第二章 平面向量及其应用章末题型汇总（18大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

第二章平面向量及其应用章末题型汇总 题型一 向量的概念与表示 1．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）(多选)下列说法中，正确的是（    ） A．时间、摩擦力、重力都是向量 B．向量的模是一个正实数 C．相等向量一定是平行向量 D．向量与不共线，则与都是非零向量 3．（24-25高一下·山西·阶段练习）(多选)下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（24-25高一下·四川·阶段练习）（多选）下列说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．若，则存在唯一实数使得 C．若则 D．单位向量都相等 5．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．单位向量的方向相同或相反 C．零向量没有大小，没有方向 D．平面内的单位向量是唯一存在的 题型二 向量的加减法 1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）（多选）如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 5．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列式子中正确的有（   ） A． B． C． D． 题型三 向量共线 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 2．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 3．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则 . 4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，为上一点，且，为上一点，且满足 ，则最小值为 . 5.（24-25高一下·四川遂宁·阶段练习）设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 题型四 向量的线性表示 1．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·山东日照·阶段练习）在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设，，用，表示 ． 3.（24-25高一下·湖南张家界·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，，则＝ 4.（24-25高一下·甘肃陇南·阶段练习）在平行四边形中，与相交于点是线段的中点，的延长线与交于点. (1)用表示； (2)用表示；； (3)若，求的值. 5.（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图所示，已知在中，点是以为对称中心的点的对称点，，和交于点，设，. (1)用和表示向量、； (2)若，求实数的值. 题型五 向量的坐标 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·北京·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃陇南·阶段练习）已知，则 . 5．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知，则点的坐标是 . 题型六 向量坐标与共线 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习），若，则实数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知向量，则“ ”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3.（24-25高一下·吉林·阶段练习）已知，，，则 . 4.（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 5.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知平面内三点，，. (1)用表示，表示，求，，，. (2)猜想三点的位置关系，并证明猜想. 题型七 向量的数量积 1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（         ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知正方形的边长为1，点在边上（不包含边界），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，则（   ） A．5 B． C． D． 4．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）边长为2的等边三角形中，（    ） A．2 B．4 C． D． 5.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是的外心，，则 ． 题型八 向量的模长 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）设，向量，，且，，则（    ） A．5 B． C． D．10 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 3.（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，．则 ． 5.（24-25高一下·天津·阶段练习）已知，， (1)若与平行，求实数的值； (2)若与垂直，求的值. 题型九 投影向量 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知平面内三点，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）设与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）(多选)已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影向量为 4.（24-25高一下·青海海东·阶段练习）已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影向量的模为 . 5.（24-25高一下·山西·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ． 题型十 向量垂直的应用 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）已知，，则 ． 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数 . 5.（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知，的夹角为，且，设. (1)若，求实数； (2)若，求实数； (3)时，求与的夹角的余弦值. 题型十一 向量的锐角与钝角问题 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知，若与的夹角为钝角，则的范围为 ． 2．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为 3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 . 4.（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为. (1)求，； (2)当实数取何值时，向量与方向相反? (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 5.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 题型十二 向量与形状问题 1．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，若，则的形状一定是（   ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 4．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5.（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零向量与满足，且，则为 三角形. 题型十三 正余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A． B． C． D．120° 3．（24-25高一下·四川广元·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（贵州省2025届高三下学期4月联考数学试卷）在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则（   ） A． B． C． D． 5． （24-25高一下·河南郑州·阶段练习）在中，，则 题型十四 正余弦定理的边角互化 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）中，三边之比，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南漯河·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．（24-25高一下·湖南·阶段练习）锐角三角形的三个内角的对边分别是，若，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 题型十五 三角形的周长与面积 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，设，则下列说法错误的是（   ） A． B．边上的高是 C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是 2．（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 3．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且； (1)求； (2)若的面积为，，求. 4．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 5．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，的面积为，求边上的高． 题型十六 三角形个数问题 1．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 3．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则符合条件的三角形有 个． 5．（24-25高一下·天津宁河·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 ． 题型十七 三角形的最值与取值范围问题 1．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·河南·阶段练习）记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 4.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为 ． 题型十八 中线角平分线问题 1．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 2．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 3．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 4．（23-24高一下·河北·期中）已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c； (1)若满足，求证：． (2)若在中，； ①BC边上的中线，求的面积的最大值． ②如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值． 5．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在等腰中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 3．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 . 5．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，分别是直线上的点，，且，则 ．若是线段上的一个动点，则的取值范围是 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章平面向量及其应用章末题型汇总 题型一 向量的概念与表示 1．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】因为是两个单位向量，所以， 但两向量的方向不能确定，所以，故①②错误，③④正确． 故选：B. 2．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）(多选)下列说法中，正确的是（    ） A．时间、摩擦力、重力都是向量 B．向量的模是一个正实数 C．相等向量一定是平行向量 D．向量与不共线，则与都是非零向量 【答案】CD 【分析】根据向量的相关概念，逐项判定，即可得出结果. 【详解】对于A，时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故A错误； 对于B，零向量的模为零，故B错误； 对于C，相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故C正确； 对于D，零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，故D正确． 故选：CD． 3．（24-25高一下·山西·阶段练习）(多选)下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据向量的相关概念，可得答案. 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确； 当时，向量不一定共线，故C错误. 故选：BD. 4．（24-25高一下·四川·阶段练习）（多选）下列说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．若，则存在唯一实数使得 C．若则 D．单位向量都相等 【答案】BCD 【分析】利用共线向量、零向量、单位向量、相等向量的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，根据向量平行的定义可知，方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确； 对于B，如果，且是非零向量，则，但不存在实数使得，故B错误； 对于C，如果，则有，但不能得到，故C错误； 对于D，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故D错误. 故选：BCD. 5．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．单位向量的方向相同或相反 C．零向量没有大小，没有方向 D．平面内的单位向量是唯一存在的 【答案】BCD 【分析】根据零向量和单位向量以及相反向量的定义即可判断. 【详解】对于A：由相反向量的定义有，故A正确； 对于B：单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故B错误； 对于C：零向量的大小为0，方向任意，故C错误； 对于D：由单位向量的定义有大小为1，方向任意，所以平面内单位向量是不唯一，故D错误； 故选：BCD. 题型二 向量的加减法 1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平面向量的加减法法则，可逐一判断结论. 【详解】由题意，，故①正确；，故②正确； ,故③正确；，故④错误. 所以正确结论的个数是3. 故选：C. 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】对于A：由相反向量的定义有，故A正确； 对于B：根据向量的加法的三角形法则有，故B正确； 对于C：根据向量的减法有，故C错误， 对于D：，故D正确； 故选：C. 4．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）（多选）如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 【答案】AD 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，设正六边形每条边长为，则 ，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列式子中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量减法的三角形法则，判定AB；根据相反向量概念判定C；根据向量加法的多边形法则判定D. 【详解】根据向量减法的三角形法则，A正确；B正确； 因为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C不正确； 根据向量加法的多边形法则，D正确． 故选：ABD. 题型三 向量共线 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得，，根据三点共线，则存在实数，满足，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，， 可得，， 因为三点共线，则存在实数，满足， 即，可得，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C    3．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则 . 【答案】13 【分析】运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m可得结果. 【详解】因为A，B，C三点共线，所以设， 即：， 所以，消去m得：. 故答案为：13 4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，为上一点，且，为上一点，且满足 ，则最小值为 . 【答案】9 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 5.（24-25高一下·四川遂宁·阶段练习）设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． （2）由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 题型四 向量的线性表示 1．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 2.（23-24高一下·山东日照·阶段练习）在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设，，用，表示 ． 【答案】 【分析】本题可利用、、共线以及、、共线，通过向量共线的性质设出关于、的表达式，再根据系数关系求解. 【详解】已知为的中点，则. 又因为，所以. 因为、、共线， 所以存在实数，使得，将，代入可得：   ①. 因为、、共线， 同理，存在实数，使得，将，代入可得：   ②. 由①②可得 解得，. 所以 故答案为： 3.（24-25高一下·湖南张家界·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，，则＝ 【答案】 【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算求解. 【详解】在△ABC中，，，，， ． 故答案为：. 4.（24-25高一下·甘肃陇南·阶段练习）在平行四边形中，与相交于点是线段的中点，的延长线与交于点. (1)用表示； (2)用表示；； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解； （2）由三角形相似得，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解. （3）根据（2）直接计算即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以； （2）如图，因为， 所以， 所以与相似， 所以, 所以， 所以， （3）因为， 所以， 所以. 5.（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图所示，已知在中，点是以为对称中心的点的对称点，，和交于点，设，. (1)用和表示向量、； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据图形的几何性质，结合向量的线性运算，可得答案； （2）利用向量的线性运算，可用同一组基底表示向量，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题意得：，由，则， ， . （2）设，则， 又，所以解得，即实数的值为. 题型五 向量的坐标 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，设点，利用向量的坐标表示，列出方程组，求得 的值，即可得到答案. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以， 设点，由，，可得， 所以， 可得，解得，即点的坐标为. 故选：D. 2．（2025高一下·北京·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性坐标运算计算求解. 【详解】因为，则. 故选：C. 3．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的坐标运算，即可求解． 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·甘肃陇南·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】根据向量的加减法以及坐标运算，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】设，由坐标运算有，对应，即可求解. 【详解】设，因， 解得故点的坐标是. 故答案为：. 题型六 向量坐标与共线 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习），若，则实数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标表示即可计算得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知向量，则“ ”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】若，且 ，则，解得或， 故“ ”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3.（24-25高一下·吉林·阶段练习）已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面向量的线性运算，可求得，，再结合平面向量共线定理的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，，可得，， 又，所以，解得. 故答案为：. 4.（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量平行的性质，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可． 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 5.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知平面内三点，，. (1)用表示，表示，求，，，. (2)猜想三点的位置关系，并证明猜想. 【答案】(1)，，， (2)猜想三点共线，理由见解析 【分析】（1）利用向量的坐标运算求解即可； （2）由（1）可得，可得结论. 【详解】（1）因为平面内三点，，， 所以，， 所以，. （2）猜想三点共线，理由如下： 因为。，所以，所以是共线向量，且有公共点, 所以三点共线. 题型七 向量的数量积 1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用基底表示向量，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，则，， 所以，， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 因此，. 故选：C. 2．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知正方形的边长为1，点在边上（不包含边界），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量与二次函数的性质即可得到结果. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设,则，则， 故，由二次函数的性质可知：当时，取得最大值， 即， 故选：B 3．（24-25高一下·四川·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义计算求解. 【详解】根据向量数量积的定义，. 故选：B. 4．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）边长为2的等边三角形中，（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义及公式计算即可. 【详解】由题意， 故选：C. 5.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是的外心，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量的运算律求解即得. 【详解】令边的中点为，由是的外心，得，， 又，所以 . 故答案为： 题型八 向量的模长 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）设，向量，，且，，则（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据且，结合向量的坐标表示与运算，列出方程，分别求得的值，得到向量的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，，， 因为，可得，解得，所以， 又由，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解. 【详解】由，，， 两边平方可得， 即， 解得，则. 故选：A. 3.（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由向量平行的坐标运算即可得到，再由模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，向量，， 若，则有，解可得， 则，故． 故选：C 4.（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，．则 ． 【答案】 【分析】先求平方再开方即可求解. 【详解】， 故答案为：. 5.（24-25高一下·天津·阶段练习）已知，， (1)若与平行，求实数的值； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参数. （2）先根据向量垂直的坐标表示求参数，再求向量的模. 【详解】（1）因为，. 由 . （2）由 ， 解得：或. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以为或. 题型九 投影向量 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知平面内三点，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量、模长及数量积的公式计算即可. 【详解】， ，， 所以向量在上的投影向量为. 故选:. 2.（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）设与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 3．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）(多选)已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】求出向量的模判断A；求出的坐标判断B；利用基底的定义判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，与不共线，则与可以作为一组基底，C正确； 对于D，，向量在向量上的投影向量，D错误. 故选：ABD 4.（24-25高一下·青海海东·阶段练习）已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影向量的模为 . 【答案】2 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】在的方向上的投影向量的模为. 故答案为：. 5.（24-25高一下·山西·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故答案为：. 题型十 向量垂直的应用 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量加法的坐标运算得到，由得，由向量数量积的坐标运算求得的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 故选：C. 3．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及向量模的坐标表示得. 【详解】由，得，由，得，即， 所以. 故选： 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数 . 【答案】/0.25 【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出得值. 【详解】因为向量与的夹角为60°，，， 由知， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 5.（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知，的夹角为，且，设. (1)若，求实数； (2)若，求实数； (3)时，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1). (2) (3). 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，列式计算得解. （2）利用共线向量定理列式求解. （3）利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】（1）由的夹角为，且，得， 由，得， 所以. （2）由，得，而不共线，则，解得， 所以. （3）当时，，， ， 且，则， 所以与的夹角的余弦值为. 题型十一 向量的锐角与钝角问题 1．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知，若与的夹角为钝角，则的范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用，求得，再由向量与共线时，列出方程，求得，进而得到实数的取值范围. 【详解】由向量，且与的夹角为钝角， 可得，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据向量夹角是钝角，得到数量积小于0，且两向量不共线，由此列出不等式求出实数的取值范围． 【详解】由题意，与夹角为钝角，则，且与不共线. 由可得， 若与共线，则有，解得，所以与不共线时，. 综上，的取值范围为且. 故答案为：. 3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 . 【答案】且 【分析】根据与 的夹角为锐角，由，且与 不共线解不等式求解. 【详解】因为， 所以， 因为与 的夹角为锐角， 所以，且与 不共线， 所以，且， 解得且. 故答案为：且. 4.（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为. (1)求，； (2)当实数取何值时，向量与方向相反? (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的夹角公式结合已知条件列方程可求出，然后求出的坐标，从而可求出； （2）由题意得，且，然后列方程组可求得结果； （3）由题意得，且与的不共线，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以； （2）因为向量与方向相反， 所以存在，使， 因为与不共线，所以， 解得（舍去），或， 所以； （3）因为，， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以，且与的不共线， 由，得，解得， 由与的不共线，得，得， 所以且， 即实数的取值范围为. 5.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1)或3： (2)1或 (3) 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【详解】（1）若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. （2）若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. （3）因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 题型十二 向量与形状问题 1．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】取中点，将化为，进而即得. 【详解】 如图，取中点，则， 所以， 所以，又，故，即为等腰三角形， 故选：C． 2．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，若，则的形状一定是（   ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用数量积的夹角判断. 【详解】因为，所以角A为钝角，所以为钝角三角形． 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 4．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 5.（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零向量与满足，且，则为 三角形. 【答案】等边 【分析】又向量数量积的运算律可知，再根据，可得，可知三角形为等边三角形. 【详解】由，即， 则， 又在中，，，， 则， 设，，且， 所以，即， 所以， 所以， 即为等边三角形， 故答案为：等边. 题型十三 正余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用余弦定理，即可求解. 【详解】设所对的边为，由余弦定理, 又，，所以， 即，解得， 故选：C. 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A． B． C． D．120° 【答案】B 【分析】根据大边对大角判断最大角，利用余弦定理求解. 【详解】由，令， ， 又，则， 所以这个三角形的最大角的弧度数为. 故选：B. 3．（24-25高一下·四川广元·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，结合可得出的值. 【详解】由题意，由余弦定理可得， 整理可得，因为，解得. 故选：B. 4．（贵州省2025届高三下学期4月联考数学试卷）在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由及余弦定理得，又， 所以由正弦定理得. 故选：A 5． （24-25高一下·河南郑州·阶段练习）在中，，则 【答案】 【分析】根据余弦定理求得，再由求解. 【详解】由余弦定理，得，即, 整理得，解得或(舍去)， 所以. 故答案为： 题型十四 正余弦定理的边角互化 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 2．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）中，三边之比，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用正弦定理角化边，即可求得答案. 【详解】中，三边之比，设， 则由正弦定理得， 故选：D 3．（24-25高一下·河南漯河·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及诱导公式化简可得或，进而可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以 所以或， 又因为，，为三角形内角，所以或， 即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 4．（24-25高一下·湖南·阶段练习）锐角三角形的三个内角的对边分别是，若，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理可得，由锐角三角形，可求得的范围. 【详解】由正弦定理得：，所以. 又锐角三角形中，，则，即. 所以，由于锐角三角形，所以， 解得. 故选：D. 5．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合余弦定理即可得结果. 【详解】因为，整理可得， 则， 且，所以. 故答案为：. 题型十五 三角形的周长与面积 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，设，则下列说法错误的是（   ） A． B．边上的高是 C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是 【答案】D 【分析】根据向量数量积公式、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆相关知识，结合已知条件，来逐一分析各个选项. 【详解】对于A，，解得，故A正确， 对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确； 对于C，由B知，，所以外接圆的周长是，故C正确； 对于D，由等积法知，，故D不正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. （3）由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 3．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且； (1)求； (2)若的面积为，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和公式及诱导公式两角和正弦公式化简可得，解方程可求； （2）结合面积公式求，再由余弦定理求. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以， 又，故， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以，故， 所以， （2）由的面积为，可得， 由（1），又， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以. 4．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标表示结合两角和的正弦展开式和诱导公式以及特殊角的余弦值计算可得； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得. 【详解】（1）， 由正弦定理边化角， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． 5．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值； （2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高. 【详解】（1）由和余弦定理， 可得：， 化简得，则得， 故； （2）由可得， 由（1）已得，解得， 由余弦定理， ，解得， 设边上的高边上的高为， 则由，解得， 故边上的高为. 题型十六 三角形个数问题 1．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断； 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，即得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】根据正弦定理，余弦定理，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：，则，故三角形有2个解，故A错误； 对于B：三角形三边确定，三角形唯一，故B 正确； 对于C：由余弦定理得， 所以，解得或（舍）， 所以能唯一确定三角形，故C正确； 对于D：由余弦定理得， 所以，，方程无解，所以无法构成三角形，故D错误； 故选：BC. 4．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则符合条件的三角形有 个． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，进而确定三角形个数. 【详解】在中，由正弦定理得，由，得， 所以符合条件的三角形有2个. 故答案为：2 5．（24-25高一下·天津宁河·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 题型十七 三角形的最值与取值范围问题 1．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，， 所以. 又因为为锐角三角形， 所以，解得. 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为， 所以， 则. 故，即. 所以面积的取值范围是. 故选：B. 2.（24-25高一下·河南·阶段练习）记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据钝角三角形的性质以及余弦定理求出边的取值范围，再利用向量关系和余弦定理得出关于的表达式，最后根据的取值范围求出的取值范围. 【详解】由是钝角三角形且可得，，故， 由题意知，，故，；由得，，故． 由得，，则， 故，由知，线段BD的取值范围是． 故选：C． 3.（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即. 所以，同时. 在中，，根据余弦定可得：，即. 由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值. 故选：B. 4.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，由利用正弦定理边化角结合两角和的正弦求得，进而得，再根据利用两角差的正弦公式结合辅助角公式得到并求值域即可. 【详解】在中，因为， 所以，，所以 因为， 由正弦定理得, 所以，即， 所以, 由，解得 所以， 所以的范围是. 故选：B. 5.（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知，应用余弦定理得，结合三角形三边关系即可得范围. 【详解】因，则， 若为钝角三角形，则，得， 又，则，得，故. 故答案为： 题型十八 中线角平分线问题 1．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 2．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，由正弦定理有，由余弦定理即可求解 （2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由得，由均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又， 所以. （2）因为，， 所以由余弦定理得， 即， 所以， 即（当且仅当时，等号成立）， 因为， 所以，解得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以长度的最大值为. 3．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 4．（23-24高一下·河北·期中）已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c； (1)若满足，求证：． (2)若在中，； ①BC边上的中线，求的面积的最大值． ②如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据三角恒等变换，再结合正弦定理角化边，即可求解； （2）①由公式两边平方，再结合基本不等式求的最大值，即可求解； ②根据三角形的几何关系，设，则，在和中，利用正弦定理表示和，即可得到，再根据三角恒等变换，以及辅助角公式，即可求解. 【详解】（1）由已知得， 即 则， ． 得，由正弦定理得． （2）①由，可得， 所以，可得，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 则的面积的最大值为． ②，，因为，所以， 因为，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得，所以，得， 在中，由正弦定理得，所以， 得， 所以 ， 其中，所以当时，DE取得最大值， 所以， 所以，所以， 即，所以， 解得或（舍去），所以当时，DE取得最大值． 5．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可； （2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形条件即可求解. 【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以，则， 整理得，即， 又，所以，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在等腰中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积，向量的线性运算，模的运算，将整理成关于变量的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】在等腰中，由，可得. 分别是线段的中点， ，， ， ， ， . 其中，所以， 所以当时，为最小值，即的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 【答案】 /； . 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出可得空一；设，用表示出，利用二次函数性质求解可得空二. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 得， 因为，所以， 得，所以， 设，则， 所以， 所以 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 故答案为：；. 3．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先求出的值，再根据向量模的性质，求出的最大值. 【详解】由于， 因为是单位向量，所以，则，. 已知，代入上式可得：，则. 根据向量模的性质，可得： 因为是单位向量，所以，可得： 当且仅当与同向时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则， 设，其中，则， 因为，所以，即， 因为， 当且仅当时等号成立. 所以. 又， 所以 ， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，分别是直线上的点，，且，则 ．若是线段上的一个动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空，根据向量的线性运算以及向量基本定理，将转化为之间的运算，即可求得答案； 第二空，设，，根据数量积的运算律，化简为之间的相关运算，结合二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】∵，，∴，， ∵，又，， ∴ ， 解得，∵，∴． 设，， ∴ ，， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：；. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$