2025届上海市闵行区二模数学试卷

2025年上海市闵行区二模数学试卷参考答案 一. 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．160； 6．； 7．9；8．；9．； 10．； 11．；12．. 二. 选择题 13．D； 14．B； 15．D； 16．C． 三. 解答题 17． （1）证明：因为底面，所以, ……2分 又因为为长方形，所以， 而和是平面上的两条相交直线， 所以平面， ……4分 又平面，所以； ……6分 （2）以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立直角坐标系. 由题平面的一个法向量为， ……8分 且，，， 设平面的法向量，则 可取，解得，从而可得平面的一个法向量，……10分 记二面角的大小为，则，解得， 所以二面角的大小为. …………14分 18. 解：（1）由图，因为得周期，由得. ……3分 又得，，又因为， 所以，所以， ……6分 （2）因为，又，， 结合图像可知：，， ……8分 又，由余弦定理可得， 所以， 所以， ……12分 因为，所以，因此上述不等式中等号不能取到， 所以， 因此，△面积的取值范围为. ……14分 19． 解：（1）逐个抽选 2人参加数学知识问答可能出现的结果有个，即所有的样本点有个，将“恰好第一个是男生”这一事件记为，所包含的样本点有个，因此事件的概率为：; ……4分 （2）记事件：恰好抽选了1名男生与1名女生，事件：两名学生都是高二学生，; ……8分 （3）因为共抽取了2名学生，所以男生与女生的人数之差只能为偶数，分两种情况讨论： 时， 男 女 高一 1 0 高二 0 1 男 女 高一 0 1 高二 1 0 , ……10分 时， 男 女 高一 1 0 高二 1 0 男 女 高一 0 1 高二 0 1 ， ……12分 的分布列为，. ……14分 20． 解析：（1）双曲线的渐近线方程为:； ……4分 （2）由题意知，，设，则由得, ……6分 即， 又由，解得 所以点的坐标为. ……10分 （3）法一： 设直线：，点、、， 将直线的方程代入双曲线方程后整理可得：， 即有 ……12分 因为直线过点且与双曲线右支交于两点， ， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点F的右侧，可得，所以，解得， 所以, ……14分 而，代入可得. ，代入后化简可得：.……16分 所以, 当且仅当时等号成立，的最小值为. ……18分 法二： 记，由重心得， 因为， 得， 所以， 而， “”成立当且仅当 21．（1）是 ……2分 以下反例不唯一. 存在，有满足； ……4分 （2）令， 而， 所以当时，；当时，， ……6分 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以在区间上的值域为， ……8分 若为在区间上的“分割数对” 即要满足在区间上的函数值有正有负， 所以 即实数的取值范围为 ； ……10分 （3）对于任意，考虑， 则不是在上的“分割数对”等价于恒成立或恒成立， ……12分 显然，， 由于，显然， ……14分 令， 因为，则 所以，结合函数的性质可知， “恒成立”等价于“对任意，恒成立” ……16分 即在上恒成立， 即， 由题意，满足的实数有且仅有一个， 则. ……18分 2024学年第二学期高三年级学业质量调研卷参考答案 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市闵行区二模数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 设全集，若集合,则=________. 2. 已知，则不等式的解集为________. 3. 已知是虚数单位，则 ________. 4. 已知圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的体积为________. 5. 在的二项展开式中，常数项是________.（用数值作答） 6．已知，，且与平行，则 ． 7. 已知数据、、、的平均数为，方差为，则、、、的平均数为________. 8. 已知函数的值域为,则实数m的取值范围是________. 9. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差. 已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为________.（精确到） 10．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为________. 11．已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为________.（精确到） 12.定义的区间长度为．若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 两个变量与之间的回归方程（ ）. A. 表示与之间的函数关系 B. 表示与之间的不确定关系 C. 反映与之间的真实关系 D. 是反映与之间的真实关系的一种最佳拟合 14. 若，，则“”是“”的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15. 已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ）. A. B. C. D. 16. 设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（ ）. A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的大小. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点. （1）求函数的解析式； （2）若△的内角、、所对的边分别为，若，，，求△面积的取值范围. 19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 某社团共有12名成员，其中高一男生2人、女生4人，高二男生3人、女生3人.现从中随机抽选2人参加数学知识问答. （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； （3）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望. 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于两点(点在轴上方)，点在双曲线上, 直线交轴于点 (点在点的右侧). （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若△的重心在轴上，记△、△的面积分别为、，求的最小值． 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”. （1）已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； （2）已知，，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； （3）已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 2024学年第二学期高三年级学业质量调研数学试卷 第1页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$