第4章 第2-3节 三角形的基本概念及性质、全等三角形 -【中考对策】2025年中考总复习数学

第二节 三角形的基本概念及性质 A基础达标 (1)求证：GD∥CA: (2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB, 1.已知△ABC的周长为16，点D,E,F分别 且∠A=40°，求∠ACB的度数 为△ABC三条边的中点，则△DEF的周 长为 ( A.8 B.2 C.16 D.4 2.(2023·山西)如图，一束平行于主光轴的 光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束 经过光心O的光线相交于点P,点F为焦 点.若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数 为 A.45 B.50° C.55 D.60° B能力提升 145 8.(2024·德州宁津县一 30 、D 模)将△ABC按如图所 第2题图 第3题图 示翻折，DE为折痕，若 3.(2024·菏泽单县三模)一副三角板如图所 ∠A+∠B=130°，则 B*--- 示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是( ∠1+∠2 A.80° B.95 C.100° D.110 9.如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平 4.(2024·凉山州)如图，△ABC中， 分线，AE是BC边上的高，∠B=30°， ∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB ∠C=70° 上的高，AE是∠CAB的平分线，则 (1)求∠DAE的度数； ∠AEB的度数是 (2)如图2，若点F为AD延长线上一点， 过点F作FG⊥BC于点G,求∠AFG的 度数 /120 FA115 第4题图 第6题图 5.(2023·遂宁)若三角形三个内角的比为 1:2:3,则这个三角形按角分类是 图1 图2 三角形 6.(2023·徐州)如图，在△ABC中，若DE∥ BC,FG∥AC,∠BDE=120°，∠DFG= 115°，则∠C= 7.如图，在△ABC中，点E在AC上，点F 在AB上，点G在BC上，且EF∥CD, ∠1+∠2=180. 36 第三节 全等三角形 A基础达标 3.(2023·长春)如图，工人师傅设计了一种 测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为 1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、 AA',BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就 乙、丙三个三角形中能和△ABC重合的是 可以知道该零件内径AB的长度.依据的数 学基本事实是 () A.两边及其夹角分别相等的两个三角形 50P 全等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形 全等 B C.两条直线被一组平行线所截，所得的对 72 a/50\c ∠50 应线段成比例 c6587231 D.两点之间线段最短 丙 b A.丙和乙 B.甲和丙 C.只有甲 D.只有丙 2.(2024·北京)下面是“作一个角使其等于 ∠AOB”的尺规作图方法， C:B (1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧， 第3题图 第4题图 分别交OA,OB于点C,D: (2)作射线OA',以点O为圆心，OC长为半 4.(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个 径画弧，交O'A'于点C';以点C'为圆心，CD 小正方形的边长都是一个单位长度，点A, 长为半径画弧，两弧交于点D; B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上， (3)过点D'作射线OB',则∠A'OB=∠AOB. 线段AB,CD交于点F,若∠CFB=a,则 B ∠ABE等于 A.180°-a B.180°-2a C.90°+a D.90°+2a 5.(2024·东营河口区模拟)如图，在△ABC 中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得 E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3, 到∠A'OB'=∠AOB,其中判定△CO'D'≌ AE=4,则CH的长是 △COD的依据是 A.4 B.5 A.三边分别相等的两个三角形全等 C.1 D.2 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形 全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形 全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边 D C 相等的两个三角形全等 第5题图 第6题图 37 6.(2024·济南天桥区一模)如图，点E在 10.(2023·甘孜州)如图，在Rt△ABC中， AB上，AC=AD,请你添加一个条件，使 AC=BC=3√2，点D在AB边上，连接 图中存在全等三角形.我所添加条件为 CD,将CD绕点C逆时针旋转90°得到 CE,连接BE,DE. 7.(2024·宜宾)如图，点D、E分别是等边三 (1)求证：△CAD≌△CBE; 角形ABC边BC、AC上的点，且BD= (2)若AD=2,求CE的长； CE,BE与AD交于点F.求证：AD=BE. (3)点D在AB上运动时，试探究AD2+ BD2的值是否存在最小值，如果存在，求 出这个最小值；如果不存在，请说明理由. B能力提升 8.如图，在△ABC中， AB=5,AC=13,BC 边上的中线AD=6,则 △ABD的面积是 9.(2024·南充)如图，在△ABC中，点D为 BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD 的延长线于点E. (1)求证：△BDE≌△CDA; (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE. 3825+√/193 25-√193 .∠CGH+∠EHG=180°，∴.CDEF m 解得 18 m三 或 18 综上所递，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行.故 (舍去) -7-√193 -7+√193 选D. n= 6 6 15C解析：同时启动A,B两台收割机，所需的时间为23 -3m+3=-3×25+193 +3=-7-193 小时， 18 6 同时启动B,C两台收割机，所需的时间为19小时， 得到C比A快： ∴点P的坐标为5十9驱 -7-√193} 18 6 同时启动B,C两台收割机，所需的时间为19小时， ④当P在第四象限，D在第一象限时，如图5. 同时启动C,D两台收割机，所需的时间为20小时， ,△OPD是以PD为斜边的等腰直角 得到B比D快： 同时启动A,B两台收割机，所需的时间为23小时， 三角形， 同时启动A,E两台收制机，所需的时间为18小时， ∴.OD=OP,∠POD=90°， 得到E比B快； ∴.∠DOM=90°-∠PON=∠OPN. 同时启动C,D两台收割机，所需的时间为20小时， :∠DMO=90°=∠ONP, 同时启动D,E两台收割机，所需的时间为22小时， .△DOM≌△OPN(AAS), 得到C比E快 ..PN=OM,ON=DM, 图5 综上，收割最快的一台收割机编号是C. m=-n2-2m+3, 3m-3=: 16.解：∠ADE=∠ABC.理由如下： BE⊥AC,FG⊥AC, 11 ∴.BEFG,∴∠2=∠3. 将得低-会去) 9· :∠1=∠2，∴∠1=∠3， 2 n=3 .DE∥BC,.∠ADE=∠ABC. -3m+3=-3x号+8=-号， 第二节三角形的基本概念及性质 1.A2.C3.B4.100 点P的坐标为（侣，-号） 5.直角解析：设一份为°，则三个内角的度数分别为°， 2k,3k°. 综上所述，点P的坐标为0,3)或(5-1丽 则k°+2k°+3k°=180， 18 解得k=30 =什画)或(5+画，-7。®)或（告，）： 所以2k°=60°，3k°=90°，即三角形的内角中有一个角为 6 18 直角。 第四章图形的初步认识与三角形 故这个三角形是直角三角形. 6.55解析：，∠BDE=120°，∠DFG=115°，∠BDE+ 第一节线段、角、相交线与平行线 ∠ADE=180°，∠DFG+∠BFG=180°， 1.C2.C3.C4.B5.A6.C7.B .∠ADE=60°，∠BFG=65 8.C9.假10.411.65 DE∥BC,FG∥AC, 12.解：过E作EF∥AB,如图. .∠B=∠ADE=60°，∠A=∠BFG=65. .AB//CD. :∠A+∠B+∠C=180°， .AB//CD//EF .∠C=180°-65°-60°=55. .∠C=∠FEC, 7.(1)证明：如图所示，，EFCD, ∠BAE=∠FEA. C44 .∠1+∠3=180°. :∠C=44°，∠AEC为直角， :∠1+∠2=180°，∴∠2=∠3， .∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°-44°=46， ∴.GDCA. .∠1=180°-∠BAE=180°-46=134 (2)解：CD平分∠ACB, 13.A DG平分∠CDB, 14.D解析：如图，对于纸带①， :∠1=∠2=59°， ∠3=∠BD-ACB. .∠1=∠ADB=59 .∠DBA=180°-59°-59°=62° ∠2=∠GDB=2∠CDB. 1 由折叠的性质， ∠CDB=∠A+∠3，∠2=∠3， 得∠ABC=∠DBA=62°， .2∠3=∠A+∠3，∴∠A=∠3， ∠2≠∠ABC,.AD与BC不平行. ∴∠BCD=∠3=∠A=40°， 对于纸带②，由折叠的性质， .∠ACB=80°. 得∠CGH=∠DGH,∠EHG=∠FHG. 8.100°解析：设A'B交CD于点F,交 又点C,G,D在同一直线上，点E,H,F也在同一直 CE于点G,如图. 线上， 由折叠，得∠B=∠B',∠A=∠A' ·∠CGH+∠DGH=180°，∠EHG+∠FHG=180°， :∠C+∠CFG+∠CGF=180°，且 ∴.∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°， ∠CFG=∠A'FD,∠CGF=∠EGB', 65 .∠C+∠AFD+∠EGB=180°， .△ABD≌△ECD(SAS), :∠AFD=180°-∠1-∠A', ,∴.CE=AB=5,∠BAD=∠E. ∠EGB'=180°-∠2-∠B', AE=2AD=12,CE=5,AC=13, .∠C+(180°-∠1-∠A)+(180°-∠2-∠B)=180° .CE2+AE2=AC2,∠E=90°，.∠BAD=90°， :∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=130°， 即△ABD为直角三角形， .∠C=180°-∠A-∠B=50°， ∴.∠C+∠C-∠1+180°-∠2=180°， 六Sao=号AD~AB=15 ∴.2∠C=∠1+∠2=100 9.证明：(1)，D为BC的中点， 9.解：(1)在△ABC中， ..BD=CD. ,∠B=30°，∠C=70°， ,BE∥AC,∠E=∠DAC,∠DBE=∠C .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80° I∠E=∠DAC, AD平分∠BAC, 在△BDE和△CDA中，∠DBE=∠C, ∴∠BAD=∠CD=号∠BAC=号X0=40 BD=CD, ∴.△BDE≌△CDA(AAS). 在△ABD中，∠ADC=∠BAD+∠B=40°+30°=70°. (2)△BDE≌△CDA,.ED=AD. ,AE是BC边上的高，∠AED=90 :AD⊥BC,∴.BD垂直平分AE, 在△AED中，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= ∴BA=BE 180°-70°-90°=20 10.(1)证明：由题意，可知∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB, (2),FG⊥BC,.∠FGD=90° CD=CE, /AED=90°， .∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, ∴.∠FGD=∠AED,,FG∥AE, 即∠ACD=∠BCE, ∴.∠AFG=∠DAE. ∴△CAD≌△CBE(SAS) 由(1)可知∠DAE=20°，∴.∠AFG=20°. (2)解：在R1△ABC中，AC=BC=3√2， 第三节全等三角形 ∴.∠A=∠CBA=45,AB=√2AC=6. ∴BD=AB-AD=6-2=4. 1.B2.A3.A 4.C解析：如图， :△CAD2△CBE, ∴BE=AD=2,∠CBE=∠A=45, 由图，可知GD=HE=1,∠CGD= ∠BHE=90°，CG=BH=4, ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°， ∴.△CGD≌△BHE(SAS), ∴DE=√BD+BE=25, '.∠GCD=∠HBE. 在R△CDE中，CE=CD=DE=√o. CGBD,.∠CAB=∠ABD. √2 ,∠CFB=∠CAB+∠GCD=a, (3)解：存在.由(2)，可知AD2+BD2=BE+BD= ∴a=∠ABD+∠HBE, DE*=2CD*, ∴.∠ABE=∠ABD+∠DBH+∠HBE=9O°+a ∴当CD最小时，有AD2+BD2的值最小，此时CD⊥AB. 故选C ,△ABC为等腰直角三角形， 5.C解析：AD⊥BC,CE⊥AB, .∠ADB=∠AEH=9O°. CD=7AB=2×6=3, ∠AHE=∠CHD,∴∠BAD=∠BCE. .AD2+BD=2CD2≥2X32=18, ∠EAH=∠ECB, 即AD2+BD2的最小值为18. 在△HEA和△BEC中，∠AEH=∠CEB=9O°， 第四节等腰三角形与直角三角形 EH=EB, ∴.△HEA△BEC(AAS), 1.C2.C3.A4.C ∴.AE=CE=4, 则CH=CE-EH=AE一EH=4一3=1.故选C. 5C解析：a=号(m2-)6=mc=之（m2+) 6.CE=DE(答案不唯一) 7证明：，△ABC是等边三角形， a+=[om-]'+m=m-i)+ .∴.AB=BC,∠ABD=∠C=60° 又，BD=CE,∴.△ABD2△BCE(SAS), ..AD=BE. 721 im't1 mn2+ 8.15解析：延长AD到点E,使DE=AD=6,连接CE, 如图. :AD是BC边上的中线， ..BD=CD. a2+b=c2. 在△ABD和△ECD中， ∴4，b是直角三角形的直角边 BD=CD, m,n是互质的奇数， ∠ADB=∠EDC, A.3=1×3, AD=ED, ∴当m=3m=1时a=2m-)=46=m=-3 66