精品解析： 广东省广州市2025年中考数学第一次模拟数学卷

广东省广州市2025年中考数学第一次模拟数学卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共30分） 1. 在、﹣π、﹣3、2这四个数中，最小的数是（　　） A. B. ﹣π C. ﹣3 D. 2 2. 把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：38，45，41，37，40，38.这组数据的众数、中位数分别是（ ） A. 45，40 B. 38，39 C. 38，38 D. 45，38 5. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某口罩厂有56名工人，每人每天可以生产600个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩耳绳，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C D. 9. 如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要6根小棒，图案②需要10根小棒，图案③需要14根小棒，…，按此规律，则第9个图形中需要小棒的根数是（ ） A. 38 B. 88 C. 40 D. 42 10. 如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（共18分） 11. 因式分解：________． 12. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员次射击的平均成绩都是环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，由此可知__________的成绩更稳定． 13. 方程的解是______． 14. 如图，对角线关于点，过点的直线交边于点，交边于点，已知的面积为，则________． 15. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的矩形ODCE的顶点C在弧AB上．若OD＝3，OE＝4，则阴影部分图形的周长是__________（结果保留π）． 16. 如图：我们规定：形如的函数叫做“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于轴对称；②关于的不等式的解是或；③当关于的方程有两个实数解时，．其中正确的是__（填出所有正确结论的序号）． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： 18. 如图，．求证：． 19. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 20. 卡塔尔足球世界杯点燃了同学们对足球运动热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共50个，但总费用不超过3000元，甲品牌足球单价50元．乙品牌足球单价70元． （1）求购买足球所需费用y与购买甲品牌足球个数x的函数关系式． （2）若学校需购买的甲品牌足球不多于乙品牌足球的2倍，则学校购买的甲品牌足球多少个时，所需费用最省？并求出最省费用． 21. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为20℃的条件下生长最快的新品种，图示是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是反比例函数y=的图象上一部分，请根据图中信息解答下列问题． （1）恒温系统在这天保持大棚内温度20℃的时间有多少小时； （2）求k的值； （3）当x=20时，大棚内的温度约为多少度． 22. 如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，此时车架中立管长为，且．（参考数据：，，） （1）求车座到地面的高度（结果精确到）； （2）根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到） 23. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，动点在线段上运动，连接． （1）当时，求的值； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段；将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、． ①判断线段和的关系并说明理由； ②设直线和直线交于点，直线和直线交于点，求面积的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． （1）求的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； （3）如图②，若是线段上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省广州市2025年中考数学第一次模拟数学卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共30分） 1. 在、﹣π、﹣3、2这四个数中，最小的数是（　　） A. B. ﹣π C. ﹣3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】∵﹣π＜﹣3＜﹣＜2， ∴在-、﹣π、﹣3、2这四个数中，最小的数是﹣π． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，中心对称，由绕O点顺时针旋转180度，即原图形与旋转后的图形关于点O中心对称，据此逐一判断即可． 【详解】解：把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项C的图形． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的除法，幂的乘方，同底数幂相乘，合并同类项逐项分析即可． 【详解】A. ，故A选项不正确，不符合题意； B. ，故B选项不正确，不符合题意； C. ，故C选项不正确，不符合题意； D. ，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了整式的除法，幂的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 4. 某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：38，45，41，37，40，38.这组数据的众数、中位数分别是（ ） A. 45，40 B. 38，39 C. 38，38 D. 45，38 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：这组数据从小到大排列此数据为：37、38、38、40、41、45，数据38出现了两次最多为众数，38和40处在第三位和第四位，他们的平均数为39，所以39为中位数． 所以这组数据的众数是38，中位数是39． 故选：B． 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，注意众数可以不止一个． 5. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加减同一个数（或式），不等号方向不变；不等式两边同乘除同一个正数，不等号方向不变；同乘除同一个负数，不等号方向变反. 据此即可求解； 【详解】解：∵不等式两边加减同一个数（或式），不等号方向不变， ∴， 故A、B均成立，不符合题意； ∵不等式两边同乘除同一个正数，不等号方向不变；同乘除同一个负数，不等号方向变反.  ∴， 故C不成立，符合题意；D成立，不符合题意； 故选：C 6. 若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得2-k＜0，然后解不等式即可． 【详解】根据题意得2-k＜0， 解得k＞2． 故选：C． 【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 7. 电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、邻补角的定义，延长交于点，由平行线的性质得到，根据邻补角的定义得，最后根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 某口罩厂有56名工人，每人每天可以生产600个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩耳绳，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．由题意可知有人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系并列出方程即可． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩耳绳，则人生产口罩面，由题意得 ． 故选：A． 9. 如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要6根小棒，图案②需要10根小棒，图案③需要14根小棒，…，按此规律，则第9个图形中需要小棒的根数是（ ） A. 38 B. 88 C. 40 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，观察图案，可知下一个图比前一个图多4根小棒，找出4与第n个图案的小棒的根数的联系即可． 【详解】如图可知，后一幅图总是比前一幅图多4根小棒， 图案①需要小棒：（根）， 图案②需要小棒：（根）， 图案③需要小棒：（根）， … 则第9个图案需要小棒：根． 故选：A． 10. 如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 二、填空题（共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接用提公因式法分解即可． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 12. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员次射击的平均成绩都是环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，由此可知__________的成绩更稳定． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差小的，越稳定，即可求解． 【详解】解：∵甲、乙两名运动员次射击的平均成绩都是环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为， ∴甲的成绩更稳定． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键． 13. 方程的解是______． 【答案】x＝－1 【解析】 【分析】根据分式方程解法,去分母转化为整式方程,求出解后检验即可 【详解】去分母,方程两边都乘以(x-1)得x=-1 解这个方程得:x=-1 检验:当x=-1时,x-1≠0,所以x=-1是原方程的解, 故答案为x=-1 【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于去分母 14. 如图，的对角线关于点，过点的直线交边于点，交边于点，已知的面积为，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，证明，进而即可得到答案． 【详解】解：∵在中， ∴AB∥CD，OD=OB， ∴∠EDO=∠FBO， 又∵∠DOE=∠BOF， ∴， ∴． 故答案：16． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键． 15. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的矩形ODCE的顶点C在弧AB上．若OD＝3，OE＝4，则阴影部分图形的周长是__________（结果保留π）． 【答案】π＋10 【解析】 【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以得到OC的长，然后即可求得阴影部分图形的周长． 【详解】解：连接OC， ∵四边形DOEC是矩形，OD＝3，OE＝4， ∴EC＝OD＝3，∠OEC＝90°，OE＝CE＝4， ∴OC＝＝＝5， ∴阴影部分图形的周长是： 故答案为：＋10． 【点睛】此题为求不规则图形的周长，考查了矩形、勾股定理、弧长公式等有关内容，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 16. 如图：我们规定：形如的函数叫做“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于轴对称；②关于的不等式的解是或；③当关于的方程有两个实数解时，．其中正确的是__（填出所有正确结论的序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据函数的特征可知图象关于轴对称，故①正确，符合题意； 函数关于轴对称的函数图象解析式为， 关于的不等式的解是或，故②正确，符合题意； 由图可得：关于的方程有两个实数解时，或取函数的最大值时，故③错误，不符合题意； 综上所述，正确的是①②， 故答案为：①②． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】用因式分解法求解即可． 【详解】解：． ， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， 即． 在和中， ． 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析， 【解析】 【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数； （2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角； （3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整； （4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率． 【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40， ∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6， ∴本次调查所得数据的众数是1部， ∵2+14+10=26＞21，2+14＜20， ∴中位数为2部． 故答案为：1，2 （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为： 故答案为：72°. （3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人 补全统计图如图所示． （4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 画树状图可得： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 20. 卡塔尔足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共50个，但总费用不超过3000元，甲品牌足球单价50元．乙品牌足球单价70元． （1）求购买足球所需费用y与购买甲品牌足球的个数x的函数关系式． （2）若学校需购买的甲品牌足球不多于乙品牌足球的2倍，则学校购买的甲品牌足球多少个时，所需费用最省？并求出最省费用． 【答案】（1） （2）学校购买的甲品牌足球33个时，所需费用最省，最省费用为2840元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）设购买甲品牌足球x个，则购买乙品牌足球个，根据总费用甲种足球的单价甲种足球的数量乙种足球的单价乙种足球的数量列出对应的函数关系式即可； （2）设购买甲品牌足球x个，则购买乙品牌足球个，根据购买费用不超过3000元且甲品牌足球不多于乙品牌足球的2倍，列出不等式组求出x的取值范围，再根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买甲品牌足球x个，则购买乙品牌足球个， 根据题意得：， ∴购买足球所需费用y与购买甲品牌足球的个数x的函数关系式为； 小问2详解】 解：设购买甲品牌足球x个，则购买乙品牌足球个， 根据题意得： ， 解得，且x为正整数， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴学校购买的甲品牌足球33个时，所需费用最省，最省费用为2840元． 21. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为20℃的条件下生长最快的新品种，图示是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是反比例函数y=的图象上一部分，请根据图中信息解答下列问题． （1）恒温系统在这天保持大棚内温度20℃的时间有多少小时； （2）求k的值； （3）当x=20时，大棚内的温度约为多少度． 【答案】（1）8小时；（2）200；（3）10℃． 【解析】 【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度20℃的时间为10﹣2=8（小时）； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）将x=20代入函数解析式求出y的值即可． 【详解】解（1）恒温系统在这天保持大棚温度20℃的时间为：10﹣2=8（小时）； （2）∵点B（10，20）在双曲线y=上， ∴20=， ∴解得：k=200； （3）当x=20时，y==10， 所以当x=20时，大棚内的温度约为10℃． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键． 22. 如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，此时车架中立管长为，且．（参考数据：，，） （1）求车座到地面的高度（结果精确到）； （2）根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得的长，利用正弦函数的定义即可得到结论； （2）设与交于点，则有，得到△，利用相似三角形的性质求得的长即可． 【详解】解：（1）设与交于， ，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 长，且， ， ； 答：车座到地面的高度是； （2）如图所示，，设与交于点，则有， △，得． 即， ． 故． 车架中立管拉长的长度应是． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大． 23. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识， （1）由圆周角定理得出，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出答案； （2）过点O作于点G，由垂径定理可得，利用，可求半径为2，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 是的直径， ． ． 是的中点， ． ． ， ． ， ． ，即． 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点G． 由垂径定理，得． 设，则，． ， ， 整理，得，即． ， ． ，即的半径为2． ． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，动点在线段上运动，连接． （1）当时，求的值； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段；将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、． ①判断线段和的关系并说明理由； ②设直线和直线交于点，直线和直线交于点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①，理由见解析② 【解析】 【分析】（1）过点作，三线合一，结合勾股定理求出的长，利用正切的定义，进行求解即可； （2）①将绕点旋转得到，连接，证明 四边形为正方形，得到，证明，，，进而得到点在直线上运动，，证明，即可得出结论； ②取的中点，连接，过点作，连接，易得点在以为直径的圆上运动，得到当三点共线时，取得最小值，此时面积最小，当最大时，面积最大，进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点作， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①，理由如下： 将绕点旋转得到，连接，则：， ∴，， 延长交于点， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴三点共线，，， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点在直线上运动，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 综上：； ②取中点，连接，过点作，连接，由①知：四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴，， 当三点共线，且在中间时，取得最小值，当三点共线，且在中间时，取得最大值，此时，四边形为矩形， ∴， ∴最小为，最大为， ∵， ∴当最小时，，最小； 当最大时，，最大； ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． （1）求的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； （3）如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）①当时，线段有最大值为4；②存在，或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； ②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可． 【小问1详解】 直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； 【小问3详解】 ①由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点， 令， 解得（舍或， 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$