第3章 第9节 二次函数的综合应用-【中考对策】2025年中考总复习数学

第九节 二次函数的综合应用 A基础达标, 2.(2024·临夏州)在平面直角坐标系中,抛 物线y=-x{}十bx十c与x轴交于 1.(2024·福建)如图,已知二次函数y A(-1,0),B(3,0)两点,与v轴交于点C x*+bx十c的图象与:轴交于A,B两点 作直线BC. 与y轴交于点C,其中A(-2,0), (1)求抛物线的解析式; C(0,-2). (2)如图1,点P是线段BC上方的抛物线 (1)求二次函数的表达式 上一动点,过点P作PQ1BC,垂足为Q; (2)若P是二次函数图象上的一点,且点 请问线段PQ是否存在最大值?若存在, P在第二象限,线段PC交x轴于点D. 请求出最大值及此时点P的坐标;若不存 △PDB的面积是△CDB的面积的2倍 在,请说明理由; 求点P的坐标 (3)如图2,点M是直线BC上一动点,过 点M作线段MN/OC(点N在直线BC 下方),已知MN三2,若线段MN与抛物 线有交点,请直接写出点M的横坐标x 的取值范围. 图1 阁2 32 B能力提升, 4.(2024·眉山)如图,抛物线y=-x^*}十 br十c与x轴交于点A(一3,0)和点B,与 3.(2024·泸州)如图,在平面直角坐标系 y轴交于点C(0,3),点D在抛物线上. xOy中,已知抛物线y一ax{}十bx十3经过 (1)求该抛物线的解析式; 点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线 (2)当点D在第二象限内,且△ACD的面 x一1对称 积为3时,求点D的坐标; (1)求该抛物线的解析式; (3)在直线BC上是否存在点P,使△OPD (2)当-1<x<t时,y的取值范围是0 是以PD为斜边的等腰直角三角形?若存 y<2-1,求:的值; 在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请 (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个 说明理由. 动点,过点C作x轴的垂线交直线AB于 ) 点D,在v轴上是否存在点E,使得以B. C.D,E为顶点的四边形是菱形?若存在 求出该菱形的边长;若不存在,说明理由. 备用图 33在y=-0.02x+0.3x+1.6中，当x=2时，y=-0.02× 22+0.3×2+1.6=2.12. “点C的坐标为(1，号) 2.12>1.8, ,可判定货车能完全停到车棚内」 D=号CB=-D-D=号--2 6.46.4解析：要使该矩形菜地面积 答：这棵树的高度为2。 最大，则要利用AO和O℃构成 8.解：(1)设这段时间内y与x之间的函数解析式为y= 矩形. kx+b. 设矩形在射线OA上的一段长为 由图象，可知函数图象经过(100.300)，(120.200)， 0 xm,矩形菜地面积为S, 代人y=kx十b, D川 当x≤8时，如图1， 图1 则在射线OC上的长为 得十格一测解得么 16-x-1.4+519.6-x .这段时间内y与x之间的函数解析式为y=-5x十800. 2 2 (2),销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220 件的销售任务， 2 2x2+9.8r= 2 (r-9.8)2+ ∴.r≥100.y≥220. 48.02. 则 -5x+800≥220解得100≤r≤116. :-号<0，∴当x≤9.8时，S随x的增大而增大 x≥100， 设获得利润为：，即2=（一5x十800）(x一80)=一5.x2+ .当x=8时.S的最大值为46.4： 1200x-64000. 当x>8时，如图2， :一5<0，二次函数图象开口向下，x的取值范围是100≤ 则矩形菜地的总长为16+6.6十 b 1200 5=27.6(m), 1≤116.对称轴为直线r=一2a=2×(一5=120， 则在射线0C上的长为2.6-2红 ,∴.在100≤x≤116范围内，：随着x的增大而增大， 2 27.6-2x=-2+ 川 ∴.当销售单价x=116时，获得利润x有最大值， 则5=x· 图2 最大利润为：=一5×116十1200×116-64000=7920（元）. 2 ·.当销售单价为116元时，商场获得最大利润是7920元. 13.&x=-(x-6.9)2+47.61. 一1<0，当x>6.9时，S随x的增大而减少， 第九节 二次函数的综合应用 .当x>8时，S的值均小于46.4. L解：(1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y=z2+br+,得 综上，矩形菜地的最大面积是46.4m 7.解：1点A(3,)是抛物线y=-x+bc上的一点， 化仁20得化2. c=-2, 所以二次函数的表达式为y=x2十x一2. 把点A,)代人y-+a中，得-+3动- (2)设P(m,n).因为点P在第二象限，所以m<0,n>0. 解得6=之： 7 依题意，得Sm-=2,即 S△ =2.所以品-2 抛物线的解析式为y=一x+2. 7 2BD·CO 由已知，得CO=2,所以n=2CO=4. 2.得=-+=(-)产+ 7 由m2十m一2=4， :抛物战最高点的坐标为（子）。 解得m1=一3，m1=2(舍去)， 所以点P的坐标为（一3,4） (3)过点A,B分别作x轴的垂线，垂足 2.解：(1)：抛物线y=一x+bx十c与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点， 分别是点E,D,如图. ,.y=一(x十1)(x一3) :∠BOD=∠AOE, y=-x2+2x+3 ∠BDO=∠AEO=90°， (2)存在. .△OBDc∽△OAE, :y=-x2+2x+3, 黑黑器 .当x=0时y=3,.C(0.3) .B(3.0),.0C=3=OB., 又：点B是OA的三等分点， .∠OBC=45 设直线BC的解析式为y=kx+3,把B(3,0)代入， 得k=一1，.y=一x十3 A3.2）AE=号0E=3 如图，过点P作PE⊥x轴，交BC于点D,设P(m,一m2十 肥-8票名部得D 1 2m十3)，则D(,一m十3)， ∴.PD=-m+2m+3+m-3=-m+ 架器-号解得0=1 31,9 3m=-(m-2)+4 点C的横坐标为1. :PQ⊥BC, 将x=1代人y=-+号x中，得y=-1+号×1= 5 ∴∠PQD=90°=∠PEB. 2 ∠PDQ=∠EDB, 63 ∴.∠DPQ=∠OBC=45, (2)过D作DK∥y轴交AC于K,如图1. n0-PD5-号pD. 由A(-3,0),C(0,3)得直线AC的解析 式为y=x十3. ∴.当PD最大时，PQ最大 设D(t,-t2-21+3), :PD=-(m- )+ 则K(1,1+3), .DK=-t2-21+3-(1+3)=-12-3. .当m= 时，PD的量大值为号此时PQ最大，为号 :△ACD的面积为3， P(受) ∴D冰-e=3 (3)设M(1,-1十3)，则xN=1, 即2(--3)X3=3 当点N恰好在抛物线上时，则N(t,一t+21+3). 解得=-1或1=-2， ,.MN=-1十3十12-2-3=12-3. ,.点D的坐标为（一1,4）或（一2,3） 当MN=2时，则2-31=2， (3)在直线BC上存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等 解得13计该13平 腰直角三角形，理由如下： 2 ,线段MN与抛物线有交点， 在y=-x2-2x+3中， 令y=0,得0=-x2-2x十3， 一点M的横坐标xw的取值范刷是3一 解得r=-3或x=1. 2 x≤0或3≤ 3+ ∴.A(-3,0),B(1,0) 由B(1,0),C(0,3),得直线BC的解析式为y=-3x十3. 2 3.解：(1)：抛物线y=ax2+r十3经过点A(3,0),且关于 设P(m,-3m+3),D(n.-n2-2n+3), 直线x=1对称， 过P作PN⊥y轴于N,过D作DMI y轴于M, 厂2a1, 解得a一1， ①".OA=OC=3. 9a+3b+3=0 b=2, .当P与C重合，D与A重合时，△OPD .抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. 是等腰直角三角形，如图2. 图2 (2),抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1, 此时P(0,3). ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小 ②当P在第一象限，D在第四象限时， -1≤x≤t时，0≤y≤21-1，分两种情况： 如图3. ①当1时，则当x=1时，函数有最大值，即2：一1=一12十 :△OPD是以PD为斜边的等腰直角 21十3，解得1=一2或t=2,均不符合题意，舍去： 三角形， ②当>1时，则当x=1时，函数有最大值，即2一1=-1+ ∴.OD=OP,∠POD=90°， 2+3=4,解得1=号符合愿意放=号。 ,'.∠DOM=90°-∠PON=∠OPN. .∠DMO=90°=∠ONP, 图3 (3)存在. .△DOM≌△OPN(AAS), 当y=一x2+2x十3=0时，解得x1=3,x2=一1，当x=0 ..DM=ON.OM=PN. 时y=3.A(3,0),B(0,3). Jn=-3n十3， 设直线AB的解析式为y=kx十3，把A(3,0)代入，得 n2+21-3=m k=-1,.y=-x十3. 25+√193 25-193 设C(m,一m2+2m十3)(0<m<3),则D(m,一m十3)， 18 18 ∴.CD=-m2+2m+3+m-3=-m+3n,BD 解得 (舍去)或 -7-√193 -7+√/193 √m+(-m+3-3)=2m,C=√m+(一m+2m). 6 6 当B,C,D,E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当BD为边时，则BD=CD,即√2m=-m2+3m, -3m+3=-3×25-19 18 +3=-7+193 6 解得m=0(舍去)或m=3一√2， -7+√193） 此时菱形的边长为2m=32-2: “点P的坐标为(5-1丽 18 6 ②当BD为对角线时.则BC=CD, ③当P在第四象限，D在第三象限时，如图4. 即√m+(-m+2n)=-m+3m, :△OPD是以PD为斜边的等腰直角三 解得m=2或m=0(舍去)， 角形， 此时菱形的边长为一22+3×2=2. .OD=OP,∠POD=90°， 综上，存在以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形.边长为 .∠DOM=90°-∠PON=∠OPN. 32-2域2. .∠DMO=90°=∠ONP, 4.解：(1)把A(-3,0),C(0,3)代人y=-x2+r十c,得 .△DOM≌△OPN(AAS). 一93动+c=0·解得b=2 ∴.PN=OM,ON=DM, c=3, c=3, 同理可得m=2+2-3, .抛物线的解析式为y=一x一2x+3. 3m-3=-n, 64 25+193 25-√193 .∠CGH+∠EHG=180°..'.CD∥EF 解得 18 加三 18 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行.故 (舍去) -7-√/193 -7+/193 选D. 6 6 15.C解析：同时启动A,B两台收割机，所需的时间为23 25+/193 +3=-7-V193 小时， .-3n十3=-3X 18 6 同时启动B,C两台收割机，所需的时何为19小时， 得到C比A快： 六点P的坐标为(5+19函 -7-V/193 同时启动B,C两台收割机，所需的时间为19小时， 18 6 ①当P在第四象限，D在第一象限时，如图5. 同时启动C,D两台收割机，所需的时间为20小时， 得到B比D快： ,△OPD是以PD为斜边的等腰直角 1 同时启动A,B两台收割机，所需的时间为23小时， 三角形， 同时启动A,E两台收割机，所需的时间为18小时， ∴.OD=OP,∠POD=90°， 得到E比B快： ∴.∠DM=90°-∠PON=∠OPN. 同时启动C,D两台收割机，所需的时间为20小时， .∠DMO=90°=∠ONP, 同时启动D,E两台收割机，所需的时间为22小时， ∴.△DM≌△OPN(AAS). 得到C比E快， .PN=OM,ON=DM. 图5 综上，收割最快的一台收割机编号是C -a 16.解：∠ADE=∠ABC,理由如下： ,'BE⊥AC,FG⊥AC, 11 ∴.BEFG,∠2=∠3. 解得m=0,（舍去)或 9 ∠1=∠2.∴.∠1=∠3， n=-3 2 =3 .DEBC,.∠ADE=∠ABC. 2 :-3m+3=3×11+3= 第二节三角形的基本概念及性质 1.A2.C3.B4.100 点P的坐标为得，号)》 5.直角解析：设一份为k“,则三个内角的度数分别为°， 2k°，3k°. 综上所述，点P的坐标为(0,3》或(51丽 则°十2k°十3k°=180° 18 解得飞°=30. -+1画)政(5+画，=1画)或（告，） 所以2k”=60°.3k°=90°，即三角形的内角中有一个角为 6 18 6 直角。 第四章图形的初步认识与三角形 故这个三角形是直角三角形， 6.55解析：，∠BDE=120°，∠DFG=115,∠BDE+ 第一节线段、角、相交线与平行线 ∠ADE=180°，∠DFG+∠BFG=180°， 1.C2.C3.C4.B5.A6.C7.B ∴.∠ADE=60°，∠BFG=65. 8.C9.假10.411.65 DE∥BC,FG∥AC, 12.解：过E作EF∥AB,如图. ∠B=∠ADE=60°，∠A=∠BFG=65° .AB//CD, :∠A+∠B+∠C=180°， ..AB//CD//EF. ∴.∠C=180°-65°-60°=55. .∠C=∠FEC, 7.(1)证明：如图所示，，EF/CD, ∠BAE=∠FEA. C1444 -D .∠1+∠3=180° :∠C=44°，∠AC为直角， ∠1+∠2=180°，∴.∠2=∠3， ∴.∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°-44°=46， ∴.GDCA. .∠1=180°-∠BAE=180°-46°=134 (2)解：：CD平分∠ACB, 13.A DG平分∠CDB. 14.D解析：如图，对于纸带①， :∠1=∠2=59°， .∠3=∠BCD= 2∠ACB. .∠1=∠ADB=59°. ,∴.∠DBA=180°-59°-59°=62 ∠2=∠GDB=∠CDB, 由折叠的性质， '∠CDB=∠A+∠3，∠2=∠3， 得∠ABC=∠DBA=62, ∴.2∠3=∠A十∠3，∴∠A=∠3， ∴∠2≠∠ABC,∴.AD与BC不平行. .∠BCD=∠3=∠A=40°， 对于纸带②，由折叠的性质， .∠ACB=80. 得∠CGH=∠DH,∠EHG=∠FHG. 8.100°解析：设A'B交CD于点F,交 又点C,G,D在同一直线上，点E,H,F也在同一直 CE于点G,如图. 线上， 由折叠，得∠B=∠B,∠A=∠A', ,∴.∠CGH+∠DGH=180,∠EHG+∠FHG=180°， :∠C+∠CFG+∠CGF=180°，且 ∴.∠CGH=∠DGH=90°.∠EHG=∠FHG=90°， ∠CFG=∠A'FD,∠CGF=∠EGB', 65