精品解析：2025年广东省韶关市翁源县九年级中考一模数学试题

2025年九年级学业水平模拟检测题 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年1月25日，广东省统计局发布2024年广东经济运行简况．根据地区生产总值统一核算结果，2024年，全省地区生产总值超过141000亿元，按不变价格计算，比上年增长．数据“141000亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角的度数为50°，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 30° D. 25° 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. （） 6. 作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若菱形的边长为，其中较短的一条对角线的长也为，则这个菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为，点，均在轴上，且．若的面积为4，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是______． 12. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__． 13. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 14. 解方程：． 15. 如图，是内的一点，，．若，，则的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的垂直平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，记的中点为，以点为圆心，的长为半径作，交于点，过点作于点．求证：是的切线． 18. 如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． （1）求的值． （2）如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省雷州市的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取200个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 数据分组 组别 根据所给信息，解答下列问题． （1）在甲品种扇形统计图中，组对应的扇形的圆心角为多少度？ （2）从乙品种芒果测量结果的组数据中随机抽取8个数据，具体为：，，，，，，，．张明同学依此断定乙品种芒果组测量数据的众数为，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． （3）结合市场调查，按照级别评定要求（一级品质最优，二级次之，三级最次），认定组和组的芒果为优级产品，组和组为基本合格产品，组为次果（不纳入品质评比）．你认为哪个品种的芒果品质更优？请说明理由． 20. 如图，某苗圃师傅用木制栅拦设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）． （2）该矩形育苗试验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． （3）当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？ 21. 综合与实践 【主题】圆形纸片与剪纸艺术 【素材】图1中半径为2的圆形纸片（）若干． 【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（）上剪出一个圆周角为90°的扇形． 活动二：如图3，在另一圆形纸片（）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形的面积为，再连接，，剪出，设的面积为． 活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心． 【实践探索】 （1）根据剪纸要求，计算图2中的扇形的面积． （2）请直接写出的值：______． （3）求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 23. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，连接，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级学业水平模拟检测题 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：A． 2. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 2025年1月25日，广东省统计局发布2024年广东经济运行简况．根据地区生产总值统一核算结果，2024年，全省地区生产总值超过141000亿元，按不变价格计算，比上年增长．数据“141000亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值；据此求解即可． 【详解】解：141000亿． 故选D． 4. 如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角的度数为50°，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 30° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直定义和平行线的性质，由光的反射规律可求，再由，可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘除法，幂的、积的乘方运算，负整数指数幂，掌握计算公式是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法，幂的、积的乘方计算公式判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠分别为，可列表为： 由列表可得总共有种等可能得结果，其中恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠有2种， ∴恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率为：， 故选：B． 7. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的减法运算，先加减，再约分即可，解答的关键是熟练计算． 【详解】解：， 故选：C． 8. 若菱形的边长为，其中较短的一条对角线的长也为，则这个菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，设较短的对角线为，可得为等边三角形，过点作于，则，利用勾股定理求出即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设较短的对角线为， ∵菱形的边长为， ∴， ∴为等边三角形， 过点作于，则， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为，点，均在轴上，且．若的面积为4，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点P的纵坐标代入反比例函数解析式求出，再由建立方程求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是______． 【答案】4.5 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：把这些数从小大排列为3，4，4，5，6，6，最中间两个数是4和5， 则中位数是． 故答案为：． 12. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__． 【答案】240x=150x+12×150 【解析】 【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程. 【详解】解：设良马x天能够追上驽马． 根据题意得：240x=150×（12+x）=150x+12×150. 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关于x的一元一次方程． 13. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是2（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：原方程整理得：， 方程两边同时乘以x（x﹣2）得：， 化简得：-4x=2，解得：． 把代入x（x﹣2）≠0． ∴原方程的解是：． 15. 如图，是内的一点，，．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质与判定，含30度角的直角三角形与勾股定理的应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，结合角度与已知边长计算线段长度． 如图，过点作，过点作，连接，垂线构造直角三角形，证明，得到，再证明，根据，求得，最后再根据勾股定理，即可求得的值． 【详解】如图，过点作，过点作，连接． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据乘方、负指数幂、零指数幂和绝对值的计算进行化简，在进行有理数的加减运算． 本题考查了乘方、有理数的加减运算和绝对值，解题的关键是掌握乘方、有理数的加减运算和绝对值的相关计算． 【详解】解： 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的垂直平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，记的中点为，以点为圆心，的长为半径作，交于点，过点作于点．求证：是的切线． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 证明：如图，连接． ， ． ， ， ， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查尺规作线段垂直平分线、圆的切线判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，正确作出图形，掌握圆的切线的判定定理是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）连接．利用等边对等角证得，则，根据平行线的性质可证得，然后根据圆的切线判定定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． （1）求的值． （2）如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，估计实数的大小，图形规律型，正确得到规律是解题的关键． （1）根据勾股定理，逐一计算，得到规律，即可解答； （2）计算出第九个直角三角形的斜边长，再计算周长，即可解答． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：根据（1）中的结论，可知第9个直角三角形的斜边长为， 这个海螺图形的周长为， ，且接近， ，且接近， ，且最接近的整数是13， 即最接近的整数是13． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省雷州市的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取200个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 数据分组 组别 根据所给信息，解答下列问题． （1）在甲品种扇形统计图中，组对应的扇形的圆心角为多少度？ （2）从乙品种芒果测量结果的组数据中随机抽取8个数据，具体为：，，，，，，，．张明同学依此断定乙品种芒果组测量数据的众数为，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． （3）结合市场调查，按照级别评定要求（一级品质最优，二级次之，三级最次），认定组和组的芒果为优级产品，组和组为基本合格产品，组为次果（不纳入品质评比）．你认为哪个品种的芒果品质更优？请说明理由． 【答案】（1） （2）不正确； 理由：没有给出其它的数据，不能判断众数，故不正确． （3）乙品种； 理由：甲品种芒果的优级产品所占的百分比为： ； 乙品种芒果的优级产品所占的百分比为： ． ， 乙品种芒果的品质更优． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图和频数分布直方图，求扇形统计图的圆心角，求众数，解题的关键是熟练掌握扇形统计图的特点． （1）用乘以D组所占的百分比即可得出答案； （2）根据众数的定义进行求解即可； （3）分别求出甲品种芒果的优级产品所占的百分比和乙品种芒果的优级产品所占的百分比，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 组对应的扇形的圆心角为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，某苗圃师傅用木制栅拦设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）． （2）该矩形育苗试验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． （3）当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）（） （2） 不能； 理由：当时，， 即：． ，故此时方程无解， 该试验田的面积不能达到． （3）； 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形的面积公式，列出函数关系式，根据矩形的边长大于0，围墙的长度为21米，求出的取值范围即可； （2）当时，利用判别式进行判断即可； （3）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：， ． ， ， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 当时，有最大值，最大值为， 即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是． 21. 综合与实践 【主题】圆形纸片与剪纸艺术 【素材】图1中半径为2的圆形纸片（）若干． 【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（）上剪出一个圆周角为90°的扇形． 活动二：如图3，在另一圆形纸片（）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形的面积为，再连接，，剪出，设的面积为． 活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心． 【实践探索】 （1）根据剪纸要求，计算图2中的扇形的面积． （2）请直接写出的值：______． （3）求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留） 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，圆周角定理，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键． （1）连接，根据圆周角定理可得为的直径，即可求得的长，利用扇形面积公式即可解答； （2）连接，证明，即可解答； （3）根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， 为的直径，即， ， ， 扇形的面积为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 六边形为正六边形， ，, ， 等边三角形， ，， ， ， 同理可得， ， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点， ， ， 是等边三角形， ， ， 点是的内心， ，， 在中，，， ， 的长为， 花窗的周长为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【答案】（1）； （2）； 理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，． ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 在中，， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明思路可得答案； （2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，证明，即可解答； （3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，结合（2）中的结论，列方程，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）正方形的边长为， ， ． 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 由（2），可得． 设， ，， ， 根据勾股定理可得， 解得， ． 23. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，连接，，求的值． 【答案】（1）证明：设点，， 点，都在正方形上， ，且， ，即． （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答； （2）过点作轴于点，交于点，证明，由相似三角形的性质列方程，即可解答； （3）过点作于点，过点作于点，求得的长，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）如图1，过点作轴于点，交于点， 四边形是正方形，， ，， ， 根据折叠的性质可得，，， ， 轴， ， ， ， ，． ， ， 解得， 点． 把点代入，解得； （3）如图2，过点作于点，过点作于点， ， 则四边形为矩形， 由（2），可知，，，，， ， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $