精品解析：广东省佛山市南海区石门中学2024-2025学年高一下学期一检考试（3月）数学试题

石门中学2024-2025学年度第二学期高一年级数学科一检考试 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标满足条件进行判断. 【详解】因，所以. 故选：C 2. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解. 【详解】， 故选:A． 5. 已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 6. 在中，点是的中点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解. 【详解】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. 7. 已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可. 详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 8. 小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）（ ） A. 1.73 B. 1.41 C. 2.24 D. 2.45 【答案】A 【解析】 【分析】如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处，点在线段的延长上，且保持与点在同一水平线上，则为观赏时的视角，在中利用余弦定理表示出观赏视角的余弦值，再结合基本不等式求出余弦值的取值范围，从而可求出最大视角，进而可求出观赏者距离墙的距离. 【详解】如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处， 点在线段的延长上，且保持与点在同一水平线上，则为观赏时的视角， 设，由题意得， 不妨设，在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， ， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号，即， 因为，在上单调递减， 所以，即最大视角为，此时米， 所以警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙约米远处最合适, 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，再根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②，故A正确； ，，由②，，，故B正确； ③，故C错误； ①③联立解得，所以，，故D正确． 故选：ABD． 10. 关于平面向量，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的数量积定义、运算律逐一判断. 【详解】对于A，由向量的运算律知，，A正确； 对于B，表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量， 则与不一定相等，B错误； 对于C，当为0向量时，对任意向量，均有，因此不一定相等，C错误； 对于D，若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，， 又，于是或，即与共线，反之也成立，因此，D正确. 故选：AD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 的值域为 D. 在区间上恰有7个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据周期函数的定义即可验证；对于B，根据三角函数的对称性进行验证即可；对于C，有绝对值，分段讨论，去掉绝对值，即可求出值域；对于D，结合C选项的分析，分段讨论，即可求解. 【详解】由题可知，故A错误； ， ，故B正确； ， 当时，， 当时，， 所以的值域为，故C正确， 当时，， 则，则，，，或，则，. 当时，， 解得（舍）或者， 此时在上有两个解，，综上，共有七个解. 故选:BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式计算化简. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知向量，写出一个在向量上的投影向量等于的向量的坐标__________. 【答案】（答案不唯一，） 【解析】 【分析】设出向量的坐标，再利用投影向量的定义列式求解. 【详解】设，在向量上的投影向量为，依题意， 则，即，取，则. 故答案为： 14. 已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由条件确定函数的一条对称轴，并求，并根据，求的取值范围，并结合三角函数的图象和性质，即可求解. 【详解】因为函数的周期为，再由可知， 函数的一条对称轴是， 所以，，得，， 又，所以， 所以，当，， 由函数在区间上有且只有三个零点， 所以，解得：. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． （2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解. 【小问1详解】 ，， ，，即，得， 若向量与互相垂直，则， 即得， ，解得或. 【小问2详解】 由，所以，所以不共线， 由向量与互相平行， 可知存在实数，使得， ，解得， 当时，；当时，. 或. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式； （2）利用图象变换求出，再利用余弦函数图象性质求出对称中心及单调递增区间. 【小问1详解】 由图形可知，，得 过点，，即， ， 函数的解析式 【小问2详解】 将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍， 得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度， 得到的图象， 即， 由，得 所以的对称中心为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数） （1）求与时间之间的关系． （2）求点第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少? （3）若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，设出，再求出参数即可. （2）由（1）的信息，结合周期性，求出点在对应条件下，点转动的圆心角弧度即可计算得解. （3）利用正弦函数的性质，列出不等式求解即得. 【小问1详解】 依题意，设与时间之间的关系为， 由筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 得点距离水面的高度的最值为，解得， 而筒车每60s沿逆时针方向转动3圈，则周期，， 由，得，而，解得， 所以与时间之间的关系是. 【小问2详解】 依题意，与轴正方向的夹角为，因此点第一次到达最高点需要转动， 所以点第一次到达最高点所需时间为； 在转动的一个周期内，点在水中转动， 所以点在水中的时间是. 【小问3详解】 由在上的值域为， 得在上的值域为， 由，得，则，解得， 所以的取值范围是. 18. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括）. （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）若，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示推理得证. （2）利用数量积的运算律将目标式化为，再建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数性质求出范围. （3）由（2）中的坐标系，利用向量的坐标运算将表示为的函数，再结合三角恒等变换及三角函数性质求出最小值. 【小问1详解】 由，得， 由，即，由为锐角，得， 因此，所以. 【小问2详解】 ， 以为原点，射线为分别轴非负半轴建立平面直角坐标系， 则，， ， 由，得，， 所以. 【小问3详解】 在（2）的平面直角坐标系中， ，由三点共线，得， 则，而点，则点， 由，得，则， ， 其中锐角由确定，且， 则当时，，， 所以的最小值为. 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标； （2）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵； （3）根据定义分别计算、、，证明即可. 【小问1详解】 可求得，设，则，， 设点，， 故 所以. 【小问2详解】 设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为 小问3详解】 设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石门中学2024-2025学年度第二学期高一年级数学科一检考试 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. （ ） A. B. C. D. 4 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点是的中点，点在上，若，则（ ） A B. C. D. 7. 已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）（ ） A. 1.73 B. 1.41 C. 2.24 D. 2.45 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 10. 关于平面向量，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 的值域为 D. 在区间上恰有7个不同的实数根 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：______. 13. 已知向量，写出一个在向量上的投影向量等于的向量的坐标__________. 14. 已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数） （1）求与时间之间的关系． （2）求点第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少? （3）若在上的值域为，求的取值范围． 18. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括）. （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）若，求的最小值. 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$