5.5数学归纳法（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.5数学归纳法 题型一 数学归纳法的理解 1．（22-23高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 2．（2022高二·上海·专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 3．（21-22高一下·上海普陀·期末）如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对所有的正整数成立； B．对所有的正奇数成立； C．对所有的正偶数成立； D．对所有大于1的正整数成立. 4．（22-23高二下·全国·课后作业）（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 5．（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 题型二 数学归纳法处理增项问题 1．（21-22高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和公式”时，由到的凸n边形的内角和增加的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2022高二下·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 3．（9-10高二下·天津·期中）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 4．（20-21高二上·上海·课后作业）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 5．（11-12高二上·湖南长沙·阶段练习）设，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型三 用数学归纳法证明恒等式 1．（2025高三·全国·专题练习）如果非零连续函数满足函数方程．证明：． 2．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的增函数，且，求证：． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 5．（22-23高二·全国·随堂练习）证明：凸n边形的对角线的条数． 题型四 用数学归纳法证明不等式 1．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为 . 2．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明： 4．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 题型五 用数学归纳法解决整除问题 1．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 2.（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 3.（24-25高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 4.（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 5.（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 题型六 与数列有关的归纳-猜想-证明问题 1．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 2．（23-24高二下·四川成都·期中）数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 5．（2023高二上·江苏·专题练习）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和． 1．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 2．（2025·江苏·模拟预测）(多选)已知数列满足，. 下列说法正确的是（   ） A．数列每一项都满足 B．数列是递减数列 C．数列的前项和 D．数列每一项都满足成立 3．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5数学归纳法 题型一 数学归纳法的理解 1．（22-23高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论. 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 2．（2022高二·上海·专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 【答案】B 【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出． 【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 3．（21-22高一下·上海普陀·期末）如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对所有的正整数成立； B．对所有的正奇数成立； C．对所有的正偶数成立； D．对所有大于1的正整数成立. 【答案】C 【分析】根据题意可得，当命题成立，可推出均成立． 【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立， 可推出 均成立， 即对所有正偶数都成立 故选：C． 4．（22-23高二下·全国·课后作业）（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】ABC 【分析】根据题设结论逐项分析判断. 【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误； 对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误； 对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误； 对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确； 故选：ABC. 5．（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【分析】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 题型二 数学归纳法处理增项问题 1．（21-22高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和公式”时，由到的凸n边形的内角和增加的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画图说明得解. 【详解】解：如图，由到时， 凸n边形的内角和增加的是， 故选：B．    2．（2022高二下·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将、分别代入等式左边的代数式，相除即可得解. 【详解】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 . 故选：D. 3．（9-10高二下·天津·期中）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式． 【详解】解：当时，左端＝， 当时，左端＝， 故左边要增乘的代数式为. 故选：B． 4．（20-21高二上·上海·课后作业）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 则. 故选：D. 5．（11-12高二上·湖南长沙·阶段练习）设，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的表达式得，即可相减求解. 【详解】由题意可得, 所以 ， 故选：D 题型三 用数学归纳法证明恒等式 1．（2025高三·全国·专题练习）如果非零连续函数满足函数方程．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先求出是偶函数，从而只需对的情形进行证明，再时求出；然后用数学归纳法证明当为正整数时成立，最后再令及代入上式得到，证明当为有理数和无理数时分别成立. 【详解】易知是偶函数，∴只需对的情形进行证明． 当，得， ∵，故，从而． 当为正整数时，先证如下命题： ，其中．① 时，①显然成立． 设时①成立．那么时， ． 从而①得证． 令及代入①式，分别得，， ∴． 当（且为有理数）时， 由于． ． 于是，② ∴．（这里，又，故.） 由的连续性，知对于无理数，也有． 2．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的增函数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】主要运用数学归纳法来证明对于一切正整数，成立.先通过特殊值求出的值，然后以为基础，假设时命题成立，进而推导时命题也成立. 【详解】令，得，显然， 设时，成立， 那么时， ． 故对一切正整数，． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 【答案】证明见解析. 【分析】根据数学归纳法证明的一般步骤证明即可. 【详解】(1)当 时, 两条直线的交点只有一个, 又 , 所以当 时, 命题成立. (2)假设当 时, 命题成立， 即平面内满足题设的任何 条直线的交点个数 , 当 时, 任取一条直线 , 除 以外其他 条直线的交点个数为 , 与其他 条直线交点个数为 , 从而 条直线共有 个交点, 即 , 所以当 时, 命题成立. 由(1)(2)可知, 对任意 命题都成立. 5．（22-23高二·全国·随堂练习）证明：凸n边形的对角线的条数． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明即可. 【详解】证明：①当时，，四边形有两条对角线，命题成立； ②假设当，时，命题成立，即凸边形的对角线的条数， 当时，凸边形是在边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原边形的一边，增加的对角线条数为， . 故时，命题也成立. 由①、②可知，对任意，命题成立. 题型四 用数学归纳法证明不等式 1．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为 . 【答案】3 【分析】化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可 【详解】由题得，即， 当时，，不符合； 当时，，不符合； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立， 当时，根据指数函数与一次函数的性质可得. 所以满足题意k的最小值为3. 故答案为：3. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 【详解】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【详解】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 5．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【分析】运用数学归纳法的步骤进行证明即可. 【详解】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 题型五 用数学归纳法解决整除问题 1．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 2.（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【答案】 【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案. 【详解】设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 故答案为： 3.（24-25高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 【答案】 【分析】根据数学归纳法规则计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：  . 4.（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 5.（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立. 【详解】①当时，能被整除，所以当时结论成立. ②假设当时，能被整除， 那么当时， ， 由假设可知能被整除，即能被整除， 所以当时结论也成立. 综上，能被整除. 题型六 与数列有关的归纳-猜想-证明问题 1．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，． (2)，证明见解析 【分析】（1）由条件得到，即可逐个计算； （2）；由数学归纳法求证步骤求证即可； 【详解】（1）由已知条件得， 所以 ，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 下面用数学归纳法证明： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 2．（23-24高二下·四川成都·期中）数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 【答案】(1)，，猜测，证明见解析 (2) 【分析】（1）直接通过递推公式计算，然后猜测并证明； （2）使用错位相减法即可. 【详解】（1），. 猜测，下面用数学归纳法证明： 当时，由知结论成立； 假设结论对成立，即，则，故结论对成立. 综上，有成立. （2）设数列的前项和为，则. 所以. 故. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想：，证明见解析 【分析】先猜想，然后根据数学归纳法的证明方法来证得猜想成立. 【详解】，，，，…， 猜想：． 证明如下： （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立， 即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立． 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】；证明见解析 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可. 【详解】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 5．（2023高二上·江苏·专题练习）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， 【分析】 （1）根据递推公式求，进而猜想通项公式； （2）利用数学归纳法证明，结合等差数列的定义和求和公式分析求解. 【详解】（1）因为数列满足，， 可得，， 由此可猜想. （2）证明：①当时，显然成立； ②假设当时，成立，即； 当时， ， 所以时也成立， 综合①②可得：. 因为， 可知数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以. 1．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 2．（2025·江苏·模拟预测）(多选)已知数列满足，. 下列说法正确的是（   ） A．数列每一项都满足 B．数列是递减数列 C．数列的前项和 D．数列每一项都满足成立 【答案】ABD 【分析】利用数学归纳法判断A，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围判断BD，算出即可判断C． 【详解】对于A，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故A正确； 对于B，由，可得数列是递减数列，故B正确； 对于C，，，，， ，故C错误； 对于D，因为，所以， 累加得，所以，即， 所以，又，故成立，故D正确． 故选：ABD. 3．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【答案】 【分析】利用数学归纳法的性质分析式子前后的变动情况，再求解答案即可. 【详解】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 【答案】，证明见解析； 【分析】根据规律得到，再应用数学归纳法求证即可. 【详解】观察各式，可得一般规律， 用数学归纳法证明如下： 当时，左边，右边，等式成立； 假设 时，等式成立，即， 那么当时， 故时，等式也成立. 综上，等式对于一切正整数n都成立. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)；；． (2)当时，，证明见解析． 【分析】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. 【详解】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$