、中至少有一个为零向量，则、平行， 若、均为非零向量，可设，，则，则、平行， 综上所述，若向量，，则、不一定平行，C对； 对于D选项，若、中至少有一个零向量，则， 若、都为非零向量，设这两个向量的夹角为，则，则， 所以，， 综上所述，，D对. 故选：BCD. 12. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由诱导公式和逆用两角和的余弦公式可得结果；对于B，由诱导公式和逆用二倍角的正弦公式可得结果； 对于C，由辅助角公式可得结果；对于D，逆用两角和的正切公式可得结果. 【详解】对于A，由诱导公式可知，逆用两角和的余弦公式可得 ， 故A错误； 对于B，由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得 ，故B正确； 对于C，由辅助角公式可知， 故C正确； 对于D，逆用两角和的正切公式可得，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 13. 某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是________． 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 【答案】729 【解析】 【分析】找到第4行第4列的数开始向右数，三个数字为一组，如果数据超过899则跳过，数到第5个899以内的数字即可. 【详解】从685开始向右数，即685，992，696，827，310，991，696，729，跳过992，991，696重复，跳过， 所以第5个数字为729. 故答案为：729. 14. 已知是第四象限角且，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知求得，再根据两角差的正切公式计算即可． 【详解】因为是第四象限角且，所以，， 因为，所以， 则. 故答案为：. 15. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理整理可得，构建，可知在内有2个零点，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得， 构建，可知在内有2个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 【答案】重心 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质判断即可. 【详解】由，得， 设边的中点为，则，于是， 即，因此点在射线上（除点外）， 所以点的轨迹必过的重心. 故答案为：重心 四、解答题 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理计算得出，再计算得出再结合角的范围得出； （2）先根据正弦定理得出，再由余弦定理求出，即可得到的周长. 【小问1详解】 因为，即， 由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为为锐角，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，又， 由正弦定理得， 由余弦定理， 则，即， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 18. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可； （2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可； （3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，，且与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得， 解得或， 所以的值为. 19. 如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：，） 【答案】安全； 过点作，垂足为.如图所示： AI 根据题意可知，， ， 且 故, , ， 故，即这轮船继续向正东方向航行安全. 【解析】 【分析】过点作，计算出即可得出结论. 【详解】略 20. 2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? （3）四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1），79.5 （2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值，再利用平均数的定义求解； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于或等于75，利用百分位数的定义求解； （3）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解. 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． 【小问2详解】 超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 因为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】 把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96. 21. 如图，在梯形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，，，求； （3）若与交于点，，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）利用（1）的结论，运用数量积的运算律和定义即可求得； （3）（方法一），利用三角形相似，将用表示出来，再由（1）即可求得；（方法二），利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由图， ； . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 故. （方法二）设，则 ， 设，则， 则解得 所以. 故. 22. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值； （3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以为锐角， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 由正弦定理得 . 令，则在上单调递增， 而，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年春学期高一年级3月月考检测 高一数学试卷 2025年4月7日 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 样本数据25，17，26，31，29，18，28，40的中位数为（ ） A. 31 B. 29 C. 30 D. 27 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 3. 高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（ ） A. 15，9，12 B. 9，15，12 C. 12，9，15 D. 15，12，9 4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄平均数的估计值为30 C. 该场观众年龄众数的估计值为35 D. 该场观众年龄60%分位数的估计值为34 10. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 起点相同的单位向量均相等 B. 若向量，则 C. 若向量，，则、不一定平行 D. 任意两向量、均有 12. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 13. 某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是________． 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 14. 已知是第四象限角且，，则的值为________. 15. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 16. 已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 四、解答题 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． （1）求； （2）若，求的周长． 18. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 19. 如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：，） 20. 2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? （3）四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 21. 如图，在梯形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，，，求； （3）若与交于点，，求. 22. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $