精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县巴彦县第一中学、第三中学 2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年度下学期八年级第一次月考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，，5 C. 6，8，11 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，可以构成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练准确掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 利用轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； B. 该图形不是轴对称图形，故该选项符合题意； C. 该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的运算逐项判断即可． 【详解】解：A.，该选项错误，故该选项不符合题意； B.，该选项错误，故该选项不符合题意； C.，该选项正确，故该选项符合题意； D.，该选项错误，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，可化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B. 不可化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； C. ，可化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D. ，可化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据数轴判断出的符号，再化简二次根式后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 6. 若实数，满足，则以，的值为两直角边的直角三角形的斜边长是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性可求出的值，再利用勾股定理计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴以的值为两直角边的直角三角形的斜边长是， 故选：C． 7. 如图，等腰，周长为，，，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质可得的长度，进而根据勾股定理，即可求解 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选：D 8. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，本题是立体图形，要注意找出直角三角形，根据勾股定理求解． 两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为， 这根吸管经过矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形， 吸管的总长度为． 故选：C． 9. 如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式的除法法则确定被开方数的取值范围．根据二次根式除法法则成立的条件，分别分析分子、分母中被开方数的取值范围，再取两部分的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得： 分子有意义，则，即； 分母有意义且分母不为0，则，即． 综合两者，的取值范围是， 故选：D． 10. 下列命题中：①若中，，则是直角三角形；②若为直角三角形，且，则；③在中，若，则不是直角三角形；④在中，若，则为直角三角形；其中真命题的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定和勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质和判定定理． 利用直角三角形的判定方法和勾股定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：①假设为，则为，为， 三个角中没有角为，不是直角三角形，故①错误，是假命题，不符合题意； ②若为直角三角形，且，根据勾股定理，则，故②正确，是真命题，符合题意； ③在中，若时，则是直角三角形，故③错误，是假命题，不符合题意； ④在中，若，即，，则为直角三角形，故④正确，是真命题，符合题意； 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 【答案】x≥﹣2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得x+2≥0， 解得x≥﹣2， 所以x的取值范围为x≥﹣2． 故答案为x≥﹣2． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使二次根式有意义，需让被开方数是非负数即可解决问题． 12. 在实数范围内将多项式因式分解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的性质； 根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解． 【详解】解：∵， ∴根据同类二次根式的性质有：， 解得． 故答案为： 14. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 15. 荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为_____米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设未知数，利用勾股定理即可解答此题． 【详解】解：由图可知，四边形是矩形， ， ， 假设的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，， 故答案为：5． 16. 如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质与折叠问题，解题的关键是利用折叠的性质和勾股定理建立方程求解． 通过矩形性质与折的性质得到相等角，推出，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解的长． 【详解】解：根据题意得：， 设，则， 在和中：，， 又， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：5． 17. 在中，，，，则的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】作于D，分两种情况画出图形，求出和，即可求解． 【详解】解：如图1，作于D， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图2，同理可求得， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，正确分类求解是关键． 18. 如图，四边形中，，连接对角线，，的面积为18，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线证明三角形全等，结合面积和勾股定理求解． 通过作辅助线过作于，构造全等三角形，证明，得到，利用面积公式求出的长度，再借助勾股定理计算． 【详解】过作于， ， ， ． 又， ， ， 由面积为18， ，又， ，解得． 在中，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 三、解答题（19-23题各6分，24、25题每题8分，26、27题每题10分共计66分） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的除法法则计算，再化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中x＝－2． 【答案】解：原式=，． 【解析】 【详解】试题分析：先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后代x的值，进行二次根式化简． 解：原式=． 当x＝－2时，原式. 21. 图中方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段与的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中以线段为腰画出（点在小正方形的顶点上），使为等腰三角形，且的面积为10； （2）在图中以为斜边画出（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，且的面积为2． 【答案】（1） 如图即为所求， （2）即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，等腰三角形的性质，三角形面积公式，掌握网格的特点和勾股定理是解题的关键． （1）根据网格的特点，以及勾股定理求得的长为，根据面积等于10即可确定点C的位置，进而作出； （2）根据网格的特点，以及勾股定理，先求得的长为，根据已知条件可知，使为直角三角形，且的面积为2，据此找到F点，使得，，连接，，则即为所求． 【小问1详解】 如图，∵ 且 【小问2详解】 如图：，，， ， ， ． 22. 某日我海防巡逻艇在处探测到在它正东方向距它海里的处有一艘可疑船只，该船只正以每小时海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，已知，半小时后恰好在处拦截到该船只． （1）求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ （2）求此时该船只所在处与的距离为多少海里？ 【答案】（1）巡逻艇的速度为每小时海里 （2）此时该船只所在处与的距离为海里 【解析】 【分析】（1）先求得，在中，由勾股定理求出海里，根据速度路程时间即可得出答案； （2）作于，利用等积法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ∵， ∴， ， 海里，（海里）， ∴在中，由勾股定理得（海里）， （海里/小时）， 答：巡逻艇的速度为每小时海里． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ， （海里）， 答：此时该船只所在处与的距离为海里． 23. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：①，②，③，④，⑤，⑥． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）_____；_____． （2）化简：． （3）若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据二次根式的化简求值，通过整体代入思想求解即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 24. 已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米． （1）求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米； （2）若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？ 【答案】（1）此时云梯顶端离地面的高度为9米 （2）4米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在中， 利用勾股定理求解即可； （2）先求出，在中，由勾股定理求出，然后求出的长即可求解． 【小问1详解】 解：为长方形， 在中，由勾股定理 答：此时云梯顶端离地面的高度为9米 【小问2详解】 解：， 在中，由勾股定理 答：消防车需要向建筑物方向移动4米到达B处． 25. 某铸造厂承揽了一项铸造任务，因技术升级改造，实际铸造一个大长方体模块需要的费用比原计划少5元，则实际用3000元铸造的大长方体模块与原计划用4000元铸造的大长方体模块数量相等． （1）求实际每个大长方体模块的铸造费用是多少元？ （2）若用棱长为2分米的10个正方体实心模块熔铸后，恰好能熔铸成底面是正方形，高5分米的长方体实心模块，求长方体模块的底面边长为多少分米？ 【答案】（1）实际每个大长方体模块的铸造费用是15元 （2）长方体模块的底面边长为4分米 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用与立体图形体积计算，解题的关键是根据数量关系列分式方程求解费用，利用体积不变性计算长方体边长． （1）设实际每个大长方体模块的铸造费用是元，根据数量相等列分式方程求解； （2）利用正方体与长方体体积相等，列方程求底面边长． 【小问1详解】 解：设实际每个大长方体模块的铸造费用是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：实际每个大长方体模块的铸造费用是15元； 【小问2详解】 解：设长方体模块的底面边长为分米， 根据题意得：， 解得， 答：长方体模块的底面边长为4分米． 26. 数学活动课上，小丽为了探究等腰直角三角形（，）与角相结合的相关知识，进行了如下操作： （1）初步探究：如图1，将另一等腰直角三角形的角的顶点与重合，将三角板绕点转动，交于，交于．她发现若，则，请证明她发现的结论． （2）大胆尝试：如图2，她猜想在三角板转动过程中，线段、与之间的数量关系为，请证明她的猜想． （3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，转动三角板，当与边的延长线相交于点时，过点作于交于点，过点作于，交于点，当，时，求线段的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2） 证明： 如图，作，截取，连接、， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， （SAS）， ，， ， ，，， （SAS）， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等角对等边，三角形的外角定理，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是根据图形构造辅助线，并灵活应用以上性质定理． （1）利用等腰三角形的性质，等角对等边，三角形的外角定理即可证明出； （2）构造辅助线，根据条件得出，利用三角形全等得出对应边相等，然后利用勾股定理和等量代换即可得出结论； （3）根据（2）的结论，假设出，利用勾股定理求出未知数，求出相应的边长，再证明出，得到对应边相等，即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 由（2）得 ， ， ， 设，， ， ， 于， ， ， 于， ， ， ， ， ， （ASA）， ， ． 27. 已知在平面直角坐标中，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，连接，作，交于点，且． （1）求点的坐标； （2）动点从点O出发，以每秒2个单位的速度沿轴正半轴向上运动，连接、，设点运动的时间为秒，的面积为，请用含的式子表示S．（直接写出的取值范围） （3）在（2）的条件下，在点运动的过程中，当为等腰三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3）或或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的几何问题，包括坐标求解，三角形面积表示以及等腰三角形存在性问题，解题的关键是利用勾股定理，三角形全等性质以及等腰三角形的性质进行分析计算． （1）利用勾股定理求出长度，再通过得到点坐标． （2）根据点位置分情况讨论，利用三角形面积公式求解． （3）分三种情况，结合距离公式求解点坐标． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 作轴于，如图， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ； 【小问2详解】 解：①当时，，， ； ②当时，，，， ； 【小问3详解】 解：作轴于； ， ①当时，设，， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ， ； ③当时，， ， ； 综上，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期八年级第一次月考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，，5 C. 6，8，11 D. 5，12，13 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数，满足，则以，的值为两直角边的直角三角形的斜边长是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 7. 如图，等腰，周长为，，，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中：①若中，，则是直角三角形；②若为直角三角形，且，则；③在中，若，则不是直角三角形；④在中，若，则为直角三角形；其中真命题的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 12. 在实数范围内将多项式因式分解为_____． 13. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则的值为_____． 14. 已知，则________ 15. 荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为_____米． 16. 如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为_____． 17. 在中，，，，则的长为______． 18. 如图，四边形中，，连接对角线，，的面积为18，则的长为_____． 三、解答题（19-23题各6分，24、25题每题8分，26、27题每题10分共计66分） 19. 计算： （1）． （2）． 20. 先化简，再求值：，其中x＝－2． 21. 图中方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段与的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中以线段为腰画出（点在小正方形的顶点上），使为等腰三角形，且的面积为10； （2）在图中以为斜边画出（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，且的面积为2． 22. 某日我海防巡逻艇在处探测到在它正东方向距它海里的处有一艘可疑船只，该船只正以每小时海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，已知，半小时后恰好在处拦截到该船只． （1）求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ （2）求此时该船只所在处与的距离为多少海里？ 23. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：①，②，③，④，⑤，⑥． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）_____；_____． （2）化简：． （3）若，请按照小丽的方法求的值． 24. 已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米． （1）求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米； （2）若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？ 25. 某铸造厂承揽了一项铸造任务，因技术升级改造，实际铸造一个大长方体模块需要的费用比原计划少5元，则实际用3000元铸造的大长方体模块与原计划用4000元铸造的大长方体模块数量相等． （1）求实际每个大长方体模块的铸造费用是多少元？ （2）若用棱长为2分米的10个正方体实心模块熔铸后，恰好能熔铸成底面是正方形，高5分米的长方体实心模块，求长方体模块的底面边长为多少分米？ 26. 数学活动课上，小丽为了探究等腰直角三角形（，）与角相结合的相关知识，进行了如下操作： （1）初步探究：如图1，将另一等腰直角三角形的角的顶点与重合，将三角板绕点转动，交于，交于．她发现若，则，请证明她发现的结论． （2）大胆尝试：如图2，她猜想在三角板转动过程中，线段、与之间的数量关系为，请证明她的猜想． （3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，转动三角板，当与边的延长线相交于点时，过点作于交于点，过点作于，交于点，当，时，求线段的长． 27. 已知在平面直角坐标中，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，连接，作，交于点，且． （1）求点的坐标； （2）动点从点O出发，以每秒2个单位的速度沿轴正半轴向上运动，连接、，设点运动的时间为秒，的面积为，请用含的式子表示S．（直接写出的取值范围） （3）在（2）的条件下，在点运动的过程中，当为等腰三角形时，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $