2.6.2.2 向量在物理中的应用举例-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学(B5 空 数课时 间 第二课时向量？ 纠错空间 学作业 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.一个质点在力F=(一3,5)，F2=(2, 一3)的共同作用下，由点A(10,一5)移 动到点B(一4,0)，则F,F2的合力F 对该质点所做的功为 A.24B.-24C.110D.-110 2.两个大小相等的共点力F,F2,当它们 夹角为90°时，合力大小为20N,则当它 们夹角为120时，合力大小为( A.40N B.10√2N C.20√2N D.10√3N 3.体育锻炼是青少年生活 学习中非常重要的组成 部分.某学生做引体向 上运动，处于如图所示 的平衡状态时，若两只 方法总结 胳膊的夹角为60°，每只 胳膊的拉力大小均为 400N,则该学生的体重（单位：kg)约为 (参考数据：取重力加速度大小为g 10m/s2,√/3≈1.732) A.63 B.69 C.75 D.81 4.已知两个力F,F2的夹角为90°，它们 的合力大小为10N,合力与F,的夹角 为60°，那么F2的大小为 A.5√3N B.5N C.10N D.5√2N 5.水平横梁的一端A 插在墙壁内，另一端 装有一光滑的小滑 30P 轮，一轻绳的一端C 固定于墙壁上，另一 端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg 的重物，∠CBA=30°，如图所示，则滑轮 受到绳子的作用力大小为(g=10N/kg) A.50N B.503 N C.200N D.10√3N ·68 必修第二册 王物理中的应用举例 6.(多选)在日常生活中， 我们会看到如图所示 的情景，两个人共提一 个行李包.假设行李包 所受重力为G,作用在行 李包上的两个拉力分别为F,F2,且|F =|F2|,F1与F,的夹角为6.下列结论 正确的是 () A.0越大越费力，0越小越省力 B.0的范围为[0，π] C.当=时，F=G D.当0-受时，F=G 7.已知一个物体在大小为6N的力F的 作用下产生的位移s的大小为100m, 且F与s的夹角为60°，则力F所做的 功W= J. 8.已知F=(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B(4,0),则力F对物体做 的功为 9.一物体在力F,=(3,一4)，F2=(2, -5),F3=(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中 三个力的合力所做的功等于 10.某人在静水中游泳，速度为4√3km/h, 水的流速为4km/h,他必须朝哪个方 向游才能沿与水流垂直的方向前进？ 实际前进的速度大小为多少？ 第二章平面向量及其应用 课时作业乡 11.一条渔船距对岸4km,以2km/h的 13.有两根柱子相距20m,分别位于电车 速度向垂直于对岸的方向划去，到达 的两侧，在两柱之间连接一条水平的 空 对岸时，船的实际行程为8km,求河水 绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的 间 的流速. 中点.如果送电线在这点垂直向下的 纠错空间 作用力是17.8N,则这条呈水平的绳 子的中点下降0.2m,求此时绳子所受 张力的大小. 能力提升 NENG LI TI SHENG 素养培优 SU YANG PEI YOU 12.一个物体受到同一平面内的三个力 14.如图.在同一 方法总结 F1,F2,F3的作用，沿北偏东45°的方 平面内，一个 向移动了8m,其中|F,|=2N,方向 质点O受三个 0 为北偏东30°，|F2|=4N,方向为北偏 力F1,F2,F 东60°，F3=6N,方向为北偏西30°， 的作用保持平 F 求合力F所做的功. 衡，其中F3与F2的夹角为a,F3与 F1的夹角为B. (1)若a=120°，3=150°，F3|=10,求 力F1,F2的大小； (2)若|F1:1F2|:|F3|=1:√2： √3，求a与B的余弦值. ·69·世数学(B5) 所以 cos∠BAC= 2 所以cos∠BAC= 7,所以∠BAC=受，所以△ABC为 3 等边三角形. 答案：等边三角形 10.解：已知：如图，MN是△ABC 的中往线，求证：MN=之BC 且MN∥BC. M 证明：因为M,N分别是AB, AC的中，点， 所以A=子A=A记. B 所以不=A成-=2A心-A店-是（花-A) -成 又MN与BC不在同一条直线上， 因此MN=BC,且MN/BC 11.证明：设AD=x,AB=y, M-M成+BC-y+=合2x+ 1 .M花=3MN,又MC与MN有公共，点M, M,N,C三点共线. 12.证明：如图，设CA=a,CB=b,则a 与b的夹角为90°，故a·b=0. AB-b-a.CD-2(a+), h :ci=是a+b =合a+b =号√a+2ab0 =名a+ AB=b-a=√(b-a) =√b'-2a·b+a'=√a+b7. :Cò=A店，即CD=2AB 13.证明：C定-CA+A正--AC+AB。 A-A店+萨-A店+}成-A店+合(A配-A) 号AB+号a花 由题意得A店，AC=0且AB=AC, 所以亩·萨=（花+响）·（号+}⊙） 号：-合AC-A店，C=0,所以正LA, 即CE⊥AF. 14.解：因为ABCD是平行四边形，所以设A京=入AC =A(AB+AD)=2入AE十入AB,因为B,R,E三，点共线， 所以2以中入=1，所以入=号，所以A成=子A花 同理可运：C7=}。 所以AR=RT=CT=号AC ·16 必修第二册 第二课时向量在物理中的应用举例 1.A2.B3.B4.A5.C 6.AD[对于A,由题意知G=F1十F2为定值. 所以G2=F12+F22+2F1×F2|×cos0 =2F1(1+cos0),所以E=21千c0s 由题意知0∈[0，π)，则y=cos0单调递减，所以F12单 调递增，即日越大越费力，日越小越省力，A正确.对于B, 由题意知9的取值范围是[0，π)，B错误.对于C,当日= 受时，E=名，*以E-9G,C错设.对于D. 当9=时，下=G,所以F=G,D正确.故选 3 AD. 7.解析：W=F·s=6×100×cos60°=300(J). 答案：300 8.解析：根据题意，力F对物体做的功为W=F·AB=(2, 3)·(4-2,0-0)=2×2十3×0=4. 答案：4 9.解析：因为F1=(3,一4)，F2=(2,-5),F=(3,1),所以 合力F=F1十F2十F3=(8,-8), AB=(-1,4), 则F·AB=-1×8-8×4=-40, 即三个力的合力所做的功为一40. 答案：一40 10.解：如图所示，设此人的实际速度为 OB,水流速度为OA. :实际速度=游速十水速， .游速为OB-OA=AB, 在Rt△AOB中，AB=45,OA =4,|OB|=4√2，cos∠BAO= 04-E AB 3 故此人应沿与河岸夹角的余弦值为，递着水流的方 向前进，实际前进速度的大小为4√2km/h. 11.解：如图，用y1表示河水的流 A -B 速，y2表示船的速度，则v=y 十2为船的实际航行速度.由 图知，OA=4,OB=8, 则∠AOB=60°.又v2=2, 0 所以y1=v2·tan60°=2V3. 即河水的流速是2√5km/h. 12.解：以O为原，点，正东方向为x轴的正方向建立平面直 角坐标系，如图所示， 则F1=(1,√3)，Fg=(2√3,2)，F 北 =(-3,3√3)， 所以F=F十F2十Fa=(2√5-2,2 十4√3). 又因为位移s=(42,4√2)， 所以合力F所做的功为 W=F·s=(2√3-2)X4√2+(2+4√3)X4√2=4√2 X6√3=24√6(J). 即合力F所做的功为24√6J. 13.解：如图，设垂直向下的作用力对 应向量AB,绳子所受张力对应向C 量分别为AC,AD, 则根据平面向量加法法则，得AF =AC十AD,其中AF是向量AB的 相反向量. 50 参考答案 因为两根柱子相距20m,绳子的中点下降0.2m, 所以等腰△ACD中，CE=DE=10m,AE=0.2m, 可得am∠ACE=0,可得sin∠ACE= 1 √/250I 因为送电线在这，点垂直向下的作用力是17.8N, 所以绳子所受张力大小分别为AC引=|AD|= 合硒 sim∠ACE=8.9X√250ī≈445.0N. 则此时绳子所受的张力大小约为445,0N. 14.解：(1)因为质点在F1,F2,F的作用下保持平衡， 所以F1十F2十F=0,所以F=-(F1十F2), 又a=120°，8=150°， 所以F与F2的夹角为90°， 所以F·F,=0, FI2=[-(F1+F2)]=F+2F1·F2十=F 十F2, 将F,=10代入可得F十号=100. 如图.易得∠1=30°， 2 所以|F11=|F3|Xcos30 =10×5=55, 2 1F2=f3×sin30°=10× 2=5i (2)因为F:F2:F=1:√2：√3，且质点处于 平衡状态， 所以以F,F,,F|为边长 的三角形为直角三角形，如图 所示， 则cos∠1=1=5. 3,cos∠2= √26 531 所以c0sB=c0s(x-∠1)=-c0s∠1=- 3 c0sa=c0s(m-∠2)=-c0s∠2=-5 第四章三角恒等变换 §1.同角三角函数的基本关系 1.D 2.C 3.A 4.B 5.ABD 6.BD[ana=-之a为二，四象限角， sin a=- 2c0sa,sina十cos2a=1,当a为第二象限 角时，a怎，当a为第四象限角时n。=一怎] 7.解析：原式=√1-sin(360°+80)=√1-sin80°= √cos80°=cos80°. 答案：c0s80 &.解析：1十sin8cos0=sin'9+cos9+sin6cos0 sin0cos'0 tan0+1十tan9_22+1+2_7 tan'0+1 22+1 =5 答案：子 9.解析：依题意有sin0十cos8=,① sin @cos0=k+1.② .(sin 0-cos 0)=1+2sin 0cos 0, k2-2k-3=0. 解得k=3或=-1. ·16 课时作业 ∵|sinθcosθ|=|k+1|≤1，∴k=-1. 代入 ①② ②，得 (sinθ+cosθ=-1. sinθcosθ=0. 解得 (sin 8= =-1， (cos 8=-1 或、 (cos 8=0. 0. 又 θ θ∈(0，2π)，∴θ=π $$\frac { 3 \pi } { 2 } .$$ 答案 或 $$\frac { 3 \pi } { 2 }$$ 10.解：(1)原式=- 36cos 3 36 $$= \frac { \cos 3 6 ^ { \circ } - \sin 3 6 ^ { \circ } } { \sqrt { \left( \cos 3 6 ^ { \circ } - \sin 3 6 ^ { \circ } \right) } } = \frac { \cos 3 6 ^ { \circ } - \sin 3 6 ^ { \circ } } { 1 \cos 3 6 ^ { \circ } - \sin 3 6 ^ { \circ } }$$ $$= \frac { \cos 3 6 ^ { \circ } - \sin 3 6 ^ { \circ } } { \cos 3 6 ^ { \circ } - \sin 3 6 ^ { \circ } } = 1 .$$ (2)原式 $$= \frac { \sin \theta - \cos \theta } { \frac { \sin \theta } { \cos \theta - 1 } } = \frac { \cos \theta \sin \theta - \cos \theta \right) } { \sin \theta - \cos \theta } = \cos \theta .$$ cos 6 (3)原式 $$= \left( \frac { \sin \theta } { \cos \theta } + \frac { \cos \theta } { \sin \theta } \right) \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta$$ $$= \frac { \sin ^ { 2 } \theta + \cos ^ { 2 } \theta } { \sin \theta \cdot \cos \theta } \cdot \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta = \frac { \cos \theta } { \sin \theta } \cdot \sin \theta = \cos \theta .$$ 11.解：原式 =sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sinα sinα =s sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα sin a $$= \frac { \sin \left[ \left( \alpha + \beta \right) - \alpha \right] } { \sin \alpha } = \frac { \sin \beta } { \sin \alpha } = \tan \alpha .$$ 所以原等式成立， 12.解：(1)因为 $$f \left( \alpha \right) = \frac { \left( - \cos \alpha \right) \cos \alpha \left( - \tan \alpha \right) } { \left( - \tan \alpha \right) \cos \alpha }$$ cosα， (一tan a) cos a 所以 以 $$f \left( \frac { \pi } { 3 } \right) = - \cos \frac { \pi } { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } .$$ (2)因为 $$f \left( \alpha \right) + f \left( \frac { \pi } { 2 } - \alpha \right) = - \frac { 1 } { 5 } ，$$ 所以一cosa-cs(号-) --号， $$v _ { 1 } - \cos \alpha - \cos \left( \frac { \pi } { 2 } - \alpha \right) = - \frac { 1 } { 5 } ，$$ 所 $$\lambda \cos \alpha + \sin \alpha = \frac { 1 } { 5 } ，$$ 两边平方，得 $$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac { 1 } { 2 5 } ，$$ 所 $$2 . 2 \sin \alpha \cos \alpha = - \frac { 2 4 } { 2 5 } ，$$ $$1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac { 4 9 } { 2 5 } ，$$ $$且 \left( \sin \alpha - \cos \alpha \right) ^ { 2 } = \frac { 4 9 } { 2 5 } ，$$ 因为2 $$2 \sin \alpha \cos \alpha = - \frac { 2 4 } { 2 5 } < 0 ， \alpha \in \left( 0 ， \pi \right) ，$$ 所以 $$\alpha \in \left( \frac { \pi } { 2 } ， \pi \right) ，$$ ， 所 hsinα-cosα>0， 所以 $$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac { 7 } { 5 } ，$$ 结合 $$\cos \alpha + \sin \alpha = \frac { 1 } { 5 } ，$$ 解得 $$\sin \alpha = \frac { 4 } { 5 } ， \cos \alpha = - \frac { 3 } { 5 } .$$ $$\lambda \sin ^ { 2 } \alpha - \cos \alpha = \left( \frac { 4 } { 5 } \right) ^ { 2 } - \frac { 3 } { 5 } = \frac { 1 } { 2 5 } .$$ 13.解：(1)由一元二次方程根与系数的关系可知， $$\sin \theta + \cos \theta = \frac { \sqrt 3 + 1 } { 2 } ， \textcircled 1 \sin \theta \cos \theta = m ， \textcircled 2$$ 将 ① 式平方，得 $$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac { 2 + \sqrt 3 } { 2 } ，$$ 所 $$v \sin \theta \cos \theta = \frac { \sqrt 3 } { 4 }$$ ，代入 ② $$m = \frac { \sqrt 3 } { 4 } .$$