信息必刷卷02（湖南长沙专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷02（湖南长沙专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D C A A A B B 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13． 14．/ 15．6 16．或 三、解答题:本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（6分） 【解析】解： ． 18．（6分） 【解析】解：原式 ； 当时， 原式 ． 19．（6分） 【解析】（1）解：， ， 即． 故答案为：50；6 （2）解：根据条形统计图，得 ∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分． （3）解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占， ∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱 程度评分为10分的占，有（人）， ∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人． 20．（8分） 【解析】解：过点作，垂足为， 米，， 米， ∵，， ∴， 在中，， （米）， 答：踏脚点与地面的高度约为米． 21．（8分） 【解析】（1）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（9分） 【解析】（1）解：设购买大笔记本本，则小笔记本购买本，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴一共有3种方案； ①购买大的笔记本本，小的笔记本本； ②购买大的笔记本本，小的笔记本本； ③购买大的笔记本本，小的笔记本本； （2）解：设购买总费用为元，则 ， ， ∴随的增大而增大， ∵或或， ∴当，取最小值为元． ∴选择方案①购买，费用最低． 23．（9分） 【解析】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形的周长为18，四边形是矩形， ， 菱形的面积为33， ， 即， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 设平行线与间的距离为x， 则， 即， 解得， 即平行线与间的距离为 24．（10分） 【解析】【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． 平分， ． ， ． ． ． ． ． 是的半径， 是的切线． （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点，连接 ∵平分，于点，于点， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 则， ∵平分， ∴， 则， 即， ∴， ∴． 25．（10分） 【解析】（1）解： ，， ， 边上的高为：， 点的纵坐标为：， ∵点P的横坐标为， 设正比例函数的解析式为， ∴ ∴或； （2）解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， 中， ， ， ， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为； （3）解：∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； 作垂足为，如图所示， 由题意得， ，， ，， ， 设，，， 则， 解得，， ， ， ∴； 如图所示，当，重合时，，显然符合题意； 如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵点是上关于，的等边点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即P是中点， ∴， 将代入， 解得（舍），， ∴， 综上，的横坐标为：或． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（湖南长沙专用） 考情速递 中考·新动向：1.实际应用与跨学科融合:第 5 题以“烟雾报警器的简化原理图”为背景，将反比例函数与电路图结合，体现数学与科技的跨学科性。第10题通过反应的化学方程式画树状图，将概率与化学结合，强化实际问题的数学表达。2.动态几何与分类讨论:第16题平行四边形上的动点探究几何性质，涉及动态变换与图形关系，体现几何问题的动态化趋势。3.代数与几何综合化:第25题作为压轴题，将抛物线与几何图形结合，需联立方程求解坐标，强调代数与几何的深度融合。 中考·新考法：1.常规考点的灵活设问 第9题结合扇形的面积、正方形的性质，利用扇形的面积公式解题，打破单一知识点考查模式。第15题将相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质、等角对等边、勾股定理等知识点结合，将几何性质与代数运算结合。2.知识融合与新定义整合:第8题考查新定义运算，联立方程与不等式求解代数式值，体现了分类讨论思想。第25题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，考查新定义与二次函数的融合。 命题·大预测：跨学科整合:类似第5题、第10题的跨学科融合题将增多，强调数学与其他学科的综合。 几何与新知探究:如第24题的探究与改编教材几何原题的问题可能成为几何压轴题的主流形式。 代数与几何深度融合:如第25题的抛物线与几何综合题将持续作为压轴题型,注重设而不求的方法。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知实数的相反数是，则的值是（   ） A．0 B． C． D． 2．如图，工件的主视图是（   ） A． B． C． D． 3．今年春节档电影在网络上持续引发热议，根据国家电影局3月14日发布的数据，《哪吒2》电影票房突破150亿元，创造了中国电影票房新纪录．其中数据150亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（   ） A．该图象是反比例函数图象 B．R随的增大而增大 C．当烟雾浓度增大时，电压表示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率减小 6．下列说法正确的是（   ） A．“某同学投篮球，投中”是随机事件 B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有12小时会下雨 C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的成绩更稳定 D．了解某市九年级学生的视力情况，采用全面调查 7．如图，在中，，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 8．对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 9．已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 10．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．分式方程的解是 ． 12．分解因式： ． 13．如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点作线段，交于点，则的面积是 ． 14．一组数据，，，，中，唯一的众数是，这组数据的方差是 ． 15．如图，在四边形中，，，点E为的中点，连接，若，，，则的长为 ． 16．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当 时，线段． 三、解答题：本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．计算：． 18．先化简，再求代数式的值，其中． 19．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为________，图①中的值为________； (2)求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数； (3)该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数． 20．明代徐光启创作的《农政全书》成书于万历年间，基本囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面．书中插图绘制了古代劳动人民发明的一种采桑工具——桑梯，如图1，其模型如图2所示，已知米，，梯子的踏脚点为D，梯脚为点C，且．请求出踏脚点D距地面的高度．（结果精确到0.1，参考数据：） 21．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表． 大笔记本 小笔记本 价格（元/本） 6 5 页数（页/本） 100 60 (1)根据要求如何购买大小两种笔记本？有哪几种购买方案？请你设计出来； (2)为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案？请说明理由． 23．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形的周长为18，菱形的面积为33，求平行线与间的距离． 24．【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． (2)同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 25．定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（湖南长沙专用） 考情速递 中考·新动向：1.实际应用与跨学科融合:第 5 题以“烟雾报警器的简化原理图”为背景，将反比例函数与电路图结合，体现数学与科技的跨学科性。第10题通过反应的化学方程式画树状图，将概率与化学结合，强化实际问题的数学表达。2.动态几何与分类讨论:第16题平行四边形上的动点探究几何性质，涉及动态变换与图形关系，体现几何问题的动态化趋势。3.代数与几何综合化:第25题作为压轴题，将抛物线与几何图形结合，需联立方程求解坐标，强调代数与几何的深度融合。 中考·新考法：1.常规考点的灵活设问 第9题结合扇形的面积、正方形的性质，利用扇形的面积公式解题，打破单一知识点考查模式。第15题将相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质、等角对等边、勾股定理等知识点结合，将几何性质与代数运算结合。2.知识融合与新定义整合:第8题考查新定义运算，联立方程与不等式求解代数式值，体现了分类讨论思想。第25题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，考查新定义与二次函数的融合。 命题·大预测：跨学科整合:类似第5题、第10题的跨学科融合题将增多，强调数学与其他学科的综合。 几何与新知探究:如第24题的探究与改编教材几何原题的问题可能成为几何压轴题的主流形式。 代数与几何深度融合:如第25题的抛物线与几何综合题将持续作为压轴题型,注重设而不求的方法。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知实数的相反数是，则的值是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数为零；一般地，数a的相反数为． 根据相反数的意义即可求得结果． 【详解】解：∵的相反数是， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，工件的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了物体的三视图，熟悉掌握三视图的观察方法是解题的关键． 根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线，观察即可． 【详解】解：根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线， ∴主视图为：， 故选：C． 3．今年春节档电影在网络上持续引发热议，根据国家电影局3月14日发布的数据，《哪吒2》电影票房突破150亿元，创造了中国电影票房新纪录．其中数据150亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：其中数据150亿用科学记数法表示为； 故选C 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，根据同底数幂的乘法可以判断A；根据合并同类项的方法可以判断B；根据完全平方公式可以判断C；根据平方差公式可以判断D． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 5．如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（   ） A．该图象是反比例函数图象 B．R随的增大而增大 C．当烟雾浓度增大时，电压表示数变大 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象与纵轴相交，即可判断A；根据图②即可判断B；当烟雾浓度增大时，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，根据串联电路电压规律即可判断C；当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率即可判断D． 【详解】解：A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法错误，不符合题意； B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法错误，不符合题意； C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R的电压，根据可知，电压表示数变大，故本选项说法正确，符合题意； D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 6．下列说法正确的是（   ） A．“某同学投篮球，投中”是随机事件 B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有12小时会下雨 C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的成绩更稳定 D．了解某市九年级学生的视力情况，采用全面调查 【答案】A 【分析】本题主要考查随机事件、概率、方差及统计与调查，熟练掌握各个概念是解题的关键． 根据随机事件、概率、方差及统计与调查可进行求解． 【详解】解：A、“某同学投篮球，投中”是随机事件，说法正确，符合题意； B、天气预报“明天降水概率，是指明天有可能会降雨”，原说法错误，故不符合题意； C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，所以，则甲的成绩更稳定；原说法错误，不符合题意； D、了解某市九年级学生的视力情况，应采用抽样调查，原说法错误，故不符合题意； 故选A． 7．如图，在中，，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质．解题时，利用了三角函数的定义及三角形面积公式． 作出辅助线，构造直角三角形，运用三角形面积相等，求出三角形的高，然后运用勾股定理求出，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，由角的余弦值求解即可． 【详解】解：作于，作于． 设， ， ， 则， ， 又 ∵， ∴，于是， ∵， ， ∴， ， 故选：A． 8．对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关键．分和两种情况，分别计算即可． 【详解】解：当，即时， ， 解得， 当，即时， ， 解得， 综上，的值为或， 故选：A． 9．已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积、正方形的性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据正方形的性质可得，，，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵为边的中点， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ， 故选：B． 10．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．． 【详解】解：反应的化学方程式为， 与的原子个数比为，与的原子个数比为， 反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先去分母，化分式方程为整式方程，直接求解即可． 【详解】解：， 去分母，原方程可化为， ∴， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，首先提出公因式，得到：原式，然后再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 13．如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点作线段，交于点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．作交于，由作图可得：为的平分线，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，由作图可得：为的平分线， ， ， ， 故答案为：． 14．一组数据，，，，中，唯一的众数是，这组数据的方差是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了众数的定义、平均数与方差的计算公式．先根据众数的定义求出的值，再求出这组数据的平均数，然后根据方差公式计算即可． 【详解】解：由众数的定义得：， 这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为． 故答案为：． 15．如图，在四边形中，，，点E为的中点，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质、等角对等边、勾股定理，延长、交于点，证明，得出，证明，得出，求出，，，由勾股定理得出，结合题意得出，计算出，即可得解． 【详解】解：如图：延长、交于点， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当 时，线段． 【答案】或 【分析】根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动，此时得到，点Q从点C出发，以的速度沿运动，此时得到，当时，得到四边形时平行四边形，此时；当不平行时，四边形是等腰梯形，也符合题意，解答即可． 【详解】解：∵在中，，，． ∴，，，； 根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动， ∴， 点Q从点C出发，以的速度沿运动， ∴， 当时，得到四边形时平行四边形，此时， ∴， 解得； 当不平行时，四边形是等腰梯形，也符合题意， 过点Q，C分别作，垂足分别为H，G， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当t为或时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的全等判定和性质，特殊角三角函数的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．代入特殊角是三角函数值、利用零指数幂法则、求算术平方根的法则、负整数指数幂法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，先根据分式的混合运算法则，进行化简，代入特殊角的三角函数值，求出的值，再代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 19．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为________，图①中的值为________； (2)求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数； (3)该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数． 【答案】(1)50，6 (2)统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为9.16分 (3)估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图，加权平均数，用样本估计总体； （1）将评分为9分的人数除以其百分比，即可求出a的值；将评分为7分的人数除以a的值，即可求出m的值； （2）根据加权平均数的计算方法计算即可； （3）将观影人数1700乘以评分为10分的百分比计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即． 故答案为：50；6 （2）解：根据条形统计图，得 ∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分． （3）解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占， ∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱 程度评分为10分的占，有（人）， ∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人． 20．明代徐光启创作的《农政全书》成书于万历年间，基本囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面．书中插图绘制了古代劳动人民发明的一种采桑工具——桑梯，如图1，其模型如图2所示，已知米，，梯子的踏脚点为D，梯脚为点C，且．请求出踏脚点D距地面的高度．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】踏脚点与地面的高度约为米 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是构造直角三角形，过点作，垂足为，根据，求出，，再根据，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 米，， 米， ∵，， ∴， 在中，， （米）， 答：踏脚点与地面的高度约为米． 21．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定、含度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的性质定理得出，利用即可证明； （2）由角平分线的性质定理得出，求出，再由含度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表． 大笔记本 小笔记本 价格（元/本） 6 5 页数（页/本） 100 60 (1)根据要求如何购买大小两种笔记本？有哪几种购买方案？请你设计出来； (2)为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案？请说明理由． 【答案】(1)①购买大的笔记本本，小的笔记本本；②购买大的笔记本本，小的笔记本本；③购买大的笔记本本，小的笔记本本； (2)选择方案①购买，费用最低． 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设购买大笔记本本，则小笔记本购买本，再根据表格信息建立不等式组可得，再进一步求解可得答案； （2）设购买总费用为元，可得，再利用一次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：设购买大笔记本本，则小笔记本购买本，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴一共有3种方案； ①购买大的笔记本本，小的笔记本本； ②购买大的笔记本本，小的笔记本本； ③购买大的笔记本本，小的笔记本本； （2）解：设购买总费用为元，则 ， ， ∴随的增大而增大， ∵或或， ∴当，取最小值为元． ∴选择方案①购买，费用最低． 23．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形的周长为18，菱形的面积为33，求平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质、垂直的定义得出，根据“三个角是直角的四边形是矩形”即可得证； （2）根据勾股定理可以求得的长，再根据菱形的面积=底高，即可求得平行线与间的距离． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形的周长为18，四边形是矩形， ， 菱形的面积为33， ， 即， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 设平行线与间的距离为x， 则， 即， 解得， 即平行线与间的距离为 24．【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． (2)同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，先判定，根据推出即可求解； （2）结合角平分线的性质得，运用圆内接四边形性质，得，证明，分别运用勾股定理算出，，，再结合直角三角形的正弦值列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． 平分， ． ， ． ． ． ． ． 是的半径， 是的切线． （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点，连接 ∵平分，于点，于点， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 则， ∵平分， ∴， 则， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形等知识，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25．定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)或； (2)； (3)； ； 或． 【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键． （1）根据图象和、的坐标即可得解； （2）由题意得是等边三角形，轴，通过解三角形的计算即可得到点坐标，即可得解； （3）的解析式为：，作垂足为，通过勾股定理可得，设，，，求出的值即可得解； 当，重合时，过作，交延长线于点，过点作轴于点，证明，设，可求得，，将代入，即可得解． 【详解】（1）解： ，， ， 边上的高为：， 点的纵坐标为：， ∵点P的横坐标为， 设正比例函数的解析式为， ∴ ∴或； （2）解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， 中， ， ， ， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为； （3）解：∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； 作垂足为，如图所示， 由题意得， ，， ，， ， 设，，， 则， 解得，， ， ， ∴； 如图所示，当，重合时，，显然符合题意； 如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵点是上关于，的等边点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即P是中点， ∴， 将代入， 解得（舍），， ∴， 综上，的横坐标为：或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$