精品解析：浙江省杭州市观成教育集团2024-2025学年九年级下学期3月考试数学试卷

杭州观成教育集团2024学年第二学期九年级数学学科 三月检测试题卷（问卷） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 当出现相反意义的量时，可以用正数和负数表示．如：微信账单收入100元记作，则支出10元应记作（ ） A. B. C. D. 2. 人体内的某种球状细胞的直径为0.000 001 56 m，数据0.000 001 56用科学记数法可表示为（ ） A. 1.56×10－6 B. 1.56×10－5 C. 156×10－5 D. 1.56×106 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（ ） A. 明天下雨的可能性比较大 B. 明天一定不会下雨 C. 明天一定会下雨 D. 明天下雨的可能性比较小 5. 榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A. B. C. D. 6. 将两张矩形纸条按如图方式叠放．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 点坐标为， 点坐标为，将线段绕点 顺时针旋转90°至 ，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人分别从A、B两地出发相向而行，和分别表示甲、乙两人离B地的距离与行走时间之间的关系，设甲、乙行走的速度分别是和，则（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（　　） A. S1＝4S2 B. S4＝3S2 C. S1＝S3 D. S3＝S4 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上，的值为_______． 13. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 14. 体育张老师为校运会规划铅球场地，他先选取点O为圆心，1米长为半径画铅球的投掷圈，再以O为圆心画扇形，已知米，，则投掷区（图中阴影部分）的面积为______平方米． 15. 如图，在 中，，将 绕着点A旋转，旋转后的点B落在 上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________． 16. 如图，正方形 中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为______． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 求不等式组的整数解． 18. 以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 19. 已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 20. 某商家在网络平台上在8点，12点，15点，18点，21点五个时刻对“冰墩墩”玩偶进行限量发售．现绘制了如下统计图（部分信息未给出），由图中给出的信息解答下列问题． 各时刻发售量扇形统计图 各时刻发售量条形统计图数量 （1）该商家一天共发售“冰墩墩”玩偶 个； （2）扇形统计图中，18点对应的扇形圆心角度数是 度； （3）补全条形统计图； （4）经过调查在随机抢购活动中，8点，12点，15点，18点，21点五个时刻的参与人数分别是2万，4万，5万，10万和10万，小雨在12点和21点两个时刻参与了抢购，问在哪一时刻抢购的成功率更高？ 21. 如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点 ，． （1） 的值为__________； 点坐标为__________． （2）若点是图象上的一点，当时，求 的取值范围． （3）根据图象直接写出时的取值范围． 22. 已知：如图，在 中，D是 的中点，，，与相交于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若的面积为5，，求的长． 23. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为______；抛物线与 轴的交点坐标为______； （2）若抛物线的顶点恰好在直线上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； （3）若，，为抛物线上三点，且总有，求 的取值范围． 24. 如图，正方形 中，点E在边 上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接 ，设． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）过点C作，垂足为G，连接．判断与 的位置关系，并说明理由； （3）将绕点B顺时针旋转 得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州观成教育集团2024学年第二学期九年级数学学科 三月检测试题卷（问卷） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 当出现相反意义的量时，可以用正数和负数表示．如：微信账单收入100元记作，则支出10元应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反意义的量，根据正负数表示一对相反意义的量，得到收入为正，则支出为负，进行判断即可． 【详解】解：微信账单收入100元记作，则支出10元应记作． 故选B 2. 人体内的某种球状细胞的直径为0.000 001 56 m，数据0.000 001 56用科学记数法可表示为（ ） A. 1.56×10－6 B. 1.56×10－5 C. 156×10－5 D. 1.56×106 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.00000156用科学记数法表示为1.56×10﹣6， 故选A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法与除法运算法则，积的乘方与幂的乘方运算法则，合并同类项法则对各选项进行判断． 【详解】A. ，错误； B. ，错误； C. ，错误； D. ，正确； 故选D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法与除法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 4. 若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（ ） A. 明天下雨的可能性比较大 B. 明天一定不会下雨 C. 明天一定会下雨 D. 明天下雨的可能性比较小 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的意义去理解即可． 【详解】∵气象部门预报明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大 故选A． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 5. 榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：榫的主视图为： 故选：B． 6. 将两张矩形纸条按如图方式叠放．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先根据矩形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进而可求解． 【详解】解：如图， 由矩形性质，得，， ∴，， ∴， 故选：B． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为 天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为 天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为 天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 8. 如图， 点坐标为， 点坐标为，将线段绕点 顺时针旋转90°至 ，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标， 先作轴，轴，根据题意可知，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 过点A，B作轴，轴，交x轴于点D，E， ∵点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故选：A． 9. 甲、乙两人分别从A、B两地出发相向而行，和分别表示甲、乙两人离B地的距离与行走时间之间的关系，设甲、乙行走的速度分别是和，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到和的关系，从而可以解答本题， 【详解】解：设甲、乙两地间的距离为，根据题意得： ，解得：， ∴， 即． 故选：B 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（　　） A. S1＝4S2 B. S4＝3S2 C. S1＝S3 D. S3＝S4 【答案】C 【解析】 【分析】设AB＝a．求出△ADE，△ABC的面积（用a表示），可得结论． 【详解】解：设AB＝a． ∵E是AB的黄金分割点，AE＞EB， ∴AD＝AEa，BE＝BC＝a（1）a， ∴S△ADE•（a）2a2，S△ABCaaa2， ∴S△ADE＝S△ABC， 即S1+S2＝S2+S3， ∴S1＝S3， 故选：C． 【点睛】本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，理解并掌握正弦的定义是解题关键．找到所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得的对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示，，垂足为C， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 14. 体育张老师为校运会规划铅球场地，他先选取点O为圆心，1米长为半径画铅球的投掷圈，再以O为圆心画扇形，已知米，，则投掷区（图中阴影部分）的面积为______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积的计算，根据题意得到，计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，投掷区（图中阴影部分）的面积为 （平方米） 故答案为： 15. 如图，在 中，，将 绕着点A旋转，旋转后的点B落在 上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵ 是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在 中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 16. 如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，，由正方形的性质可知， ，故，，根据相似三角形的性质求出，则，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 求不等式组的整数解． 【答案】整数解为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为： 18. 以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确解答过程见解析 【解析】 【分析】根据整式减法的运算法则进行判断，再利用整式减法的运算法则进行正确计算即可． 【详解】解：有错误，正确解答如下： 【点睛】此题考查了分式的减法，熟练掌握分式减法法则是解题的关键． 19. 已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】 错误， 证明：连结OC， ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BC． 【解析】 【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练正确切线的性质是解题的关键． 20. 某商家在网络平台上在8点，12点，15点，18点，21点五个时刻对“冰墩墩”玩偶进行限量发售．现绘制了如下统计图（部分信息未给出），由图中给出的信息解答下列问题． 各时刻发售量扇形统计图 各时刻发售量条形统计图数量 （1）该商家一天共发售“冰墩墩”玩偶 个； （2）扇形统计图中，18点对应的扇形圆心角度数是 度； （3）补全条形统计图； （4）经过调查在随机抢购活动中，8点，12点，15点，18点，21点五个时刻的参与人数分别是2万，4万，5万，10万和10万，小雨在12点和21点两个时刻参与了抢购，问在哪一时刻抢购的成功率更高？ 【答案】（1）4000； （2）108； （3） 补全条形统计图； （4）12点． 【解析】 【分析】（1）结合图形可知21点发售了1000个，所占比例为，所以一天总共发售个； （2）利用18点发售了1200个，所以对应的扇形圆心角度数是； （3）由图可知：15点发售了个，即可补全图形； （4）根据概率公式求出每个时刻抢到的概率，比较大小即可知道12点抢购的成功率更高． 【小问1详解】 解：由题可知：该商家一天共发售“冰墩墩”玩偶（个）， 故答案是：4000； 【小问2详解】 解：由题意可知：扇形统计图中，18点对应的扇形圆心角度数是， 故答案是：108； 【小问3详解】 解：由图可知：15点发售了（个）； 【小问4详解】 解：12点时抢购的成功率为， 21点时抢购的成功率为， ∴12点抢购的成功率更高． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图，求扇形统计图中的圆心角，概率公式，画条形统计图，解题的关键是理解题意，结合图形获取信息，根据样本所占比估计出总体数量． 21. 如图， 的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点 ，． （1） 的值为__________； 点坐标为__________． （2）若点是图象上的一点，当时，求 的取值范围． （3）根据图象直接写出时 的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 （3）或， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数比例系数的几何意义： （1）根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，x的值， 进而结合函数图象可得答案； （3）先求出点B坐标，再根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵，轴，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∵双曲线的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴由函数图象可知，当时，或， ∴当时， 的取值范围为或； 【小问3详解】 解：由（1）得直线解析式为， 联立，解得或， ∴， 由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时， 的取值范围为或． 22. 已知：如图，在 中，D是 的中点，，，与相交于点E，与 相交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若的面积为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，利用三角形的面积公式求线段的长是解题的关键． （1）由可以得到，利用D是 边上的中点，可以得到，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论； （2）由可以得到，再根据就可以证明； （3）利用相似三角形的性质就可以求出 的面积，然后利用面积公式再根据比例就可以求出的长． 【小问1详解】 证明∶∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解∶ 作于 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为______；抛物线与 轴的交点坐标为______； （2）若抛物线的顶点恰好在直线上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； （3）若，，为抛物线上三点，且总有，求 的取值范围． 【答案】（1）1， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，解题关键是根据待定系数法求出二次函数解析式，利用抛物线顶点坐标公式求解； （1）直接利用抛物线对称轴公式求解即可，把代入即可求出抛物线与 轴的交点坐标； （2）求出抛物线顶点坐标，代入即可求解； （3）根据三个点到对称轴的距离列出不等式，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， 把代入得，，抛物线与 轴的交点坐标为， 故答案为：1，． 【小问2详解】 解：抛物线的顶点恰好在直线上，抛物线对称轴是直线， 所以抛物线的顶点坐标为，代入得，， 解得， 抛物线解析式为． 【小问3详解】 解：因为，，为抛物线上三点，且， 当时，，不符合题意； 当时，，要满足， 则，，解得，； 当时，，要满足， 则，解得； 当时，，不符合题意； 所以， 的取值范围是． 24. 如图，正方形中，点E在边 上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接 ，设． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）过点C作，垂足为G，连接．判断与 的位置关系，并说明理由； （3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) ． (2)DG//CF．理由见解析． (3) ． 【解析】 【分析】(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为 算出 ． (2)作辅助线BF、AC，先导角证明 是等腰直角三角形、 是等腰直角三角形．再证明 、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF． (3) 为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可． 【详解】(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N． 点A关于直线BE的对称点为点F BE是AF的垂直平分线 ，AB=BF 四边形ABCD是正方形 AB=BC， ． (2) 位置关系：平行． 理由：连接BF，AC，DG 设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N 由(1)可知， 是等腰直角三角形 四边形ABCD是正方形 是等腰直角三角形 垂直平分AF 在 和 中， 在 和 中， CF//DG (3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论： ①当FH=BH时，作 于点M 由(1)可知：AB=BF， 四边形ABCD是正方形 设AB=BF=BC=a 将绕点B顺时针旋转得到 FH=BH 是等腰三角形， 在 和 中， BM=AE= ②当BF=FH时， 设FH与BC交点为O 绕点B顺时针旋转得到 由(1)可知： 此时， 与 重合，与题目不符，故舍去 ③当BF=BH时， 由(1)可知：AB=BF 设AB=BF=a 四边形ABCD是正方形 AB=BC=a BF=BH BF=BH=BC=a 而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为 )、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系()、正弦函数定义式(对边：斜边) ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $