第2章 第2节 一元二次方程及其应用-【中考对策】2025年中考总复习数学

第二节 一元二次方程及其应用 A基础达标人 8.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程 1.(2023·新疆)用配方法解一元二次方程 x2+2z+p=0两根为x1、x2,且1+ x2一6x+8=0,配方后得到的方程是 ( 1=3,则力的值为 I A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 A.2 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 3 B号 C.-6 D.6 2.(2024·兰州)关于x的一元二次方程 9.[降低率问题](2024·牡丹江)一种药品原 9x2一6x+c=0有两个相等的实数根，则 价每盒48元，经过两次降价后每盒27元， C= ( 两次降价的百分率相同，则每次降价的百 C.-1 分率为 () A.-9 B.4 D.1 B.22% 3.(2024·上海)以下一元二次方程有两个相 A.20% C.25% D.28% 等实数根的是 ( A.x2-6x=0 B.x2-9=0 10.(2024·自贡)关于x的一元二次方程 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0 x2十kx一2=0的根的情况是 () 4.(2023·吉林)一元二次方程x2-5x+2=0 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 根的判别式的值是 C.只有一个实数根 A.33 B.23 C.17 D.√17 D.没有实数根 5.[数学文化](2024·呼和浩特)我国南宋数 11.[传播问题](2023·衢州)某人患了流感， 学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了 经过两轮传染后共有36人患了流感.设 这样一个问题：“直田积八百六十四步，只 每一轮传染中平均每人传染了x人，则可 云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其 得到方程 () 大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与 A.x+(1十x)=36 长的和为60步，问宽和长各几步？若设长 B.2(1+x)=36 为x步，则下列符合题意的方程是( C.1+x+x(1+x)=36 A.x.60,2=864 B.x(60+x)=864 D.1+x+x2=36 2 12.[推理能力](2024·绥化)小影与小冬一 C.x(60-x)=864 D.x(30-x)=864 起写作业，在解一道一元二次方程时，小 6.（2023·天津)若x1,x2是方程x2 影在化简过程中写错了常数项，因而得到 6x一7=0的两个根，则 方程的两个根是6和1：小冬在化简过程 A.x1十x2=6 B.x1十x2=-6 中写错了一次项的系数，因而得到方程的 7 C.x1x2=6 D.x1x2=7 两个根是一2和一5.则原来的方程是 () 7.(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方 A.x2+6.x+5=0B.x2-7x+10=0 时，误算成a与2的积，求得的答案比正确 C.x2-5x+2=0D.x2-6x-10=0 答案小1，则a= 13.[新定义](2023·内江)对于实数a,b定 A.1 B.√2-1 义运算“☒”为a公b=b2一ab,例如：3☒ C.√2+1 D.1或2+1 2=22一3×2=一2，则关于x的方程 10 (k一3)⑧x=k一1的根的情况，下列说法 B能力提升 正确的是 ( A.有两个不相等的实数根 19.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别 B.有两个相等的实数根 是方程x2一10x十21=0的两个根，则这 C.没有实数根 个三角形的周长为 () D.无法确定 A.17或13 B.13或21 14.(2024·深圳)已知一元二次方程x2一 C.17 D.13 3x十m=0的一个根为1，则m= 20.(2023·娄底)若m是方程x2-2x-1=0 15.(2024·泸州)已知x1,x2是一元二次方 的根，则m+一 程x2一3x一5=0的两个实数根，则 21.(2024·成都)若m,n是一元二次方程 （x1一x2)2十3x1x2的值是 x2一5x+2=0的两个实数根，则m+ 16.(2023·湘西州)已知一元二次方程 (n一2)2的值为 x2一4x+m=0的一个根为x1=1,则另 22.[新定义](2024·广州)定义新运算：a⑧b= 一个根x2= 17.(2023·广州)解方程：x2-6x+5=0. a2-ba≤0)，例如：-2⑧4=(-2)- -a+b(a>0), 40,283=-2+3=1.若x网1=-，则 x的值为 23.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方 程x2-(m十2)x十m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个 18.[面积问题](2023·江苏)为了便于劳动 不相等的实数根： 课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且 ABCD(如图)，生态园一面靠墙（墙足够 x十x-x1x2=9,求m的值. 长)，另外三面用18m的篱笆围成.生态 园的面积能否为40m2？如果能，请求出 AB的长；如果不能，请说明理由」 墙 生态园 11.当动力臂在1.5m时，可得方程1000X0.6=1.5x, 合题意： 解得x=400, C.x2-5x十2=0中，x1十x2=5,x1x2=2,故该选项不符 当动力臂在2m时，可得方程1000×0.6=2x, 合题意： 解得x=300. D.x2-6x一10=0中，x1十x2=6,x1x2=-10,故该选项 .400-300=100(N), 不符合题意，故选B .撬动这块石头可以节省100N的力 13.A解析：，(k一3)⑧x=k一1， /2x-y=5,① 9.解：4红+3y=-10,@ x2-(k-3)x=k-1, .x2-(k-3)x十1-k=0, ①×3+②，得10x=5,解得x=2 ∴.△=b2-4ac=(k-3)-4(1-k)=k8-6+9-4十 4k=(k-1)2+4>0, 把x=2代入①，得1一y5,解得y一 .(便一3)区☒x=k一1有两个不相等的实数根.故选A 14.215.1416.3 1 ∴，原方程的解为 x=2' 17.解：原方程变形为(x一1)(x-5)=0,解得x1=1,x2=5. 1y=-4 18.解：生态园的面积能为40m, 10.解：设黑色琴键有x个，则白色琴键有(x十16)个， :四边形ABCD是矩形， 由题意，得x十(x十16)=88，解得x=36, ..AB=CD,AD=BC. ∴，白色琴键有36十16=52（个）. 答：白色琴键52个，黑色琴键36个. 设AB=xm,则AD=BC-之（18-)m, 11.乙槽解析：，三次操作用到的小球相同，且总得分是 根据题意，得号x(18-x)=40, 20+10+9=39(分)， ,一次操作的总分，即三个球数字之和为39÷3=13. 解得x1=8,x2=10, 方法一：这三个球上的数字有以下情况：1,3,9：1,4,8；1， 答：生态园的面积能为40m2,AB的长为8m或10m 5,7:2,3,8:2,4,7:2,5,6:3,4,6.其中只有1,4,8这一组 19.C解析：由方程x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7. 能同时满足三个数组合（可重复）相加得20,10,9，即 3+37, 4+8+8=20, ”等腰三角形的底边长为3，腰长为7， 8+1+1=10, ∴，这个三角形的周长为3十7十7=17.故选C 1+4+4=9, 20.6解析：m是方程x2-2x一1=0的根， 第一次操作甲槽、乙槽、丙槽计分分别为4,8,1，第二次 ∴m2-2m-1=0,即m3=2m十1， 操作甲槽、乙槽、丙槽计分分别为8,1,4，第三次操作甲槽、 …m+ 1 乙槽、丙槽计分分别为8,1,4，∴.第二次操作计分最低的是 m=2m+1+2m+ 乙槽. (2m+1)2+1 方法二：设乙槽中第一、二，三次操作计分分别为x,y,之， 2m+1 则x十y十x=10.x不可能为9，否则y,x出现为0的情 4m2+4n+2 2m+1 况，与题意矛盾 8m+4+4m+2 甲槽中三次换作计分之和为20，号>6， 2m+1 6(2m+1) 故三个数中数字最高为7或8. 2m+1 当数字最高为7时，三个数为7,7,6,7十6=13，与乙糟、丙 =6. 槽三次操作计分之和为10分、9分矛盾，舍去， 故数字最高为8，故x=8,此时y=z=1, 2L.7解析：，m,n是一元二次方程x2一5x十2=0的两个 故第二次操作计分最低的是乙槽. 实数根， 12.解：设A农作物的种植面积为x公顷，B农作物的种植面 ∴n2-5m+2=0,m十n=-么=5， a 积为y公顷， 则n2=5n-2, 由题意，可得 十3=24解得=3， m十(n-2)2 8x+9y=60, y=4. 答：A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积 =m十n2-4n十4 为4公顷。 =m+5m-2-4n+4 =m十n十2 第二节一元二次方程及其应用 =5+2 =7. 1.D2.D3.D4.C5.C6.A7.C8.A9.C10.A 1 11.C 解析：a⑧6= a-b(a≤0)， -a+b(a>0), 12.B解析：，小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的 两个根是6和1， .x1+x2=6+1=7, 而81一是 又”小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根 “①当x<0时，则有2-1=-是，解得x= 是-2和-5，∴.x1x2=10. A.x2十6x十5=0中，x1十x2=-6,x1xg=5,故孩选项不 @当>0时，-x中1=一子解得x=子 4 符合题意： 等上所送灯的值是一吉或子。 7 Bx2-7x十10=0中，x1十x2=7,x1x2=10,故该选项符 55 23.(1)证明：△=[-(m十2)]2-4×1×(m-1)=m2+8. :无论m取何值，m2+8>0恒成立， 根据题意，可得300-30=2， x 3x 无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。 解得x=100, (2)解：x1,x2是方程x2-(m十2)x十m一1=0的两个 经检验，x=100是该方程的解， 实数根， 答：D型车的平均速度为100千米/时 x1十x2=m+2,x1x2=m-1, 17.解：(1)设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线有 ∴x+x量-x1x2=(x1十x2)2-3x1x2=(m+2)2 (30一x)条，由题意，得3x十2(30一x)=70, 3(m-1)=9,即m2十m-2=0, 解得x=10,则30一x=20. 解得m1=1或m2=一2. 答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条. (2)设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买 第三节分式方程及其应用 更新1条乙类生产线的设备为(m一5)万元，则 1.A2.D3.D4.D5.D6.D 200180 7.A解析：去分母，得kx一2(x一3)=一3， m m-5' 整理，得(k一2)x=一9. 解得m=50. 当k=2时，方程无解， 经检验：m一50是原方程的根，且符合题意， 当≠2时，令x=3,解得=一1， 则m-5=45, 所以关于工的分式方粗气。-2-写己无解时，=2或 则还需投入更新生产线的设备资金为10×50+20× 45-70=1330(万元). k=一1.故选A 第四节一元一次不等式（组）及其应用 8.A解析：方程两边同时乘x(z十1)，得x十1一mx=0, 解得x= 1 1.D2.D3.A4.B5.B6.A m一1 /x-a>2,① 分式方程的解是负敏，∴m一1<0，m<1. 7.B解析：z+1<b,② 又，x(x十1)≠0， 解不等式①，得x>2十a, 江+1≠0，∴ m-7≠-1， 解不等式②，得x<b一1， .原不等式组的解集为2+a<x<b-1. ∴m≠0，∴m的取值范围是m<1且m≠0，故选A "不等式组的解集是一1<x<1, 9.B解析：方程两边同时乘x一1，得2=x一1一m, .2+a=-1,b-1=1, 解得x=m十3. ,.a=-3,b=2, ”分式方程2 =1兴的解为正数， ∴.(a十b)20=(-3+2)2m=(-1)202=-1. 故选B .m十3>0，.m>-3. |x>m+3,① 又x≠1，即m十3≠1，∴m≠-2， 8.A解析：5x-2<4x+1,② ,,m的取值范围为m>一3且m≠一2，故选B 解不等式②，得x<3, 10.x=-311.1112.2 .原不等式组的解集为m十3<x<3. 13.6解析：设江水的流速为xkm/h, 银港意，清2-8解释一6 由不等式组的整数解仅有4个，得到整数解为2,1,0，一1， ,.-2≤m+3<-1, ,.一5≤m<一4.故选A. 经检验，特合题意 故江水的流速为6km/h 9.x-√7>0（答案不唯-）10.x≥311.312.4 14解名十 13.39.99≤L.≤40.0114.715.a>-1 16.7(答案不唯一)解析：将两个方程相减，得x十y=a一3. 去分母，得2十x(x+1)=x2-1, x+y>22,a-3>22,∴.a>3+2W2.4<8<9, 去括号，得2十x2十x=x2-1, ∴2<2√2<3，.5<22+3<6，∴a的一个整数值可以 移项、合并同类项，得x=一3. 是7.（答案不唯一） 检验：把x=一3代入(x十1)(x一1)， 3(x-1)<4+2x,① 得(-3+1)(-3-1)=8≠0， .x=一3是原方程的解. 17.解：z-9<2x,② 5 15.-1解桥：马=3- 解不等式①，得x<7, 解不等式②，得x>一1， 去分母，得x=3(x一1)十m, ∴不等式组的解集为一1<x<7. 移项、合并同类项，得(2十m)x=3, 18.C解析：，a-b+1=0,.a=b-1 3 解得x=2十m1 0a+b+1<1,∴.0<b-1+b+1<1, :方程的解是正整数，2十m=1或2十m=3, 0<号选预B错误，不持合题意： 解得m=一1或m=1(舍去，会使得分式无意义). a-b+1=0,.b=a+1. ,m的值为一1. ,0a+b+1<1,.0<a+a+1+1<1, 16.解：设D型车的平均速度为x千米/时，则C型车的平均 速度为3x千米/时， -1<一之，选项A错误，不特合题意， 56