5.2.2等差数列的前n项和（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.2.2等差数列的前n项和 题型一 等差数列前n项和基本量的计算 1．（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）等差数列中是其前项和，，则（    ） A．27 B．36 C．54 D．81 2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知为等差数列的前项和，且，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 4．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）在等差数列中，，则 . 5．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）若等差数列中，（为虚数单位），前10项和，则 . 题型二 等差数列前n项和与等差中项的关系 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，则（   ） A．55 B．50 C．100 D．58 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）数列是等差数列，，记是的前9项和，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．104 D．130 4．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在等差数列中，公差，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河南许昌·期中）记等差数列的前项和为，，，则 . 题型三 等差数列前n项和Sn的性质 1．（24-25高二下·四川巴中·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则（   ） A．75 B．65 C．50 D．55 2．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 . 5．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ． 题型四 等差数列前n项和Sn的最值 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 2．（24-25高二下·山西晋中·开学考试）（多选）设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D．中最大的是 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）（多选）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 4．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知数列的前n项和． (1)求的值； (2)当n为何值时，最小？ (3)求数列的通项公式． 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 题型五 等差数列含有绝对值的求和问题 1．（24-25高二下·四川自贡·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（24-25高二下·河北保定·开学考试）在等差数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（24-25高二上·福建三明·期中）已知等差数列，前项和为，又，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前项和，若______． (1)求； (2)令，求数列的前项和． (3)令，求数列的前项和 题型六 奇数偶数项问题 1．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A．360 B．480 C．960 D．1280 2．（24-25高二·全国·课堂例题）一个等差数列共有项，其偶数项之和是，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·全国·中职高考）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 . 4．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 1．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）（多选）如图，在平面直角坐标系中，点均在x轴正半轴上，点均在y轴正半轴上.已知，，四边形均为长方形.当时，记为第个倒“L”形，则（   ） A．第10个倒"L"形的面积为121 B．长方形的面积为 C．点均在曲线 D．不能被110整除 2．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）（多选）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2022 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）(多选)已知是数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ） A．可能为常数列 B．若，则数列的前11项之和为－22 C．若，则的最大值为3 D．不可能为单调递增数列 4．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则 . 5．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知等差数列的前项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求. (3)求. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.2等差数列的前n项和 题型一 等差数列前n项和基本量的计算 1．（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）等差数列中是其前项和，，则（    ） A．27 B．36 C．54 D．81 【答案】A 【分析】运用等差数列性质即可. 【详解】由题知：，所以. . 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知为等差数列的前项和，且，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，由已知可求得，利用等差数列的前项和求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，所以， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可. 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 4．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）在等差数列中，，则 . 【答案】2 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质可求解. 【详解】等差数列中，，所以，所以. 故答案为：2 5．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）若等差数列中，（为虚数单位），前10项和，则 . 【答案】/ 【分析】先化简，再利用等差数列前项和公式求出公差，即可求通项，最后利用复数的求模公式即可. 【详解】 设等差数列的公差为d，则前10项和， 解得，所以，所以. 故答案：. 题型二 等差数列前n项和与等差中项的关系 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，则（   ） A．55 B．50 C．100 D．58 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】由题意，. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）数列是等差数列，，记是的前9项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知求公差，进而求，应用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质求. 【详解】由题设，数列的公差，则，且. 故选：A 3．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．104 D．130 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，结合前项和公式求解. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 4．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在等差数列中，公差，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式两边利用和的代数式加以表示，即可求得实数的值. 【详解】因为， ， 因为，则， 因为，解得. 故选：D. 5．（24-25高三上·河南许昌·期中）记等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】84 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出. 【详解】在等差数列中，，则公差， 所以. 故答案为：84 题型三 等差数列前n项和Sn的性质 1．（24-25高二下·四川巴中·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则（   ） A．75 B．65 C．50 D．55 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质进行求解即可. 【详解】由等差数列前项和的性质得：成等差数列， ，即， 解得. 故选：A. 2．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得为等差数列，则，即可求出. 【详解】由等差数列的性质可得为等差数列， 所以，则. 故选：B. 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 4．（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 . 【答案】70 【分析】根据题意得到，再求前5项和即可. 【详解】因为，所以数列的首项为， 故， 所以， 故数列的前5项和为. 故答案为：70 5．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】运用等差数列前n项和的函数特征求解. 【详解】根据等差数列前n项和的函数特征，可设 则. 故答案为：. 题型四 等差数列前n项和Sn的最值 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】把等差数列的前n项和设为二次函数，利用二次函数的对称性可求最值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 令，因为，所以， 所以二次函数的图象关于直线对称． 又因为，可得，所以当取得最小值时，． 故选：B 2．（24-25高二下·山西晋中·开学考试）（多选）设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D．中最大的是 【答案】BD 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解. 【详解】对于AC：因为， 且， 所以，，又因为， 所以，解得； 所以等差数列是递减数列，故AC错误； 对于B：因为，所以，故C正确； 对于D：因为等差数列是递减数列， 且，，则，， 所以，，故D正确. 故选：BD. 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）（多选）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 【答案】AC 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确， 而，D错误； 又，所以，B错误； 而，A正确. 故选：AC 4．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知数列的前n项和． (1)求的值； (2)当n为何值时，最小？ (3)求数列的通项公式． 【答案】(1)12； (2)或； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出的值即可. （2）利用二次函数的最值问题求解. （3）利用求解并验证即可. 【详解】（1）数列的前n项和， 则. （2），而， 所以当或时，取得最小值. （3）当时，， 而不满足上式， 所以数列的通项公式是. 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【答案】(1) (2)；最大值为 【分析】（1）设公差，得出关于的方程组即可求； （2）利用等差数列的前项和公式求，再结合二次函数的单调性即可求最值. 【详解】（1）设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. （2），， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 题型五 等差数列含有绝对值的求和问题 1．（24-25高二下·四川自贡·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据与的关系计算即可求解； （2）由（1）得，分类讨论当两种情况，结合等差数列前项求和公式计算即可求解. 【详解】（1）已知， 当时，； 当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； （2）由（1）知，故，， 当； 当， 综上： 2．（24-25高二下·河北保定·开学考试）在等差数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，根据等差中项以及通项公式，建立方程组，可得答案； （2）利用等差数列的求和公式，确定数列中的所有正项与负项，分段求和，可得答案. 【详解】（1）设的公差为．因为，所以． 因为，所以，解得， 故． （2）设的前项和为，则． 当时，； 当时，． 故. 3．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量运算列出方程组，解之即得，从而得到结果； （2）根据题意，分与讨论，然后结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ， 解得， 则； （2）因为，则． 当时， 数列的前项和为； 当时，数列的前项和为 ． 故. 4．（24-25高二上·福建三明·期中）已知等差数列，前项和为，又，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的求和公式及等差数列的通项公式，即可得数列的通项公式； （2），分与讨论，结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】（1）等差数列的公差为. ∵，， ∴，即， 解得：，， ∴； （2）由（1）得：， 设，的前项和为， 则， 当时，，∴=， 当时，， ， 综上，． 5．（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前项和，若______． (1)求； (2)令，求数列的前项和． (3)令，求数列的前项和 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的性质，通项公式和求和公式计算即可； （2）裂项相消法计算即可； （3）分类讨论，得到通项公式，结合分组求和和等差数列求和计算即可. 【详解】（1）若选择条件①，在等差数列中， ，解得 若选择条件②，在等差数列中， 解得 若选择条件③，在等差数列中，， 当时，， 符合，． （2）由（1）得 所以 （3）由（1）可得，所以 当时， 当时， 综上， 题型六 奇数偶数项问题 1．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A．360 B．480 C．960 D．1280 【答案】D 【分析】根据给定的递推公式可得，再求出数列的前40项中的奇数项的和及偶数项的和即可. 【详解】当n为奇数，，， 当n为偶数，，， 因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列； 的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列， 所以 . 故选：D 2．（24-25高二·全国·课堂例题）一个等差数列共有项，其偶数项之和是，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质可求得公差，利用前项和公式可得首项的值，由此可确定答案. 【详解】设等差数列的公差为，前项和为， 由于项数为10，故，∴， ∴，解得． 故选：A. 3．（22-23高三·全国·中职高考）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 . 【答案】 【分析】设等差数列的奇数项的和为，偶数项之和为，可得出，再由可求出、的值，即为所求结果. 【详解】设，， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得，， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是， 解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 1．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）（多选）如图，在平面直角坐标系中，点均在x轴正半轴上，点均在y轴正半轴上.已知，，四边形均为长方形.当时，记为第个倒“L”形，则（   ） A．第10个倒"L"形的面积为121 B．长方形的面积为 C．点均在曲线 D．不能被110整除 【答案】ABC 【分析】先计算，则可计算长方形的面积和坐标，可判断B C选项，再用长方形面积作差可得A选项，最后利用公式可判断D选项. 【详解】设长方形的面积为，， 因，， 则，故B正确； 则第个倒“L”形的面积为，故A正确； 由，得，则C正确； ，而，则D错误； 故选：ABC 2．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）（多选）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2022 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 【答案】ACD 【分析】，，，然后根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式逐一判断即可. 【详解】， ， ， 所以，故A正确； ，所以B错误； 等差数列前项均大于，从项开始均小于，所以为的最大项，所以C正确； ， ，所以D正确； 故选：ACD 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）(多选)已知是数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ） A．可能为常数列 B．若，则数列的前11项之和为－22 C．若，则的最大值为3 D．不可能为单调递增数列 【答案】AC 【分析】对于A，假设存在常数列，求出即可；对于B，化简，求出从第二项开始是公差为的等差数列，然后求前11项和即可；对于C，利用当时，是等差数列，求出，然后求最值即可；对于D，利用当时，是递减的等差数列，即可判断. 【详解】对于A，若为常数列，设， 因为，故， 当时，方程恒成立， 故存在常数列，使，故A正确； 对于B，， 当时，， 两式做差得：， 且时，，即， 当时，，解得， 当时，，即， 所以，即， 故当时，是公差为的等差数列，且，， 当时，， 故数列的前11项之和为：，故B错误； 对于C，当时，，解， 由B知，当时， 是公差为得等差数列， ， 故当时，， 易知当时，取最小正数，此时取最大值，故C正确； 对于D,由B知，当时， ，是递减的等差数列， 故一定存在，使，且，即， 恒成立，所以可能为单调递增数列.故D错误； 故选：AC 4．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】由题意可得的边长，结合图形求得周长，计算并化简，求得即得. 【详解】由， 可得，，，， 所以， 所以， 所以前项和， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知等差数列的前项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求. (3)求. 【答案】(1)； (2)20； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解. （2）利用并项求和法求解. （3）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在等差数列中，，解得， 而，则，公差， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，，， 所以. （3）由（1）得， 所以 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$