精品解析：北京市景山学校远洋分校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷

景山学校远洋分校高一年级4月月考 数 学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. －315°化为弧度是（ ） A －π B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧度制与角度制的关系，即可求得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 下列结论中错误的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是 B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； C. ，，则； D. 若第三象限角，则是第二象限角． 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边相同的角的集合的概念以及特征可判断AC；定义根据角的概念可判断B；由象限角的概念可判断D. 【详解】终边经过点，则该终边为第一象限的角平分线， 即角的集合是，故A正确； 将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为，即分针转过的角的弧度数是，故B正确； 表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合， 表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即，故C正确； 由于为第三象限角，所以， 故，所以是第二或第四象限角，故D错误； 故选：D. 3. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】设扇形圆心角为，则，又，解得. 故选：B 4. 已知，，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可根据象限角的性质求解. 【详解】由，可得，， 故为第三象限角， 故选：C 5. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】由题意， 若，因为均为第二象限角，所以， 所以，即， 所以，且均为第二象限角， 所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角， 所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以， 所以，故必要性成立, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 已知向量，，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算与平行的坐标表示即可求解. 【详解】由，， 可得：， 又，. 所以，解得：， 故选：C 7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角． 【详解】因为， 所以，所以， 所以，因为， 所以，又因为，所以． 所以与的夹角为． 故选：A． 8. 已知向量，，则在上的投影数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的投影数量的定义求解. 【详解】在上的投影数量是， 故选：A 9. 若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，且，代入运算即可. 【详解】因为，，，， 可知， 又因为向量在基底，下的坐标为， 则， 所以在基底，下的坐标为. 故选：C. 10. 已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ） A. 17 B. 20 C. 34 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 【点睛】方法点睛： 解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化. 对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 计算：________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】， 故答案为：0. 12. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为___________.（写出一个即可） 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】利用终边相同的角得到，再余弦函数的性质求解. 【详解】解：因为角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 则， 所以， 解得， 当时，， 故答案为： 13. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据向量的投影公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则在方向上的投影为. 故答案为：. 14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长为米的弧田.按照上述方法计算弧田的矢为______米；面积为______平方米. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】如图所示，过作于，的延长线交于，利用锐角三角函数求出、，即可求出，再由弧田面积公式计算可得. 【详解】如图所示，过作于，的延长线交于. 则，，所以，， 所以，， 所以， 则弧田面积是. 故答案为：； 15. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点， 为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知若的余弦距离为，则的余弦距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦相似度和余弦距离的定义，即可求得结果. 【详解】由题意得， 则， 又， ， ， . 故答案为： 三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知. （1）求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题设得，即可弦化切求解； （2）先由题设结合（1）求出，再由诱导公式即可计算得解. 【小问1详解】 由得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 因为，且，所以， 所以，所以由得，解得， 所以. 17. 已知平面向量，.从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题： （1）求的值； （2）求向量夹角的余弦值. 条件①：；条件②：. 注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①：由已知求得，再由向量垂直的坐标表示可求得答案； 若选②，由已知得，再由向量的模的计算公式可求得答案； （2）由（1）得，由向量夹角的坐标计算公式可求得答案. 【小问1详解】 解：若选①：因为，，所以， 又，所以，解得； 若选②，因为，，所以， 又，所以，又，解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，所以，， 所以， 所以向量夹角的余弦值为. 18. 已知是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可； （2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案. 【小问1详解】 解：设，因为，所以．① 又，所以．②， 由①②联立，解得或， 所以或． 【小问2详解】 解：由， 得， 又，解得， 所以， 所以与的夹角. 19. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点． （1）求值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以、为基底表示出，代入原式根据数量积的定义及运算法则进行计算即可. （2）利用平面向量基本定理列方程组进行求解. （3）由平面向量数量积的运算，结合二次函数的最值的求法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以         . 【小问2详解】 设，则， 所以，解得. 【小问3详解】 记， ， 设， 则，， ，， 所以当，即时，取得最小值为. 20. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. （1）如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； （2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； （3）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【小问1详解】 . 由极化恒等式可得：. 【小问2详解】 如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. 【小问3详解】 令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 景山学校远洋分校高一年级4月月考 数 学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. －315°化为弧度是（ ） A. －π B. C. D. 2. 下列结论中错误的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是 B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； C. ，，则； D. 若是第三象限角，则是第二象限角． 3. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 5. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，，，若，则实数的值为（ ） A B. C. D. 7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，则在上的投影数量是（ ） A. B. C. D. 9. 若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A. B. C. D. 10. 已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ） A 17 B. 20 C. 34 D. 48 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 计算：________． 12. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为___________.（写出一个即可） 13. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为_______. 14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长为米的弧田.按照上述方法计算弧田的矢为______米；面积为______平方米. 15. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点， 为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知若的余弦距离为，则的余弦距离为__________. 三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16 已知. （1）求的值. （2）若，求的值. 17. 已知平面向量，.从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题： （1）求的值； （2）求向量夹角的余弦值. 条件①：；条件②： 注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 19. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点． （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数值； （3）若为线段上的动点，求的最小值． 20. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. （1）如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； （2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； （3）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$