精品解析：辽宁省抚顺市望花区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024~2025学年度（上）学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. （ ） A. 0 B. 1 C. -2025 D. 2. 航天员宇航服加入了可以抵御太空的高温的气凝胶．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为( ) A. 1200° B. 900° C. 720° D. 540° 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下四个运动图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 四组木条(每组根)的长度分别如图，其中能组成三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ） A. 边的高上 B. 的平分线上 C. 的平分线上 D. 边的中线上 9. 如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 10. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值应满足______． 12. 空调安装在墙上时，一般都会利用三角形支架按如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是_____． 13. 若多项式可分解为，则的值为______． 14. 如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为______． 15. 如图所示，在中，，，EF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点G，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 （1）分解因式： （2）计算： 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点． （1）画出关于轴对称的图形，其中点、、的对应点分别为点、、； （2）写出点和点的坐标； （3）若轴上有一点，且满足，请直接写出点坐标． 19. （SpringFestival），是中国民间最隆重最富有特色的传统节日之一，一般指除夕和正月初一、春节期间，我国北方除夕夜多吃饺子，南方除夕一般是吃元宵和年糕．年糕由于与“年高”谐音，取“步步高升”之意，承载着人们对新的一年的美好祝愿，也逐渐成为了北方春节期间的一道美食．今年春节前，某超市老板用420元购进一批年糕，又用800元购进了一批饺子，所购年糕数量是饺子数量的，且每袋年糕的进价比每袋饺子的进价少3元，请你求出每袋年糕和每袋饺子的进价分别是多少元． 20. 跨学科组合】 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）求证：； （2）求的长 21. 如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC于点E． （1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE的度数； （2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？ 22. 【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 23. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度（上）学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. （ ） A. 0 B. 1 C. -2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零次幂的运算，根据进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B 2. 航天员宇航服加入了可以抵御太空的高温的气凝胶．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解∶， 故选∶A． 3. 如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为( ) A. 1200° B. 900° C. 720° D. 540° 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式即可得到结论. 【详解】解：正六边形的内角和＝(6﹣2)×180°＝720°， 故选：C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2) ×180°是解答本题的关键. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 5. 以下四个运动图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：B项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 6. 四组木条(每组根)的长度分别如图，其中能组成三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】A、2＋2＜5，则不能构成三角形； B、2＋2＝4，则不能构成三角形； C、2＋3=5，则不能构成三角形； D、2＋3＞4，则能构成三角形； 故选：D． 【点睛】此题考查知识点是三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中较小的两个数的和是否大于第三个数即可． 7. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 8. 如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ） A. 边的高上 B. 的平分线上 C. 的平分线上 D. 边的中线上 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选B． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 9. 如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：． 10. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值应满足______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列不等式求解．理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 12. 空调安装在墙上时，一般都会利用三角形支架按如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的性质解答即可，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：空调安装在墙上时，一般都会利用三角形支架按如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 13. 若多项式可分解为，则值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．先将的括号展开，求出a和b的值，代入求解即可． 【详解】解：， ∵多项式可分解为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 14. 如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用角所对是直角边是斜边的一半求出、的长，再由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理即可解决问题． 本题主要考查了角所对是直角边是斜边的一半，勾股定理，熟记性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵在中，， ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 15. 如图所示，在中，，，EF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点G，点P为直线EF上一动点，则周长最小值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意知BP=PC，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论． 【详解】解：如图所示连接PC， ∵垂直平分， ∴BP=PC， ∴AP+BP=AP+PC， ∵△ABP的周长=AB+BP+AP， ∴要使△ABP的周长最小，即AP+BP最小， ∴要想使得AP+BP的值最小，则AP+PC的值最小， ∴当A、P、C三点共线时， 设交于点D， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值是． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出P的位置． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）分解因式： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用完全平方因式分解即可； （2）运用平方差公式计算小括号里的后，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，分式方程，熟练计算是解题的关键． （1）先计算括号里，再算除法，约分化简即可； （2）去分母化成整式方程，解答后检验即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 检验：当时，，所以原分式方程的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点． （1）画出关于轴对称的图形，其中点、、的对应点分别为点、、； （2）写出点和点的坐标； （3）若轴上有一点，且满足，请直接写出点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出即可； （2）根据各点在坐标系的位置写出、三点坐标即可； （3）先用割补法求出，进而利用求出长，即可求出结论． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称作图及坐标系中求面积，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题关键． 19. （SpringFestival），是中国民间最隆重最富有特色的传统节日之一，一般指除夕和正月初一、春节期间，我国北方除夕夜多吃饺子，南方除夕一般是吃元宵和年糕．年糕由于与“年高”谐音，取“步步高升”之意，承载着人们对新的一年的美好祝愿，也逐渐成为了北方春节期间的一道美食．今年春节前，某超市老板用420元购进一批年糕，又用800元购进了一批饺子，所购年糕数量是饺子数量的，且每袋年糕的进价比每袋饺子的进价少3元，请你求出每袋年糕和每袋饺子的进价分别是多少元． 【答案】年糕每袋的进价为7元，饺子每袋的进价为10元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用， 设每袋年糕的进价为元，则每袋饺子的进价为元．根据“420元购进的年糕数量是800元购进饺子数量的”列方程求解即可． 【详解】解：设每袋年糕的进价为元，则每袋饺子的进价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为， 所以， 答：年糕每袋的进价为7元，饺子每袋的进价为10元． 20. 【跨学科组合】 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）求证：； （2）求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC于点E． （1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE的度数； （2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？ 【答案】（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，在△ABE中，利用直角三角形的性质求出∠BAE的度数，从而可得∠DAE的度数． （2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可． （3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=(∠C-∠B)． 【详解】（1）∵∠C=80°，∠B=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠BAE=50°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°； （2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=(180°-∠B-∠C)= 90°-∠B-∠C， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠BAE=90°-∠B， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =(90°-∠B) -(90°-∠B-∠C ) =∠C-∠B =(∠C-∠B)； （3）（2）中的结论仍正确． ∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+(180°-∠B-∠C) = 90°+∠B-∠C； 在△DA′E中， ∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE =180°-90°-(90°+∠B-∠C) =(∠C-∠B)． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键． 22. 【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）②，①；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图形即可得出图1对应公式是；图2对应公式是； （2）先求出，得出，再根据即可得出答案； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则根据题意，得，再得出求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）， ， ， ． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ． 23. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；；（2）；．理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，则，因为，，即可作答． 【详解】解：（1）如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案：，30． （2），理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$