精品解析：江西省上饶市弋阳县第一中学、横峰中学、铅山县第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷

高一数学试卷 一、单选题（本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 和相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ） A. 11π B. 12π C. 15π D. 16π 6. 函数（且）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若角是第三象限角，则可能在第三象限 C. 若且，则为第二象限角 D. 锐角终边上一点坐标为，则 10. 函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数图象与函数图象有相同的对称中心，则（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 在区间上存在函数图象的2个对称中心 D. 若函数在区间上单调递增，则 11. 已知是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（　　） A. B. C. D. 1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为__________. 13. 已知函数，则______. 14. 已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角． （1）求； （2）求的值. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17. 如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点. （1）若是的中点，，，求实数的值； （2）若，，求的最大值. 18. 已知，相邻两个最值点间的距离为. （1）求函数的解析式及其对称中心； （2）求不等式在上的解集； （3）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、单选题（本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 和相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式将三角函数化为锐角三角函数，逐项判断即可. 【详解】， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基底的性质结合选项可以判断. 【详解】因为，所以不能作为平面向量的基底，A不正确； 因为不共线，所以能作为平面向量的基底，B正确； 因为，所以不能作为平面向量的基底，C不正确； 因为，所以不能作为平面向量的基底，D不正确； 故选：B 3. 已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P的坐标为，表示出，的坐标，由且P在直线上，故分或两种情况讨论，根据向量相等得到方程组，解得． 【详解】解：设点P的坐标为，， 则，． 由且点P在直线上，得或． ∴或解得或 ∴点P的坐标为或． 故选： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 4. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”； 综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ） A. 11π B. 12π C. 15π D. 16π 【答案】B 【解析】 【分析】根据斐波那契螺旋线的特点，首先求出正方形的边长，再由弧长公式求题图中斐波那契螺旋线的长度. 【详解】不妨设正方形的边长为，则，解得， 所以图中斐波那契螺旋线的长度为． 故选：B． 6. 函数（且）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可将函数化简为，从而可求解. 【详解】由题意，，化简得， 根据函数的图象和性质， 可得在内为增函数且为正值， 在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确. 故选：C. 7. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量坐标，根据，结合向量坐标运算，即可求得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得， 则，. 因为，故， 因为，所以（负值舍去）， 所以， 故.又，则， 因为，所以， 解得，所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：注意到题目中的垂直关系，由此可以建立直角坐标系，利用向量的坐标运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题. 8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造定义在上的函数，由函数的奇偶性和单调性将题设不等式转换为，再由函数的定义域、奇偶性和单调性列出不等式组计算即可得解. 【详解】令， 则函数定义域为关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以不等式 ， 因为函数和在上均为增函数， 所以函数为定义在上的增函数， 所以， 所以不等式的解集是. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若角是第三象限角，则可能在第三象限 C. 若且，则为第二象限角 D. 锐角终边上一点坐标为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项通过充分性必要性两方面验证；B选项根据是第三象限角，表示出范围确定所属象限；C选项综合且情况确定所属象限；D选项求角的正切值，确定锐角. 【详解】A选项：若，则，有充分性； 若，则或没有必要性.A错误； B选项：若角是第三象限角，则， 则，当时，为第一象限角； 时，为第三象限角；当时，为第四象限角； 所以可能在第三象限.B正确； C选项：，则为第二象限或第四象限角；， 则为第一象限或第二象限角，同时满足上述条件，所以为第二象限角.C正确； D选项：锐角终边上一点坐标为， 则有，， 所以，且为锐角，所以，D正确. 故选：BCD 10. 函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数图象与函数图象有相同的对称中心，则（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 在区间上存在函数图象的2个对称中心 D. 若函数在区间上单调递增，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由与函数图象有相同的对称中心求得的解析式，再由平移求得，然后根据正弦函数性质判断各选项． 【详解】因为函数与函数有相同的对称中心，所以，且，又函数的对称中心为 所以， 又，所以，所以， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，令， 所以函数的对称轴方程为， 令， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，令， 所以函数的对称中心为， 在区间上存在函数的两个对称心为和，故C正确； 对于D，区间， 令， 当时，得到函数在单调递增，所以，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】设，可得，，将转化为，结合图形即可求出最小值，进而求解. 【详解】 如图，设，则，设，易知在直线上，由可得， ，，又，则， 过作，易知，又，故， 结合选项，可能取值为或. 故选：CD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标关系，即可求解. 【详解】因为，又， 所以，所以. 故答案为： 13. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性可得，即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 故， 故答案为： 14. 已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数性质求出单调递增关系，进而确定单调递增区间，建立不等式得到，利用正弦函数性质求出零点，得到，与，最后再求出参数范围即可. 【详解】令， 则， 解得， 令，则，而在区间上单调递增， 得到，解得， 令，得到，解得， 令，，令，，令,得到， 因为在区间上有且只有一个零点，所以， 解得，综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角． （1）求； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在单位圆上得到，由三角函数的定义可得，根据诱导公式计算即可； （2）利用诱导公式化简，代入数据计算即可． 【小问1详解】 ∵点在单位圆上，∴， ∵为锐角，则，∴解得． ∴， ∴， ． 【小问2详解】 ． 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2） ， 又，故， 故三点共线. 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 17. 如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点. （1）若是的中点，，，求实数的值； （2）若，，求的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）建系，利用向量坐标运算，建立方程，即可求解； （2）建系，设正方形的边长为1，，构建函数模型，根据基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6， 则，所以，， 设点，则， 由，得， 所以，即，得到， 设，则， 所以，解得. 【小问2详解】 因为三点共线，且， 所以， 设正方形的边长为1，， 则， 所以，，， 所以， 又，所以， 所以，， 所以， 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：的故大值为1. 18. 已知，相邻两个最值点间的距离为. （1）求函数的解析式及其对称中心； （2）求不等式在上的解集； （3）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出参数，得到解析式后利用整体代入法求解对称中心求解即可. （2）利用余弦函数的性质求解不等式即可. （3）先对目标式合理换元，再结合二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可 【小问1详解】 因为，所以， 因为相邻两个最值点间的距离为， 所以由勾股定理得， 解得，则， 令，解得， 故的对称中心为. 【小问2详解】 由，因此， 得，得， 因为，所以或，故或， 故不等式在上的解集为或. 【小问3详解】 由，得，故， 因此函数的值域为，函数设， 要使关于的方程在上有三个不相等的实数根， 当且仅当关于的方程在和上分别有一个实数根， 或有一个实数根为1，另一实数根在区间上； 令， ①当关于的方程在和上分别有一个实数根时， 解得：； ②当方程的一个根是时，， 另一个根为，不满足条件； ③当方程的一个根是1时，， 另一个根为，不满足条件. 综上，满足条件的实数的取值范围是. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1） ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2） ； （3） ，的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $