5.1正弦函数的图象与性质再认识 第一课时 正弦函数的图象与性质再认识(一)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　§５．正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 　　　　　　５．１　正弦函数的图象与性质再认识 　　　　　　第一课时　正弦函数的图象与性质再认识(一) １．函数y＝sin４x＋３２π æ è ç ö ø ÷的周期是 (　　) A．２π　　　　　　B．π C．π２ D． π ４ ２．下列函数中是奇函数的是 (　　) A．y＝－|sinx| B．y＝sin(－|x|) C．y＝sin|x| D．y＝xsin|x| ３．在[０,２π]上,满足sinx≥ ２２ 的x 的取 值范围是 (　　) A．０,π４ é ë êê ù û úú B． π ４ ,３π ４ é ë êê ù û úú C．π４ ,π ２ é ë êê ù û úú D． ３π ４ ,πé ë êê ù û úú ４．函数f(x)＝x＋sinx,x∈R (　　) A．是奇函数,但不是偶函数 B．是偶函数,但不是奇函数 C．既是奇函数,又是偶函数 D．既不是奇函数,又不是偶函数 ５．(２０２２􀅰黑龙江大庆实验中学高一期 末)函数f(x)＝３|sinx|＋２sinx的最 小正周期为 (　　) A．π B．３π２ C．２π D．４π ６．(多选)下列函数中,周期为π２ 的是 (　　) A．y＝sinx２ B．y＝sin２x C．y＝sin４x＋１ D．y＝sin(－４x) ７．函数f(x)＝sinπ３x ,则f(１)＋f(２)＋f(３) ＋􀆺＋f(２０２５)＝　　　　． ８．若f(x)是 R上的偶函数,当x≥０时, f(x)＝sinx,则f(x)的解析式是　　　． ９．函数y＝２sinx＋１的图象的对称中心 是　　　　,对称轴方程为　　　　． １０．求下列函数的周期: (１)y＝sin ２x＋π３ æ è ç ö ø ÷(x∈R); (２)y＝|sin２x|(x∈R)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 第一章　三角函数 １１．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝lg(１－sinx)－lg(１＋sinx); (２)f(x)＝１＋sinx－cos ２x １＋sinx ． １２．已知函数f(x)＝log１２|sinx|． (１)求其定义域和值域; (２)判断其奇偶性; (３)判断其周期性,若是周期函数,求 其最小正周期． １３．已知函数f(x)对于任意实数x 满足 条件f(x＋２)＝－ １f(x) (f(x)≠０)． (１)求证:函数f(x)是周期函数; (２)若f(１)＝－５,求f(f(５))的值． １４．函数f(x)＝(x－π)sinx＋１在区间 [－２π,４π]上的所有零点之和为 (　　) A．０　　B．π　　C．４π　　D．８π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 必修第二册 ８．解析:sinα－π２( )＝－sin π ２－α( )＝－cosα＝－ ２ ３． 答案:－２３ ９．解析:∵f(２０１９)＝asin(２０１９π＋α)＋bcos(２０１９π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－(asinα＋bcosβ)＝－１, ∴asinα＋bcosβ＝１． ∴f(２０２０)＝asin(２０２０π＋α)＋bcos(２０２０π＋β) ＝asinα＋bcosβ＝１． f(２０２１)＝asin(２０２１π＋α)＋bcos(２０２１π＋β) ＝－asinα－bcosβ＝－１． 答案:１　－１ １０．解:(１)原式＝cosα 􀅰sin(－α)cos(－α) cos(π－α)sin(π－α) ＝cosα (－sinα)cosα (－cosα)sinα ＝cosα． (２)原式＝cos (１８０°＋１０°)􀅰[－sin(１８０°＋３０°)] cos(３６０°－１０°)􀅰[－sin(３６０°＋２２５°)] ＝ －cos１０° 􀅰sin３０° cos１０°􀅰(－sin２２５°)＝ sin３０° －sin４５°＝ １ ２ － ２２ ＝－ ２２． １１．证明:左边＝ (－sinα)(－cosα)(－sinα)cos５π＋ π２－α( )[ ] (－cosα)sin(π－α)[－sin(π＋α)]sin４π＋ π２＋α( )[ ] ＝ －sin２αcosα －cos π２－α( )[ ] (－cosα)sinα[－(－sinα)]sin π２＋α( ) ＝ sin ３αcosα －cos２αsin２α ＝－sinαcosα＝ 右边,所以原式成立． １２．解:因为cos(π＋α)＝－１２ , 所以－cosα＝－１２ ,则cosα＝ １２ ,又因为α在第四象 限,所以sinα＝－ １－cos２α＝－ ３２． (１)sin(２π－α)＝sin[２π＋(－α)] ＝sin(－α) ＝－sinα＝ ３２． (２)sin [α＋(２n＋１)π]＋sin(π＋α) sin(π－α)cos(α＋２nπ) ＝sin (α＋２nπ－π)－sinα sinαcosα ＝sin (π＋α)－sinα sinαcosα ＝ －２sinαsinαcosα＝－ ２ cosα＝－４． １３．解:∵α的终边过点P(１,３), ∴x＝１,y＝ ３, r＝ １＋３＝２, ∴sinα＝yr ＝ ３ ２ ,cosα＝xr ＝ １ ２． (１)sin(π－α)－sin π２＋α( )＝sinα－cosα＝ ３－１ ２ ． (２)若α∈[０,２π],由sinα＝ ３２ ,cosα＝１２ ,得α＝π３ ,故 角α的集合S＝ αα＝２kπ＋π３ ,k∈Z{ }． １４．解:当k＝２n(k∈Z)时, 原式＝sin (２nπ－α)cos[(２n－１)π－α] sin[(２n＋１)π＋α]cos(２nπ＋α) ＝sin (－α)􀅰cos(－π－α) sin(π＋α)􀅰cosα ＝－sinα 􀅰(－cosα) －sinα􀅰cosα ＝－１ ; 当k＝２n＋１(n∈Z)时,原式＝ sin[(２n＋１)π－α]􀅰cos[(２n＋１－１)π－α] sin[(２n＋１＋１)π＋α]􀅰cos[(２n＋１)π＋α] ＝sin (π－α)􀅰cosα sinα􀅰cos(π＋α)＝ sinα􀅰cosα sinα􀅰(－cosα)＝－１． 综上,原式＝－１． §５．正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 ５．１　正弦函数的图象与性质再认识 第一课时　正弦函数的图象与性质再认识(一) １．C　２．D　３．B　４．A　５．C　 ６．CD　[T＝ ２π|－４|＝ π ２． ] ７．解析:∵f(x)＝sin π３x 的周期T＝２ππ ３ ＝６． ∴f(１)＋f(２)＋f(３)＋􀆺＋f(２０２５) ＝３３５[f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４)＋f(５)＋f(６)]＋ f(２０２３)＋f(２０２４)＋f(２０２５)＝ ３３５sin π３＋sin ２ ３π＋sinπ＋sin ４ ３π＋sin ５ ３π＋sin２π( ) ＋f(３３７×６＋１)＋f(３３７×６＋２)＋f(３３７×６＋３) ＝３３５×０＋f(１)＋f(２)＋f(３) ＝sin π３＋sin ２ ３π＋sinπ＝ ３． 答案:３ ８．解析:当x＜０时,－x＞０,f(－x)＝sin(－x)＝－sinx． ∵f(x)是 R上的偶函数,∴f(－x)＝f(x), ∴当x＜０时,f(x)＝－sinx．∴f(x)＝sin|x|,x∈R． 答案:f(x)＝sin|x|,x∈R ９．解析:由正弦函数的对称性可知y＝sinx的对称中心为(kπ, ０),k∈Z,对称轴为直线x＝π２＋kπ ,k∈Z． y＝２sinx＋１的图象是由y＝sinx的图象向上平移一个 单位,再纵坐标伸长到原来的２倍得到,故y＝２sinx＋１的 对称中心为(kπ,１),k∈Z,对称轴方程是直线x＝ π２ ＋ kπ,k∈Z． 答案:(kπ,１),k∈Z　x＝π２＋kπ ,k∈Z １０．解:(１)法一:令z＝２x＋π３ ,∵x∈R,∴z∈R． 函数f(x)＝sinz的最小正周期是２π, 就是说变量z只要且至少要增加到z＋２π, 函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得, 而z＋２π＝２x＋π３＋２π＝２ (x＋π)＋ π３ ,所以自变量x 只要且至少要增加到x＋π,函数值才能重复取得,从而 函数f(x)＝sin ２x＋π３( )(x∈R)的周期是π． 法二:f(x)＝sin ２x＋π３( ) 的周期为 ２π ２＝π． (２)作出y＝|sin２x|的图象． 所以该函数的最小正周期为 π ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２１􀅰 必修第二册 １１．解:(１)由 １－sinx＞０ , １＋sinx＞０,{ 得－１＜sinx＜１． 解得定义域为 x|x∈R且x≠kπ＋π２ ,k∈Z{ }． ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(１－sinx)－lg(１＋sinx) ∴f(－x)＝lg[１－sin(－x)]－lg[１＋sin(－x)] ＝lg(１＋sinx)－lg(１－sinx)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． (２)∵１＋sinx≠０,∴sinx≠－１, ∴x∈R且x≠２kπ－π２ ,k∈Z． ∵定义域不关于原点对称, ∴该函数是非奇非偶函数． １２．解:(１)∵|sinx|＞０, ∴sinx≠０,∴x≠kπ,k∈Z． ∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}． ∵０＜|sinx|≤１,∴log１ ２ |sinx|≥０, ∴函数的值域为{y|y≥０}． (２)函数的定义域关于原点对称, ∵f(－x)＝log１ ２ |sin(－x)| ＝log１ ２ |sinx|＝f(x), ∴函数f(x)是偶函数． (３)∵f(x＋π)＝log１ ２ |sin(x＋π)| ＝log１ ２ |sinx|＝f(x), ∴函数f(x)是周期函数,且最小正周期是π． １３．解:(１)证明:∵f(x＋２)＝－ １f(x) , ∴f(x＋４)＝－ １f(x＋２)＝－ １ － １f(x) ＝f(x), ∴f(x)是周期函数,４就是它的一个周期． (２)∵４是f(x)的一个周期． ∴f(５)＝f(１)＝－５, ∴f(f(５))＝f(－５)＝f(－１) ＝ －１f(－１＋２)＝ －１ f(１)＝ １ ５． １４．D　[f(π)＝０＋１＝１,所以π不是f(x)的零点．当x≠π 时,令f(x)＝(x－π)sinx＋１＝０,可得sinx＝ １π－x , 作出函数y＝sinx 和y＝ １π－x 的图象如图,它们均关 于点(π,０)对称,由图象可知它们在[－２π,４π]上有８ 个交点,且这８个交点可分成４对关于点(π,０)对称的 点,每对对称点的横坐标之和均为２π,所以这８个点的 横坐标之和,即f(x)在区间[－２π,４π]上的所有零点之 和为８π,故选 D．] 第二课时　正弦函数的图象与性质再认识(二) １．B　２．D　３．A　４．D　５．B ６．AB　[根据正弦函数的图象,在[０,２π]内,sinx＝ １２ 的 解为x＝π６ 或x＝５π６． ] ７．解析:画出y＝sinx,x∈ π６ ,π[ ] 的图象,如图所示． 当１ ２≤a＜１ 时,直线y＝a与y＝sinx,x∈ π６ ,π[ ] 交于 两点,故１ ２≤a＜１． 答案: １ ２ ,１[ ) ８．解析:用五点法画出函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图象,再 依次向 左、右 连 续 平 移 ２π 个 单 位,得 到 y＝sinx 的 图象． 描出点 １ １０ ,－１( ) ,(１,０),(１０,１)并用光滑曲线连接得 到y＝lgx的图象,如图所示． 由图象可知方程sinx＝lgx的解有３个． 答案:３ ９．解析:∵sinx－ １２ ≥０ ,即sinx≥ １２ ,结合正弦函数的 图象, 得 π ６＋２kπ≤x≤ ５π ６＋２kπ ,k∈Z． ∴y＝ sinx－１２ 的定义域为 x|π６＋２kπ≤x≤ ５π ６＋２kπ ,k∈Z{ } ∵１２≤sinx≤１ ,∴０≤sinx－１２≤ １ ２ , ∴０≤y≤ ２２ ,即值域为 ０,２２[ ] 答案: x π６＋２kπ≤x≤ ５π ６＋２kπ ,k∈Z{ }　 ０,２２[ ] １０．解:(１)∵y＝sinx在 －３π２ ,－π２[ ] 上是减函数, －３π２＜－３＜－２＜－ π ２ , ∴sin(－３)＞sin(－２)． (２)sin －１５π８( )＝sin －２π＋ π ８( ) , ∵y＝sinx 在 －π２ ,π ２[ ] 上是增函数,且－ π ２ ＜－ π ８ ＜π８＜ π ２ , ∴sin －π８( ) ＜sin π ８ , 即sin －１５π８( ) ＞sin － π ８( )． １１．解:f(x)＝sin(π＋x)＋sin２x－１＝sin２x－sinx－１,令t ＝sinx,则y＝t２－t－１＝ t－１２( ) ２ －５４ ,t∈[－１,１]． 因为－１≤t≤１,所以－５４≤y≤１ , 所以ymax＝１,此时sinx＝－１,x＝－ π ２＋２kπ ,k∈Z; 所以ymin＝－ ５ ４ ,此时sinx＝１２ ,x＝π６＋２kπ ,k∈Z或 x＝５π６＋２kπ ,k∈Z． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２１􀅰 参考答案