精品解析：河南省南阳市内乡县实验高级中学2025届高三下学期二轮复习测试（一）数学试题

内乡实验高中45届二轮复习测试题（一）数学试题 难度系数：0.65 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （8省改动） 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. （8省改动） 3. （ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. （8省改动） 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. （8省改动） 7. 在中，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 24 D. 48 8. 已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 （一模相似题） 10. Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为，其中 是总产出，是资本存量，是劳动力，是技术参数， 是资本和劳动的产出弹性.当不变时，下列说法正确的是（ ） A. 若与均变为原来的倍，且，则 变为原来的倍 B. 若与均变为原来的倍，且则 最少可变为原来的倍 C. 若与均变为原来的倍，且，则 最少可变为原来的倍 D. 若均不变，则函数的增长速度越来越慢 （一模相似题） 11. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则____________． 13. 2024年春耕期间，某农业局将含甲､乙在内的6位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去1个村庄，每个村庄至少有1人前去，且甲､乙不分配到同一个村庄，则不同的分配方法共有__________种.（用数字作答） 14. 对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线的最小覆盖圆的半径为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求s,t； （2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）根据小概率值 的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列中，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明： 17. 已知函数. （1）设，求曲线 的斜率为2的切线方程； （2）若是 的极小值点，求b的取值范围. （一模相似题） 18. 已知为椭圆上一点，点满足，且椭圆离心率为，记的轨迹为，以轨迹与轴正半轴交点为圆心作圆，圆与轨迹在第一象限交于点，在第二象限交于点. （1）求的方程； （2）求的最小值，并求出此时圆的方程； （3）设点是轨迹上异于的一点，且直线分别与轴交于点为坐标原点，求证：为定值. 19. 在平面四边形中， ， ，将沿AC翻折至 . （1）设 ，三棱锥 的各个顶点都在球的球面上. （i）证明：平面 平面 ； （ii）求球的半径； （2）求二面角 的余弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内乡实验高中45届二轮复习测试题（一）数学试题 难度系数：0.65 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （8省改动） 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算，即可得答案. 【详解】由集合，可得, 故选：D 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求解即可. 【详解】由，得函数的最小正周期为 故选：A （8省改动） 3. （ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的知识求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解. 【详解】，， ， . 故选：B. （8省改动） 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定的值，即可求得答案. 【详解】设双曲线的实轴长为 ，则，设虚轴长为 ，则 ， 因为双曲线焦点在纵轴上， 则双曲线的渐近线方程为，即， 故选：B 6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题可知圆锥的底面半径 ，母线长，高， ∴圆锥的体积为. 故选：A. （8省改动） 7. 在中，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：因为在中，， 由正弦定理可得， 所以, 又因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 8. 已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，讨论两个函数的零点，根据可得的关系，代入目标式，结合基本不等式可得. 【详解】设，. 因为 ，所以在上单调递增. 当时，；当时， . 因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根， 即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点. 由题意可得，，则当时，；当时，， 所以是方程的根，则，即，且 ， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键在于将不等式恒成立转化为两个函数零点重合，从而得到的关系，然后借助基本不等式求解即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. （一模相似题） 10. Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为，其中 是总产出，是资本存量，是劳动力，是技术参数， 是资本和劳动的产出弹性.当不变时，下列说法正确的是（ ） A. 若与均变为原来的倍，且，则 变为原来的倍 B. 若与均变为原来的倍，且则 最少可变为原来的倍 C. 若与均变为原来的倍，且，则 最少可变为原来的倍 D. 若均不变，则函数的增长速度越来越慢 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，得，代入判断A；利用基本不等式判断B；利用判断C；利用导函数的单调性判断D. 【详解】由题意可知，， 当时，，故A对； 当时，，所以， 当且仅当时，取等号，故B对； 当时，因为，所以， 当且仅当时，取等号，故C错； 若均不变， 是的函数，且， 因为，所以是减函数，故D对； 故选：ABD. （一模相似题） 11. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数关于轴对称的函数为，转化为方程在时有解，构造函数，利用函数的单调性和零点存在性定理，确定的取值范围. 【详解】由题意等价于当时，与的图象有交点， 又，则，即， 即方程在时有解， 令，显然在上单调递增， 当时，趋于时，，则只需，即； 当时，趋于时，趋于时，，即在上有解， 综上，实数的取值范围为.根据选项可得答案为A､B､C. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 13. 2024年春耕期间，某农业局将含甲､乙在内的6位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去1个村庄，每个村庄至少有1人前去，且甲､乙不分配到同一个村庄，则不同的分配方法共有__________种.（用数字作答） 【答案】390 【解析】 【分析】6人分成，和，再分别讨论甲､乙同组的分配方法，由间接法求出其方法总数，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】①6人分成的形式，则共有种分组方式， 若甲､乙同组，则还需选择两人成组，共有种选法，故共有种分组方式； ②6人分成的形式，则共有种分组方式， 其中甲､乙同组，剩下四人还可以分为的形式，共有种分法， 或者分为的形式，共有种分法，故共有种分组方式； ③6人分成的形式，共有种分组方式， 其中甲､乙同组，剩下四人还可以分为的形式， 所以共有种分组方式，故共有种分组方式. 综上，共有种分组方式，所以共有种分配方法. 故答案为：390. 14. 对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线的最小覆盖圆的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分析曲线对称性，再求曲线上点到原点距离最大值，即得结果. 【详解】因为把换成 ，方程不变，所以曲线关于轴对称； 因为把换成 ，方程不变，所以曲线关于轴对称； 因为把换成 ，同时把换成 ，方程不变， 所以曲线关于坐标原点对称； 因为把换成，同时把换成，方程不变， 所以曲线关于直线 对称， 因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点， 从而最小覆盖圆的半径为曲线上点到原点距离最大值， ，（当且仅当时取等号） 因此最小覆盖圆的半径为 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求s,t； （2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）根据小概率值 的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2） （3）能认为药物对预防疾病有效 【解析】 【分析】（1）根据列联表求和即可； （2）用频率估计概率，计算即可； （3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 由列联表知，； 【小问2详解】 由列联表知，未服用药物的动物有（只）， 未服用药物且患疾病的动物有 （只）， 所以未服用药物的动物患疾病的频率为， 所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为； 【小问3详解】 零假设为：药物对预防疾病无效， 由列联表得到， 根据小概率值 的独立性检验，推断不成立， 即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 ， 所以根据小概率值 的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效. 16. 已知数列中，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列. （2）根据（1）的结论可求数列的通项公式. （3）分析数列的单调性，即可证明. 【小问1详解】 因为，且. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得：，所以. 【小问3详解】 ， 因为，故. 而， 所以数列为递增数列，所以. 所以成立. 17. 已知函数. （1）设，求曲线 的斜率为2的切线方程； （2）若是 的极小值点，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是 的极小值点，可得，然后据此讨论 的单调性，分析得 在时的极值情况，从而得解. 【小问1详解】 当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 由题可得 定义域为，， 因是 的极小值点，则， 则， 若 ，令，令， 则 在上单调递增，在上单调递减， 得是 的极大值点，不满足题意； 若 ，令，令， 则 在上单调递增，在上单调递减， 得是 的极大值点，不满足题意； 若 ，则， 在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则 在上单调递增，在上单调递减， 得是 的极小值点，满足题意； 综上，是 的极小值点时，. （一模相似题） 18. 已知为椭圆上一点，点满足，且椭圆离心率为，记的轨迹为，以轨迹与轴正半轴交点为圆心作圆，圆与轨迹在第一象限交于点，在第二象限交于点. （1）求的方程； （2）求的最小值，并求出此时圆的方程； （3）设点是轨迹上异于的一点，且直线分别与轴交于点为坐标原点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）, （3） 设， 则直线的方程为， 直线的方程为 可得 所以 又， 即，代入上式可得： ， 即为定值. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义求出的值，再根据离心率，从而求出椭圆的方程即可； （2）根据（1）得,设，则，求出的表达式，根据二次函数的性质求出最小值，从而求出点的坐标及圆的半径； （3）设，则直线的方程为，直线的方程为，分别求出 的坐标，从而证明为定值. 【小问1详解】 由题可知，，即， 所以， 因为， 所以 , 所以曲线的方程为 . 【小问2详解】 由题知，设，则， 则， 又，即， 所以， 当时，取得最小值为， 此时，， 所以圆T的半径 所以圆T的方程为： 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的定义及直线与椭圆的应用，第三问的关键是设，并表示 的坐标，计算化简即可. 19. 在平面四边形中， ， ，将沿AC翻折至 . （1）设 ，三棱锥 的各个顶点都在球的球面上. （i）证明：平面 平面 ； （ii）求球的半径； （2）求二面角 的余弦值的最小值. 【答案】（1）（i）证明：在中，由 ， 得 ， 所以， 且 ，即 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 ； （ii）. （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）通过证明 平面 ，证得平面 平面 ； （ii）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，由此求得球的半径； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角 的余弦值，进而求得其最小值. 【小问1详解】 （i）略. （ii）以A为原点， 分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ， 则，设球心，半径， 则 ， 所以， 解得，所以球O的半径为； 【小问2详解】 在平面 中，过P作 于G，在平面 中，过G作 ， 因 平面 ,则平面 . 则由（1）， 设，以G为原点， 分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则点在平面 内， 则， 所以， 设平面 一个法向量为，则， 即，取 ， 则得； 平面 的一个法向量为，则， 即，取 ，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角 的余弦值的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $