信息必刷卷01（湖南长沙专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（湖南长沙专用） 考情速递 中考·新动向：1.新定义与所学知识融合:第 16 题以“优和点”的概念，将新定义融入到二次函数当中，强调学生理解探究能力。第24题通过介绍“朴实三角形”、“完美三角形”的定义，将三角形与圆结合，强化学生对于新知的数学探究与使用。第25题用“中心对称函数”的定义与二次函数的图像相结合，考查学生对于二次函数图像与性质的知识掌握能力与对新知的探究能力。2.几何与分类讨论:第10题通过全等三角形探究几何性质，涉及三角形和四边形之间的关系，体现几何问题的动态化趋势。3.代数与几何综合化:第24题作为压轴题，将抛物线与几何图形结合，需联立方程求解坐标，强调代数与几何的深度融合。 中考·新考法：1.常规考点的灵活设问 第10题结合正方形、勾股定理与全等三角形，通过全等的综合应用，打破单一知识点考查模式。第15题以等边三角形的外接圆为背景，结合圆的切线与弧长计算，将几何性质与代数运算结合。2.知识融合与新定义整合:第16题新定义下的二次函数图象上点的坐标特征问题，联立方程求解代数式值，融合方程与函数思想和分类讨论思想。第24题利用新定义将三角形、圆以及动态几何结合在一起，考查几何知识的实际应用。 命题·大预测：几何与分类讨论:如第10题、第24题的动态问题可能成为几何压轴题的主流形式。 代数与几何深度融合:如第25题的抛物线与几何综合题将持续作为压轴题型,注重设而不求的方法。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．某种细胞的直径大约是米．用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为，则这四个零件中质量最好的是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下表是某校男子足球队名队员的年龄分布： 年龄（岁） 人数 该校男子足球队队员年龄（岁）的众数和中位数依次是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将绕点O逆时针旋转得到．若点B的横坐标为3，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 8．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点．连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，点，，，都在上，是的直径，．若，，则的半径为（    ） A．5 B．6 C． D．10 10．如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．端午佳节来临之际，小明的妈妈想做豆沙、红枣、腊肉三种口味的粽子，小明妈妈问小明和姐姐最喜欢什么口味的粽子，小明和姐姐都最喜欢红枣口味的粽子的概率是 ． 12．甲、乙两名同学练习投篮，每人投了10次，成绩的方差分别为，，则成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 13．分解因式： ． 14．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 15．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接.以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为 . 16．若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．如图，在中，平分交于点．    (1)实践与操作：过点作的垂线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 20．2025年哈尔滨亚冬会于2025年2月7日至2月14日举行，亚冬会是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会．某校组织开展了冰雪知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从参赛学生中随机抽取了若干名学生的竞赛成绩x（单位：分）进行统计，得到如下不完整的统计图表． 成绩x/分 频数 频率 各组总分/分 15 0.1 1000 a 0.2 2250 60 0.4 5000 45 b 4200 请根据上述信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，表中_______，所抽取学生竞赛成绩的中位数落在_______组； (2)请求出所抽取学生的平均竞赛成绩； (3)学校将成绩为的学生评为“优秀”，若该学校共有800名学生参加此次竞赛，请你估计该校此次竞赛被评为“优秀”的学生人数． 21．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．年是甲辰年，也就是龙年，在中国传统文化中，龙象征着吉祥、力量和独立．为庆祝龙年到来，某超市准备购买、两种伴手礼送给在春节当天进店购物的顾客．______，并且花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等．请先在横线上补充条件：从“①购买1个种礼品比购买1个种礼品多花元”和“②，两种礼品各购买1个共需元”这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题： (1)购买一个种礼品和一个种礼品各需要多少元？ (2)该超市准备购买，两种礼品共个，若种礼品的数量不少于种礼品数量的倍，并且购买，两种礼品的总费用不高于元，则该超市有哪几种购买方案？ 23．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 24．等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，点为半圆弧上一动点． (1)如图1所示，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，请判断的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出的度数． (2)如图2所示，是的“沉毅三角形”，当与相切时，判断是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出的长度． (3)若分别以为底边作的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点从点运动到点时，分别求出点运动的路径长度． 25．我们规定：二次函数与互为中心对称函数． (1)二次函数的中心对称函数的解析式为________． (2)若点在二次函数的图象上，求证：点在二次函数的中心对称函数的图象上． (3)如图，已知二次函数和二次函数图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F，且二次函数与互为中心对称函数． ①当二次函数，的y值同时随着x的增大而减小时，求x的取值范围； ②当时，求a的值，并判断四边形的形状． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷01（湖南长沙专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C A C C A A D 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 11． 12．甲 13． 14．3 15． 16．或 三、解答题:本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（6分） 【解析】解： ． 18．（6分） 【解析】解： 当，时，原式． 19．（6分） 【解析】（1）解：如答图，即为所求．    （2）解：平分 ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 20．（8分） 【解析】（1）解：，， 补全频数分布直方图如下： 共有150人，第75、76人的成绩落在内， 故答案为：0.3；． （2）解：（分）， 所抽取学生的平均竞赛成绩为83分． （3）解：（名）， 估计该校此次竞赛被评为“优秀”的学生人数为240名． 21．（8分） 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴，， 在中，， 由（1）可知， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 22．（9分） 【解析】（1）解：（1）若选①，设购买一个种礼品需要元，则购买1个种礼品需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：种礼品每个元，种礼品每个元； 若选②，设购买一个种礼品需要元，则购买1个种礼品需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：种礼品每个元，种礼品每个元； （2）解：设购买种礼品个，则购买种礼品个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 或， 答：该超市有两种购买方案，方案①：购买种礼品个，种礼品个； 方案②：购买种礼品个，购买种礼品个． 23．（9分） 【解析】（1）证明：∵的垂直平分线交于E，交于F， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵正方形中，， ∴， ∴． 24．（10分） 【解析】（1）解：∵是的“沉毅三角形”， ∴是等边三角形， ∴， ∵以为底边作的“朴实三角形”， ∴是以为底边等腰直角三角形， ∴， ∵为半圆的直径， ∴， ∴， 所以的度数不发生变化，的度数为． （2）解：是的“完美三角形”，证明如下： 如图，连接， ∵是的“沉毅三角形”， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴与相切， 又∵与相切， ∴是的“完美三角形”． ∵为半圆的直径， ∴， ∴在中，． 综上，是的“完美三角形”，的长度为． （3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合， 取的中点，连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴点三点共圆，所在圆的圆心为点， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴此时点运动的路径长度为； 如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合， 同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， ∴此时点运动的路径长度为； 综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为． 25．（10分） 【解析】（1）解：二次函数的中心对称函数． 故答案为： （2）将点代入，得． 当时，． ∴点在二次函数的中心对称函数的图象上． （3）①∵ ∴二次函数的对称轴为直线，，顶点为 ∴当时，y随着x的增大而减小， ∵二次函数与互为中心对称函数 ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点为 ∴当时，y随着x的增大而减小， ∴当二次函数，的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围为； ②当时，， ∴， 二次函数， 当时， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（湖南长沙专用） 考情速递 中考·新动向：1.新定义与所学知识融合:第 16 题以“优和点”的概念，将新定义融入到二次函数当中，强调学生理解探究能力。第24题通过介绍“朴实三角形”、“完美三角形”的定义，将三角形与圆结合，强化学生对于新知的数学探究与使用。第25题用“中心对称函数”的定义与二次函数的图像相结合，考查学生对于二次函数图像与性质的知识掌握能力与对新知的探究能力。2.几何与分类讨论:第10题通过全等三角形探究几何性质，涉及三角形和四边形之间的关系，体现几何问题的动态化趋势。3.代数与几何综合化:第24题作为压轴题，将抛物线与几何图形结合，需联立方程求解坐标，强调代数与几何的深度融合。 中考·新考法：1.常规考点的灵活设问 第10题结合正方形、勾股定理与全等三角形，通过全等的综合应用，打破单一知识点考查模式。第15题以等边三角形的外接圆为背景，结合圆的切线与弧长计算，将几何性质与代数运算结合。2.知识融合与新定义整合:第16题新定义下的二次函数图象上点的坐标特征问题，联立方程求解代数式值，融合方程与函数思想和分类讨论思想。第24题利用新定义将三角形、圆以及动态几何结合在一起，考查几何知识的实际应用。 命题·大预测：几何与分类讨论:如第10题、第24题的动态问题可能成为几何压轴题的主流形式。 代数与几何深度融合:如第25题的抛物线与几何综合题将持续作为压轴题型,注重设而不求的方法。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找出对称轴是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，由此结合图形分析，找出对称轴即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2．某种细胞的直径大约是米．用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 3．一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为，则这四个零件中质量最好的是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】B 【分析】本题考查的是正数、负数的实际应用和绝对值的意义，明确绝对值最大的零件与规定长度偏差最大是解题的关键．根据绝对值最小的零件质量最好，即可判断． 【详解】解：， 质量最好的零件是第二个， 故选：B． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，二次根式的加法计算，幂的乘方计算和完全平方公式，根据对应的计算法则求出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．下表是某校男子足球队名队员的年龄分布： 年龄（岁） 人数 该校男子足球队队员年龄（岁）的众数和中位数依次是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义解答即可求解，掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵岁的人数最多， ∴众数是岁， ∵共有名队员 ∴数据由小到大排列，中位数为第和第个数的平均数， ∴中位数为岁， 故选：． 6．如图，在中，，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将绕点O逆时针旋转得到．若点B的横坐标为3，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，解直角三角形的相关计算，把握旋转的不变性是解题的关键． 过点分别作，垂足为，根据旋转得到，，导角得到，再通过等角正切值相等列式求解即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为， ∵点B的横坐标为3， ∴由旋转得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 由旋转得，， ∴， 故选：C． 7．已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，理解一次函数的性质是解决本题的关键． 分两种情况：当时，把代入即可解得；当时，把代入即可解得． 【详解】解：当，即时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：； 当，即时，中，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：， 综上所述，m的值为或4． 故选：C． 8．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点．连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图及性质，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到． 【详解】解：∵在等腰中，， ， 由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ， ， ， 故选：A． 9．如图，点，，，都在上，是的直径，．若，，则的半径为（    ） A．5 B．6 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，先证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴的半径为； 故选：A 10．如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点在边上（不与点重合），延长到点，使得，过点作交于点，垂足为，连接．下列结论正确的选项是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理依次判定选项即可． 【详解】解：∵和是一对全等的等腰直角三角形， ∴，四边形是正方形， ∵，，， ∴，故①正确； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，故③错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，选项①②④正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．端午佳节来临之际，小明的妈妈想做豆沙、红枣、腊肉三种口味的粽子，小明妈妈问小明和姐姐最喜欢什么口味的粽子，小明和姐姐都最喜欢红枣口味的粽子的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有9种等可能结果，其中小明和姐姐都最喜欢红枣口味的粽子有1种， ∴小明和姐姐都最喜欢红枣口味的粽子的概率是， 故答案为： ． 12．甲、乙两名同学练习投篮，每人投了10次，成绩的方差分别为，，则成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴甲的方差小， ∴成绩比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，提出公因式n即可，准确找出公因式，是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 14．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 15．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接.以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ． 故答案为：． 16．若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，得到关于的二次方程是解题的关键．设这个二次函数的“优和点”，坐标为，代入二次函数，得到，令，根据题意可知与轴只有一个公共点，再分类讨论，①与轴只有一个交点，且在轴的正半轴上，利用和，求得的范围；②与轴有两个交点，且只有一个交点在轴的正半轴上，利用和，求得的范围即可． 【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点代入可得： 整理得：， 令， 二次函数的“优和点”有且仅有一个， 与轴只有一个公共点， 第一种情况是与轴只有一个交点，且在轴的正半轴上， ，且， 解得且， ； 第二种情况是与轴有两个交点，且只有一个交点在轴的正半轴上， 对称轴在轴左侧，且交于轴的负半轴， 且， 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题：本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根，算术平方根和乘方，再去绝对值和计算除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再计算多项式除以单项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后把，代入计算即可. 【详解】解： 当，时，原式． 19．如图，在中，平分交于点．    (1)实践与操作：过点作的垂线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作垂线，角平分线的定义，平行四边形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，平行四边形的性质得到，由即可求解． 【详解】（1）解：如答图，即为所求．    （2）解：平分 ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 20．2025年哈尔滨亚冬会于2025年2月7日至2月14日举行，亚冬会是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会．某校组织开展了冰雪知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从参赛学生中随机抽取了若干名学生的竞赛成绩x（单位：分）进行统计，得到如下不完整的统计图表． 成绩x/分 频数 频率 各组总分/分 15 0.1 1000 a 0.2 2250 60 0.4 5000 45 b 4200 请根据上述信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，表中_______，所抽取学生竞赛成绩的中位数落在_______组； (2)请求出所抽取学生的平均竞赛成绩； (3)学校将成绩为的学生评为“优秀”，若该学校共有800名学生参加此次竞赛，请你估计该校此次竞赛被评为“优秀”的学生人数． 【答案】(1)见解析；0.3； (2)83分 (3)240名 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据频率之和计算出b的值，然后根据频数分布表中的数据计算出a的值，则可补全频数分布直方图；再结合中位数的定义，可以直接写出所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在哪一段； （2）根据平均数的计算方法进行计算即可； （3）分析样本的优秀率，估计总体的情况即可． 【详解】（1）解：，， 补全频数分布直方图如下： 共有150人，第75、76人的成绩落在内， 故答案为：0.3；． （2）解：（分）， 所抽取学生的平均竞赛成绩为83分． （3）解：（名）， 估计该校此次竞赛被评为“优秀”的学生人数为240名． 21．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证平行四边形是菱形，则，由垂直的定义可得，由同角的余角相等可得，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由（1）中的相似得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴，， 在中，， 由（1）可知， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 22．年是甲辰年，也就是龙年，在中国传统文化中，龙象征着吉祥、力量和独立．为庆祝龙年到来，某超市准备购买、两种伴手礼送给在春节当天进店购物的顾客．______，并且花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等．请先在横线上补充条件：从“①购买1个种礼品比购买1个种礼品多花元”和“②，两种礼品各购买1个共需元”这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题： (1)购买一个种礼品和一个种礼品各需要多少元？ (2)该超市准备购买，两种礼品共个，若种礼品的数量不少于种礼品数量的倍，并且购买，两种礼品的总费用不高于元，则该超市有哪几种购买方案？ 【答案】(1)种礼品每个元，种礼品每个元 (2)该超市有两种购买方案，方案①：购买种礼品个，种礼品个； 方案②：购买种礼品个，购买种礼品个 【分析】本题考查分式方程的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，能熟练的找到等量关系或不等关系进行列式是解题的关键． （1）购买一个种礼品需要元，分别根据选①或②得出购买1个种礼品费用，再利用“花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等”列式求解即可； （2）设购买种礼品个，则购买种礼品个，利用“种礼品的数量不少于种礼品数量的倍”和“购买，两种礼品的总费用不高于元”分别列式求解即可． 【详解】（1）解：（1）若选①，设购买一个种礼品需要元，则购买1个种礼品需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：种礼品每个元，种礼品每个元； 若选②，设购买一个种礼品需要元，则购买1个种礼品需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：种礼品每个元，种礼品每个元； （2）解：设购买种礼品个，则购买种礼品个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 或， 答：该超市有两种购买方案，方案①：购买种礼品个，种礼品个； 方案②：购买种礼品个，购买种礼品个． 23．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)a 【分析】（1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得到四边形是正方形； （2）先判定，得出，再根据正方形中，，即可得到，即． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于E，交于F， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵正方形中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识．解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 24．等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，点为半圆弧上一动点． (1)如图1所示，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，请判断的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出的度数． (2)如图2所示，是的“沉毅三角形”，当与相切时，判断是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出的长度． (3)若分别以为底边作的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点从点运动到点时，分别求出点运动的路径长度． 【答案】(1)的度数不发生变化，的度数为 (2)是的“完美三角形”，的长度为 (3)以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得； （2）是的“完美三角形”，证明：连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据圆的切线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定可得与相切，由此即可得证；最后解直角三角形即可得的长度； （3）分别画出以为底边作的“沉毅三角形”、以为底边作的“朴实三角形”，找出点运动的路径，利用弧长公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵是的“沉毅三角形”， ∴是等边三角形， ∴， ∵以为底边作的“朴实三角形”， ∴是以为底边等腰直角三角形， ∴， ∵为半圆的直径， ∴， ∴， 所以的度数不发生变化，的度数为． （2）解：是的“完美三角形”，证明如下： 如图，连接， ∵是的“沉毅三角形”， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴与相切， 又∵与相切， ∴是的“完美三角形”． ∵为半圆的直径， ∴， ∴在中，． 综上，是的“完美三角形”，的长度为． （3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合， 取的中点，连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴点三点共圆，所在圆的圆心为点， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴此时点运动的路径长度为； 如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合， 同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， ∴此时点运动的路径长度为； 综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线的判定与性质、解直角三角形、弧长公式等知识，较难的是题（3），正确找出点运动的路径是解题关键． 25．我们规定：二次函数与互为中心对称函数． (1)二次函数的中心对称函数的解析式为________． (2)若点在二次函数的图象上，求证：点在二次函数的中心对称函数的图象上． (3)如图，已知二次函数和二次函数图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F，且二次函数与互为中心对称函数． ①当二次函数，的y值同时随着x的增大而减小时，求x的取值范围； ②当时，求a的值，并判断四边形的形状． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②，矩形 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质和新定义，矩形的判定、勾股定理等知识，理解中心对称函数的定义是解题的关键． （1）根据中心对称函数的定义写出答案即可； （2）将点代入，得．当时，．即可证明结论成立； （3）①求出二次函数的对称轴为直线，，顶点为，则当时，y随着x的增大而减小，求出二次函数的对称轴为直线，顶点为，则当时，y随着x的增大而减小，即可求出答案； ②求出，，，，由得到解得，证明，则四边形是平行四边形，又由即可得到结论． 【详解】（1）解：二次函数的中心对称函数． 故答案为： （2）将点代入，得． 当时，． ∴点在二次函数的中心对称函数的图象上． （3）①∵ ∴二次函数的对称轴为直线，，顶点为 ∴当时，y随着x的增大而减小， ∵二次函数与互为中心对称函数 ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点为 ∴当时，y随着x的增大而减小， ∴当二次函数，的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围为； ②当时，， ∴， 二次函数， 当时， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$