第3章 第8节 二次函数的实际应用-【中考对策】2025年中考总复习数学

第八节 二次函数的实际应用 A基础达标 (2)写出第x天的销售额M与x之间的函 数关系式： 1.[增长率问题]某工厂1月份的产值为200 (3)求在试销售的30天中，共有多少天销 万元，若平均每月产值的增长率为x(x>0), 售额超过500元？ 该工厂3月份的产值为y,则 A.y=400(1+x)B.y=200(1+2x) C.y=200(1+x)2D.y=200(1+2x)2 2.(2024·泰安东平县一模)《中华人民共和 国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机 动车，后车应当与前车保持足以采取紧急 制动措施的安全距离，其原因可以用物理 和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车 急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函 数关系式为s=16t一4t2,当遇到紧急情况 刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行 m才能停下. B能力提升 3.[“每每”问题](2024·泰安东平县一模)某 5.[生活情境](2024·甘肃)如图1为一汽车 商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每 停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物 月可售出200顶.在“创建文明城市”期间， 线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度 计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平 1元，每月可多售出10顶.已知头盔的进 距离x（单位：m)近似满足函数关系 价为每顶50元，则该商店每月获得最大利 y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象，点 润时，每顶头盔的售价为 元. B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需 4.[销售问题](2024·大庆)“尔滨”火了，带 在停车棚下避雨，货车截面看作长CD= 动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随 4m,高DE=1.8m的矩形，则可判定货 之畅销全国.某村民在网上直播推销某种 车 完全停到车棚内.（填“能”或 农副产品，在试销售的30天中，第x天 “不能”) (1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/ B 千克).当1≤x≤20时，y=kx十b;当 20<x≤30时，y=15.销量x(千克)与 x的函数关系式为x=x十10，已知该产品 图1 图2 第10天的售价为20元/千克，第15天的 6.[面积问题](2024·自贡)九(1)班劳动实 售价为15元/千克，设第x天的销售额为 践基地内有一块面积足够大的平整空地. M(元). 地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其 (1)k= 6 中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得 30 AE 6.6 m,OE 1.4 m,OB =6 m, 8.[利润问题](2024·济宁)某商场以每件 OC=5m,OD=3m.班长买来可切断的 80元的价格购进一种商品，在一段时间 围栏16m,准备利用已有围墙，围出一块 内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单 封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图 m2. 象如图所示。 (1)求这段时间内y与x之间的函数解 析式； 0 (2)在这段时间内，若销售单价不低于100 元，且商场还要完成不少于220件的销售 7.(2024·青海)在如图所示的平面直角坐标 任务，当销售单价为多少时，商场获得利润 系中，有一斜坡OA,从点O处抛出一个小 最大？最大利润是多少？ 球，落到点A3,)处.小球在空中所经过 300 的路线是抛物线y=一x2十bx的一部分. 200 (1)求抛物线的解析式； 100120x (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C,求 这棵树的高度. 31把(-3,0)代入，得0=a(-3十1)+4， 解得a=一1， y= 3mx2、 3mx十m y=-(x+1)2+4, 3mx2 2 当x=0时，y=-(0+1)2+4=3, 把C(2,n)代入y= 3x十m, 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正 得n= 确.故选D. 3mX22 3mX2+m=-5 m, 11.B解析：：ax2+bx十c=0有两实根x1=-1,x2=3, .m 3 a-b+c=0,① 9a+3动+c=0,@ 3m .②-①，得8a十4b=0, 15.解：（①由题意，可设二次函数的表达式为y=(十2）+k, ,2a十b=0,故①正骑， ∴.b=-2a, 把A(-2,5)代人，得(-2+2)广+k=5, .抛物线y=ax2+bx十c的对称轴是直线x= b 2a 11 一20≥1 即二次函数的表达式为y=x2十x十3. ∴抛物线y=ax2+bx十c的顶点坐标为(1，a十b十c). (2)点B平移后的点的坐标为(1一m,9), 又：b=-2a,a-b+c=0, 则9=(1一m)2十(1一m)十3， 3a+e=0,即a=-背 解得m=4或m=一1（舍）， m的值为4 2 4 b=-2a=3c..a+b+e=3c, (8)当a<-2时， :顶点坐标为1，气)，散@正确 最大值与最小值的差为5一 [6a+)'+门=，解得 3a+c=0,∴.c=-3a. 又'b=-2a,abc>0, 1=丝=一 之，不符合题意，舍去： .abc=a·(-2a)·(-3a)=6a3>0, a>0,故③错误. 当-<n<1时， ,m(am+b)<4a+2b, .am2+bm+c<4a十2b+c, 最大值与最小值的差为5一共-号符合题意， ∴，对于函数y=a.x2十bx十c,当x=m时的函数值小于当 当n>1时， x=2时的函数值 a>0,抛物线的对称轴是直线x=1, 最大值与最小值的差为(。+号》广+号兴-？， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 解得1=1或n2=一2，不符合题意； .m-1<2-1, 综上所述的取值范围为一号<<L .-1<m一1<1， .0<m<2,故④错误. 第八节二次函数的实际应用 综上，正确的有①②共2个.故选B 12.4解析：把点B(3,0),点C(2,3)代入抛物线y=ax2+ 1.C2.163.75 bx十3中， 4.解：(1)依题意，将(10,20)，(15,15)代入y=kx十b, 得g十十释份之 得十女每得么- .抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. 答案：-130 令y=0,得0=-x2+2x+3, (2)由(1)知y=-x+30(1≤x≤20)， 解得x=-1或x=3, -x十30(1x≤20)， .A(-1,0),.AB=3-(-1)=4. :依题意，得y-15(20<x≤30). 13.y=-x2十1（答案不唯一）解析：：二次函数y=ax2十 当1≤x≤20时，M=y%=(-x+30)(x+10)=-x°+ bx十c的对称轴左侧的部分是上升的， 20x+300: .抛物线开口向下，聊a<0. 当20<x≤30时，M=y%=15(x+10)=15x十150， ,二次函数y=ax2十br十c的顶点在y轴正半轴上， 1-x2+20x+300(1≤x≤20)， b :.2a ∴M={15x+150(20x≤30). =0,即b=0,c>0, (3)依题意，当1≤x≤20时， ,二次函数的解析式可以是y=一x2十1（答案不唯一）. M=-x3+20x+300=-(x-10)+400≤400. 4-号 当20<x≤30时，15x+150>500, 解析：把A(0,m),B(1,一m),D(3,一m)代入 y=a.x2+bx+c(a≠0)， 解得>召江为正整数。 ,.第24天至第30天，销售额超过500元， (c=m. a=3m, ,.共有30-24+1=7（天）. 得{a+b+c=一m,解得 答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元. 6=- 8 9a+3b+c=-m, 3m, 5.能解析：CD=4m,B(6,2.68), c=m .6-4=2. 62 在y=-0.02x2+0.3x十1.6中，当x=2时，y=-0.02X 22+0.3×2+1.6=2.12. ∴点C的坐标为(1，， 2.12>1.8, 可判定货车能完全停到车糊内。 CD-CB-CD-BD=号-2 6.46.4解析：要使孩矩形菜地而积 答：这棵树的高度为2. 最大，则要利用AO和O℃构成 8.解：(1)设这段时间内y与x之间的函数解析式为y一 矩形. kx十b. 设矩形在射线OA上的一较长为 由图象，可知函数图象经过(100,300)，(120,200)， 0 xm,矩形菜地而积为S, 代入y=kx十b, D 当x≤8时，如图1， 图1 则在射线OC上的长为 得十格-解得伦 1120k+b=200, 16-x-1.4+5_19.6-x 这段时间内y与x之间的函数解析式为y=一5x十800. 2 2 (2),销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220 件的销售任务， 2 (x-9.8)2+ ∴.x≥100，y≥220， 48.02. -5x+800≥220，解得100<x≤116. <0,,当x9.8时，S随x的增大而增大， 则x≥10 设获得利润为z,即z=(一5x十800)(x一80)=一5x2+ ∴.当x=8时，S的最大值为46.4： 1200x-64000. 当x>8时，如图2， ,一5<0，二次函数图象开口向下，x的取值范围是100≤ 则矩形菜地的总长为16十6.6十 1200 5=27.6(m), 16,对称辅为直线x=一会-2以)=120 则在射线0C上的长为2.6-2 .在100≤x≤116范围内，z随着x的增大而增大， 2 .当销售单价x=116时，获得利润z有最大值， 则S=x.2m6,2匹=-￥十 图2 最大利润为z=一5×1162+1200×116一64000=7920（元）. 2 ∴.当销售单价为116元时，商场获得最大利润是7920元. 13.8x=-(x-6.9)2+47.61. 一1<0，∴当x>6.9时，S随x的增大而减少， 第九节二次函数的综合应用 .当x>8时，S的值均小于46.4. 1.解：(1)将A(-2,0),C(0,-2)代人y=x2+bz+c,得 综上，矩形莱地的最大面积是46.4m. 7.解：1：点A(3,)是抛物线y=-2+b证上的一点， 化仁士-0得化2. c=-2, 所以二次函数的表达式为y=x2十x一2. 把点A3,)代人y=-+c中，得-3+3动-2， (2)设P(mn),因为点P在第二象限，所以m<0,n>0. 7 解得b= 依题意，得S△m=2,即 SAcDe BDCO =2,所以品-2 “抛物线的解析式为y=一x2+2工， 7 由已知，得C0=2,所以n=2C0=4 由0得y=-2+=-(-)+ 7 由m2十m一2=4， 解得m1=一3，m2=2(舍去)， “抛物线最高点的坐标为(？，)】 所以点P的坐标为（一3,4）. (3)过点A,B分别作x轴的垂线，垂足 2.解：(1)，抛物线y=一x2+bx十c与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点， 分别是点E,D,如图. .∠BOD=∠AOE, .y=-(x+1)(x-3), ∠BDO=∠AEO=90°， ∴y=-x2+2x+3. (2)存在. ∴.△OBDC∽△OAE, :y=-x2+2x+3, 器黑器 .当x=0时，y=3,.C(0,3). B(3,0),.OC=3=OB, 又：点B是OA的三等分点， ∴.∠OBC=45 设直线BC的解析式为y=x十3，把B(3,0)代人， 得k=-1,y=-x+3 :a(3,2）AE=是，0E=3 如图，过点P作PE⊥x轴，交BC于点D,设P(m,一m2 肥-器-号潮得即名 1 2m十3)，则D(m,一m+3), ∴.PD=-m2+2m十3+m-3=-m+ 咒8贺-号解得0-1 3129 3m=-(m-2）+4 点C的横坐标为1， PQ⊥BC, 将=1代人y=-2+子：中，得)=-+名×1=各 ∠PQD=90°=∠PEB. ∠PDQ=∠EDB, 63