5.1正弦函数的图象与性质再认识 第三课时 正弦函数的图象与性质再认识(三）-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　第三课时　正弦函数的图象与性质再认识(三) １．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是 (　　) A．－π４ ,π ４ æ è ç ö ø ÷　　　　　　B．π４ ,３π ４ æ è ç ö ø ÷ C．π,３π２ æ è ç ö ø ÷ D．３π２ ,２π æ è ç ö ø ÷ ２．函数y＝４sinx,x∈[－π,π]的单调 性是 (　　) A．在[－π,０]上是增函数,在[０,π]上 是减函数 B．在 －π２ ,π ２ é ë êê ù û úú 上 是 增 函 数,在 －π,－π２ é ë êê ù û úú和 π ２ ,πé ë êê ù û úú上都是减函数 C．在[０,π]上是增函数,在[－π,０]上是 减函数． D．在 π２ ,πé ë êê ù û úú与 －π,－ π ２ é ë êê ù û úú上是增函数, 在 －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷上是减函数 ３．函数y＝２sinx的单调增区间是 (　　) A．２kπ－π２ ,２kπ＋π２ é ë êê ù û úú(k∈Z) B．２kπ＋π２ ,２kπ＋３π２ é ë êê ù û úú(k∈Z) C．[２kπ－π,２kπ](k∈Z) D．[２kπ,２kπ＋π](k∈Z) ４．点 M π２ ,－m æ è ç ö ø ÷在函数y＝sinx的图象 上,则m 等于 (　　) A．０　　　B．１　　　C．－１　　　D．２ ５．函数y＝－３sin２x－π６ æ è ç ö ø ÷的单调递增区 间是 (　　) A．kπ＋π３ ,kπ＋５π６ é ë êê ù û úú(k∈Z) B．kπ－π６ ,kπ＋π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) C．２kπ＋π３ ,２kπ＋５π６ é ë êê ù û úú(k∈Z) D．２kπ－π６ ,２kπ＋π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) ６．(多选)已知函数f(x)＝２sinωx(ω＞０) 在区间 －π３ ,π ４ é ë êê ù û úú 上的最小值是－２,则 ω的值可以等于 (　　) A．２３　　B． ３ ２　　C．２　　D．３ ７．函数y＝－３sin２x＋９sinx＋５４ 的最大 值为　　　　． ８．将sin１,sin２,sin３,sin４按由大到小 的顺序排列为　　　　． ９．函数y＝ －２sinx的定义域是　　　　, 单调递减区间是　　　　． １０．求使下列函数取得最大值和最小值时 的x 值,并 求 出 函 数 的 最 大 值 和 最 小值． (１)y＝２sinx－１; (２)y＝－sin２x＋ ２sinx＋３４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第一章　三角函数 １１．函数f(x)＝sinx＋２|sinx|,x∈[０, ２π]的图象与直线y＝k有且仅有两个 不同的交点,求实数k的取值范围． １２．求下列函数的单调增区间: (１)y＝１－sinx２ ; (２)y＝log１２sin x ２－ π ３ æ è ç ö ø ÷． １３．作出函数y＝|sinx|的图象; (１)由 图 象 分 析 该 函 数 的 值 域,周 期性; (２)写出该函数的单调区间; (３)判 断 该 函 数 的 奇 偶 性,并 给 予 证明． １４．用“五点法”作出函数y＝１－２sinx,x∈ [－π,π]的简图,并回答下列问题: (１)观察函数图象,写出满足下列条件 的x的区间． ①y＞１;②y＜１． (２)若直线y＝a与y＝１－２sinx,x∈ [－π,π]的图象有两个交点,求a的取 值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 必修第二册 １２．解:为使函数有意义,需满足 log２ １ sinx－１≥０ , sinx＞０,{ 即 sinx≤１２ , sinx＞０．{ 正弦函数图象如图所示, ∴定义域为 x{ ２kπ＜x≤２kπ＋π６,k∈Z} ∪ x{ ２kπ＋５π６≤x＜２kπ＋π,k∈Z}． １３．解:当x∈ －π３ ,２π ３[ ] 时, sinx∈ － ３２ ,１[ ] ,设t＝sinx, 则y＝t２－３t＋１,t∈ － ３２ ,１[ ] , 而y＝t２－３t＋１在 － ３２ ,１[ ] 上单调递减,所以求得值 域为 －１,７＋６ ３４[ ]． １４．解:(１)当x∈[０,π]时,sinx≥０,|sinx|＝sinx, 则f(x)＝４sinx; 当x∈(π,２π]时,sinx≤０,|sinx|＝－sinx, 则f(x)＝－２sinx． 所以f(x)＝ ４sinx ,x∈[０,π], －２sinx,x∈(π,２π]．{ 其图象如图所示． (２)由f(x＋２π)＝sin(x＋２π)＋３|sin(x＋２π)|＝sinx ＋３|sinx|＝f(x), 可知２π为函数f(x)的一个周期, 结合(１)中图象可得２π为函数f(x)的最小正周期．由 图可得,x∈[０,２π]时,函 数f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 ０,π２[ ] ,π, ３π ２[ ] , 又f(x)的最小正周期为２π,故函数f(x)的单调递增区 间为 kπ,π２＋kπ[ ](k∈Z)． 第三课时　正弦函数的图象与性质再认识(三) １．C　２．B　３．A　４．C　５．A　 ６．BCD　[由题意知 T ４≤ π ３ , T＝２πω , ì î í ïï ï 解得ω≥３２． ] ７．解析:令t＝sinx,则t∈[－１,１]． 故y＝－３t２＋９t＋５４＝－３t－ ３ ２( ) ２ ＋８在t∈[－１,１] 上递增． 故当t＝１,即sinx＝１时函数取得最大值,即ymax＝－３ × １－３２( ) ２ ＋８＝２９４． 答案:２９ ４ ８．解析:∵sin２＝sin(π－２),sin３＝sin(π－３),且０＜π－ ３＜１＜π－２＜π２ , 函数y＝sinx在 ０,π２[ ] 上单调递增,且sin４＜０, ∴sin(π－２)＞sin１＞sin(π－３)＞０, 即sin２＞sin１＞sin３＞sin４． 答案:sin２＞sin１＞sin３＞sin４ ９．解析:由－２sinx≥０,得sinx≤０, ∴２kπ－π≤x≤２kπ(k∈Z), 即函数的定义域是[２kπ－π,２kπ](k∈Z)． ∵y＝ －２sinx与y＝sinx的单调性相反, ∴函数的单调递减区间为 ２kπ－π２ ,２kπ[ ](k∈Z)． 答案:[２kπ－π,２kπ](k∈Z)　 ２kπ－π２ ,２kπ[ ](k∈Z) １０．解:(１)由－１≤sinx≤１知,当x＝２kπ＋ π２ (k∈Z)时, 函数y＝２sinx－１取得最大值,ymax＝１; 当x＝２kπ＋３π２ (k∈Z)时,函数y＝２sinx－１取得最小 值,ymin＝－３． (２)y＝－sin２x＋ ２sinx＋３４＝－ sinx－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋５４． 因为－１≤sinx≤１, 所以当sinx＝ ２２ ,即x＝２kπ＋ π４ 或x＝２kπ＋３π４ (k∈ Z)时,函数取得最大值ymax＝ ５ ４ ; 当sinx＝－１,即x＝２kπ＋３π２ (k∈Z)时,函数取得最小 值ymin＝－ １ ４－ ２． １１．解:由题意知,f(x)＝sinx＋２|sinx|, ＝ ３sinx ,x∈[０,π) －sinx,x∈[π,２π]{ 在坐标系中画出函数图象: 由其图象可知当直线y＝k,R∈(１,３)时, 与f(x)＝sinx＋２|sinx|, x∈[０,２π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交 点,故实数k的取值范围是(１,３)． １２．解:(１)由２kπ＋π２≤ x ２≤２kπ＋ ３ ２π ,k∈Z, 得４kπ＋π≤x≤４kπ＋３π,k∈Z． ∴y＝１－sinx２ 的增区间为[４kπ＋π,４kπ＋３π],k∈Z． (２)要求函数y＝log１ ２ sin x２－ π ３( ) 的增区间,即求使y ＝sin x２－ π ３( ) ＞０且单调递减的区间．为此,x 满足: ２kπ＋π２≤ x ２－ π ３＜２kπ＋π ,k∈Z． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３１􀅰 必修第二册 整理得４kπ＋５π３≤x＜４kπ＋ ８π ３ ,k∈Z． ∴函数y＝log１ ２ sin x２－ π ３( ) 的增区间为 ４kπ＋５π３ ,４kπ＋８π３[ ) ,k∈Z． １３．解:∵y＝|sinx|＝ sinx ,２kπ≤x≤２kπ＋π,k∈Z, －sinx,２kπ＋π＜x＜２kπ＋２π,k∈Z,{ 图象如图所示． (１)由图可知,该函数的值域为[０,１]且y＝|sinx|是周期函 数,最小正周期为π． (２)由 图 象 可 知,该 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 kπ,π２＋kπ[ ] ,k∈Z, 单调递减区间为 －π２＋kπ ,kπ[ ] ,k∈Z． (３)由于该图象关于y轴对称,故该函数为偶函数,证明 如下,令f(x)＝|sinx|, 则f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x), 故y＝|sinx|是偶函数． １４．解:列表如下: x －π －π２ ０ π ２ π sinx ０ －１ ０ １ ０ １－２sinx １ ３ １ －１ １ 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图: (１)由图象可知,图象在直线y＝１上方部分时y＞１,在 直线y＝１下方部分时y＜１, 所以①当x∈(－π,０)时,y＞１;②当x∈(０,π)时,y ＜１． (２)如图所示,当直线y＝a与y＝１－２sinx, x∈[－π,π]的图象有两个交点时,１＜a＜３或－１＜a ＜１, 所以a的取值范围是(－１,１)∪(１,３)． ５．２　余弦函数的图象与性质再认识 １．C　２．D　３．A　４．C　５．ABD ６．AC　[∵f(x)＝cosx－x２,x∈[－π,π], f(－x)＝cos(－x)－(－x)２＝cosx－x２＝f(x), ∴f(x)是偶函数．易知f(x)在[－π,０]上单调递增,在 [０,π]上单调递减, 因此当－π≤x１＜x２≤０,或０≤x２＜x１≤π时,有f(x１) ＜f(x２),∴A正确,B错误．又f(x)是偶函数, ∴当|x１|＞|x２|或x２１＞x２２ 时,f(x１)＜f(x２), 从而 C正确,D错误．故选 AC．] ７．解析:y＝sin π２－x( ) ＝cosx 作 出 在x∈[０,２π]的 简图． 满足cosx＜０的x的范围是 π２ ,３π ２( ) ,即不等式的解集 为 π ２ ,３π ２( )． 答案: π ２ ,３π ２( ) ８．解析:作函数y＝cosx与y＝x２ 的图象,如图所示,由图 象可知原方程有两个实数解． 答案:２ ９．解析:因为y＝cosx在[－π,０]上是增函数,在[０,π]上 是减函 数,所 以 只 有 －π＜a≤０ 时 满 足 条 件,故a∈ (－π,０]． 答案:(－π,０] １０．解:y＝３cos π３－x( )＝３cosx－ π ３( )． 由２kπ≤x－π３≤２kπ＋π (k∈Z), 解得４kπ＋２３π≤x≤４kπ＋ ８ ３π (k∈Z), ∴ 函 数 y ＝ ３cos π３－x( ) 的 单 调 递 减 区 间 为 ４kπ＋２３π ,４kπ＋８３π[ ](k∈Z)． １１．解:易知当 π３≤x≤π 时,y＝２cosx是减函数,因为当x ＝π３ 时,y＝２cosπ３＝１ ,当x＝π时,y＝２cosπ＝－２, 所以－２≤y≤１,即函数y＝２cosx 的值域是[－２,１], 所以a＝－２,b＝１,所以b－a＝１－(－２)＝３． １２．解:cos －７π８( )＝cos ７π ８＝cos π－ π ８( )＝－cos π ８ , 而cos７π６＝－cos π ６ , ∵０＜π８＜ π ６＜ π ２ ,y＝cosx在 ０,π２( ) 上是减函数, ∴cosπ８＞cos π ６． 即－cosπ８＜－cos π ６ ,∴cos －７π８( ) ＜cos ７π ６． １３．解:(１)要使函数f(x)＝lgcos２x有意义, 则cos２x＞０,即－π２＋２kπ＜２x＜ π ２＋２kπ ,k∈Z, －π４＋kπ＜x＜ π ４＋kπ ,k∈Z, ∴函数的定义域为 x －π４＋kπ＜x＜ π ４＋kπ ,k∈Z{ }． 由于在定义域内０＜cos２x≤１, ∴lgcos２x≤０,∴函数的值域为(－∞,０]． (２)∵f(－x)＝lgcos[２􀅰(－x)]＝lgcos２x＝f(x), ∴该函数是偶函数． (３)∵cos２x的周期为π,即cos２(x＋π)＝cos２x． ∴f(x＋π)＝lgcos２(x＋π)＝lgcos２x＝f(x)． ∴该函数的周期为π． (４)y＝lgu是增函数． 当x∈ －π４＋kπ ,kπ( ](k∈Z)时,u＝cos２x是增函数; 当x∈ kπ,π４＋kπ[ )(k∈Z)时,u＝cos２x是减函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３１􀅰 参考答案