精品解析：北京市三帆中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试题

北京三帆中学2024-2025学年度第一学期期中考试试卷初二数学学科 注意： （1）时间100分钟，满分100分； （2）请将答案填写在答题纸上． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 6，6，6 B. 6，6，12 C. 6，7，14 D. 5，6，11 4. 如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 6. 下列各式中，能用图中的图形面积关系来验证的式子是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 等边对等角 B. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 C. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D. 三个角分别相等的两个三角形全等 8. 小新以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，四个正方形面积之和为26，则长方形的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若，则的取值范围为______． 10. 计算______． 11. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 12. 如图，，点D、E、M在同一直线上，且，，则的长为_______． 13. 如果，那么的值为______． 14. 如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为_______． 15. 如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为______． 16. 如图，两个全等的含的三角板和三角板，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，，连接，取的中点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的______． 三、解答题（本题共68分，第17题16分，第18-22题每题6分，23、24题每题7分，25题8分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图所示，在直角坐标系中，，，． （1）画出关于y轴的轴对称图形，并写出的面积； （2）画出关于直线（直线上各点的纵坐标都为）的对称图形，写出点C关于直线的对称点的坐标． 21. 我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的古希腊作图问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助下图的三角板完成，三角板的直角顶点为P（点P对应两直角边上刻度），三角板内部镂空三角形的边满足M，N，Q三点共线（所以），点Q对应一条直角边上刻度，下面以三等分为例说明利用该三角板三等分锐角的过程： 第一步：画直线使且这两条平行线的距离为，即； 第二步：移动三角板到合适位置，使其顶点P落在直线上，使边MN经过点B，同时让点R（对应直角边上刻度）落在的边上； 第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 补全三等分的主要证明过程： ，， （___________）（填推理的依据） 又， ___________＝___________． ，，， ______________________．（角的内部到角的两边___________的点在角的平分线上） ． 射线和射线___________是的三等分线． 22. 如图，在中，，，直线过点A，．过点作于D．在的延长线上取点，使得，连接，． （1）依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）． 思路： ①在的延长线上取点F，使得，连接． ②由垂直平分，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得； ③设，可以用含的代数式表示出___________，___________，从而证明出； ④于是可证（___________），从而得到_________（用含，的代数式表示）． 23. 老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： （1）直接写出的取值范围是___________； （2）解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 24. 已知：如图1，在中，，于点，在上截取一点，使．过点作，交于点E． （1）设，试求出和的大小（用含的代数式分别表示）； （2）用等式表示三条线段之间的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，直线为过点且与x轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为变换；当时，作出点关于轴的对称点P，称为变换，若某个图形上既存在点作了变换，又存在点作了变换，我们就称该图形为m—双变换图形．请解决下面的问题： （1）当时， ①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是___________； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标； （2）已知点，， ①若线段是m—双变换图形，则m的取值范围是___________； ②已知点在第一象限，若及其内部（点E除外）组成的图形是m—双变换图形，且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京三帆中学2024-2025学年度第一学期期中考试试卷初二数学学科 注意： （1）时间100分钟，满分100分； （2）请将答案填写在答题纸上． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查轴对称图形的识别，解题关键在于识别图形，掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项A不符合题意． B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意． C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意． D、是轴对称图形，故选项D符合题意． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 由同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； D、，故不符合题意， 故选：B． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 6，6，6 B. 6，6，12 C. 6，7，14 D. 5，6，11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是解本题的关键. 本题判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案. 【详解】解：A、，以6，6，6为边能组成三角形，故A符合题意； B、，以6，6，12为边不能组成三角形，故B不符合题意； C、，以6，7，14为边不能组成三角形，故C不符合题意； D、，以5，6，11为边不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：A. 4. 如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：由图可得， 故选：C． 5. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：C． 6. 下列各式中，能用图中的图形面积关系来验证的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，先根据图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键． 【详解】解：图中的阴影部分的面积为， 或， ∴， 故选：C． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 等边对等角 B. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 C. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D. 三个角分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及等腰三角形判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：A，等边对等角，正确，故此选项不符合题意； B，两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，正确，故此选项不符合题意； C，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形可以用证明全等，正确，故此选项不符合题意； D，三个角分别相等的两个三角形，边长不一定相等，故不一定全等，故此选项符合题意； 故选D． 8. 小新以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，四个正方形面积之和为26，则长方形的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式是关键．设，根据已知易得：，从而可得：，然后利用完全平方公式进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴长方形的面积为6． 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂的意义，熟练掌握零次幂的意义是解答本题的关键，非零数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义． 根据底数不为0列式求解即可． 【详解】∵， ∴， 即． 故答案为：． 10. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是熟知其运算法则． 根据单项式乘单项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 12. 如图，，点D、E、M在同一直线上，且，，则的长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．利用全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：12． 13. 如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值和整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算是解题的关键． 先化简再代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质，以及等角对等边，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 根据是的平分线，推出，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 15. 如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，两个全等的含的三角板和三角板，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，，连接，取的中点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质得到：，， ，得到①的结论正确；利用梯形的判定与性质判断②不正确；连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到③的正确；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质得到④的正确；利用等腰直角三角形的性质判断⑤不正确． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴①的结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∵， ∴， ∴②的结论不正确； 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵的中点为M， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∴③的结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴④的结论正确； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． ∴⑤的结论不正确． 综上，正确的结论有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的性质，条件适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17题16分，第18-22题每题6分，23、24题每题7分，25题8分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式、多项式除以单项式、平方差公式、完全平方公式，掌握整式的运算法则和公式是解题的关键． （1）按照多项式乘以多项式法则运算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可； （3）根据平方差公式运算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （）由全等三角形的性质得，再通过三角形外角性质求出即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确的去括号是解题的关键．先去括号，再根据合并同类项化简，最后将代入到化简后的结果进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 如图所示，在直角坐标系中，，，． （1）画出关于y轴的轴对称图形，并写出的面积； （2）画出关于直线（直线上各点的纵坐标都为）的对称图形，写出点C关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1） 如图所示即为所求． （2） 如图所示即为所求． 点的坐标是． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，画轴对称图形，熟练掌握网格特点并准确作图是解题的关键； （1）作点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可，然后用割补法求面积即可； （2）作点A，B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可，然后得出点的坐标． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 略 21. 我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的古希腊作图问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助下图的三角板完成，三角板的直角顶点为P（点P对应两直角边上刻度），三角板内部镂空三角形的边满足M，N，Q三点共线（所以），点Q对应一条直角边上刻度，下面以三等分为例说明利用该三角板三等分锐角的过程： 第一步：画直线使且这两条平行线的距离为，即； 第二步：移动三角板到合适位置，使其顶点P落在直线上，使边MN经过点B，同时让点R（对应直角边上刻度）落在的边上； 第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 补全三等分的主要证明过程： ，， （___________）（填推理的依据） 又， ___________＝___________． ，，， ______________________．（角的内部到角的两边___________的点在角的平分线上） ． 射线和射线___________是的三等分线． 【答案】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；；；；；距离相等； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质和角平分线的判定，利用线段垂直平分线的性质和角平分线的判定得到，即可解题． 【详解】解：，， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等） 又， ． ，，， ．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上） ． 射线和射线是的三等分线． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；；；；；距离相等；． 22. 如图，在中，，，直线过点A，．过点作于D．在的延长线上取点，使得，连接，． （1）依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）． 思路： ①在的延长线上取点F，使得，连接． ②由垂直平分，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得； ③设，可以用含的代数式表示出___________，___________，从而证明出； ④于是可证（___________），从而得到_________（用含，的代数式表示）． 【答案】（1） 如图所示， （2）；；；； 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）①根据题意画出图形即可； ②依据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的“三线合一”即可求解； ③证出，由直角三角形的性质即可求解； ④根据全等三角形的性质与判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在的延长线上取点F，使得，连接． ②由作图知垂直平分， ∴，， ∵， ∴，； ③设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ④∴， ∴， 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： （1）直接写出的取值范围是___________； （2）解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】（1） （2） 解：如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 24. 已知：如图1，在中，，于点，在上截取一点，使．过点作，交于点E． （1）设，试求出和的大小（用含的代数式分别表示）； （2）用等式表示三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） ， 理由如下：如图1，延长至M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的两锐角互余求出，根据三角形内角和定理、平行线的性质求出； （2）延长至M，使，证明，根据全等三角形的性质得到，得到，进而证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：略． 25. 在平面直角坐标系中，直线为过点且与x轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为变换；当时，作出点关于轴的对称点P，称为变换，若某个图形上既存在点作了变换，又存在点作了变换，我们就称该图形为m—双变换图形．请解决下面的问题： （1）当时， ①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是___________； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标； （2）已知点，， ①若线段是m—双变换图形，则m的取值范围是___________； ②已知点在第一象限，若及其内部（点E除外）组成的图形是m—双变换图形，且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积． 【答案】（1）①；②或 （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）①根据双变换的定义求出相应变换后的点的坐标即可；②分两种情形：，分别构建不等式解决问题即可； （2）①根据C，D两点的纵坐标，结合新定义判断出m的范围即可；②由题意得：满足条件的图形是四边形及四边形，进而求出图形G所覆盖的区域的面积． 【小问1详解】 解：①， ∴相应变换后的点的坐标是， 故答案为：； ②∵， ∴直线l为y轴， 若，点作相应变换后的点的坐标为，则点P的坐标； 若，则作变换，变换后的点，则点P的坐标； 综上，或； 【小问2详解】 解：①由题可知，线段是双变换图形，点， ∴， ∵， ∴或． 故答案为：或； ②如图， 点在第一象限，若及其内部（点E除外）组成的图形是m—双变换图形， ， 作变换图形所覆盖的区域为四边形， 作变换图形所覆盖的区域为四边形， ∴变换后的所有图形G所覆盖的区域的面积． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，一次函数解析式，新定义问题和三角形的面积公式，深入理解题意是解决问题的关键，属于中考创新题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $