3.2 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

高考总复习数学(BS) 第2节 利用导数研究函数的单调性 ★[课程标准] 1.了解函数的单调性与导数的关系。 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 3.能利用导数解决有关不等式、参数等问题. 复盘>必备知识 学生用书P49 打通教材强基固本 必备知识掌握 解析：A[当x∈（一3,0）时，f(x)<0,则f(x)在 1.函数的单调性与导数的关系 (一3,0)上是减函数，其他判断均不正确.] 函数y=(.x)在某个区间内可导： 2.已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意 (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数子(x)>0, 一点P(x。y)处的切线方程为y=(.x十x一2)x 则在这个区间内，函数y=f(.x)单调递增： 十(y一x。-x子+2x。),那么函数f(x)的单调递减 (2)若在某个区间内，函数y=f(.x)的导数了(x)<0, 区间为 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减： A.(-2.1) B.(-1.2) (3)若在某个区间内，f(x)≥0且只在有限个点为0， C.(-∞，-2) D.(1,+∞) 则在这个区间内，函数y=f(.x)单调递增： 解析：A[由图象上任意一点P(x。,y)处的切线 (4)若在某个区间内，f(x)≤0且只在有限个点为0， 方程为y=(x+x,-2)x+(y-x8一x十2.xo), 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 知f(x)的导数为f(x)=x2+x一2， 2.求函数单调区间的步骤 令f(.x)<0,解得-2<x<1.] (1)求定义域. 3.(BSD选择性必修第二册P练习T,改编)已知定 (2)求导. 义在区间（一π，x)上的函数f(.x)=rsin r十cosx, (3)由导数大于0求单调递增区间：由导数小于0求 则函数(x)的单调递增区间是 单调递减区间。 解析：f(x)=sinx十rcos a-sinx=xcos x, ·重要结论· 令f(x)=xcos x>0,则其在区间（一π，π）上的解 1.f(x)>0(或f(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递 集为-，一受)(0，号引即函载)的单洞递 增（或递减）的充分不必要条件； 2.若f(x)可导且f(x)=0不恒成立，则f(.x)≥0 (或了(x)≤0)是f(.x)在(a,b)内单调递增（或递 减)的充要条件。 自土诊断查验 4.f(x)是f(x)在区间[a,b]的导函数，则“在区间 (a,b)内(x)>0”是“f(x)在该区间内单调递增” ◆[思考辨析] 的 条件. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 解析：一般地，由(x)>0能推出f(x)为增函数， 打“√”，错误的打“×” 反之，则不一定.如函数f(x)=x3在区间（一o, (1)f(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. 十∞)上单调递增，但是∫(x)≥0，因此(x)>0 (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象 是函数f(x)为增函数的充分不必要条件. 就越“平缓” ( 答案：充分不必要 (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0,则 f(x)在此区间内为常数函数 5.(忽视端点取等号致误)若y=x十4(a>0)在 (4)f(.x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的单 [2,十o∞)上单调递增，则a的取值范围是 调递增区间意义不一样. [答案](1)×(2)× (3)/(4)/ 解析：法-：由y=1一>0，得x≤a或x≥a ◆[小题查验] y=x十4的单调递增区间为(-oo,一a],[a,十o∞). L.如图所示是函数f(x)的导函 数广(x)的图象，则下列判断 函数在[2，十∞)上单调递增， 中正确的是 () ∴.[2，+oo)二[a,+∞).∴a≤2.又a>0.∴.0a≤2. A.函数f(.x)在区间(-3,0) 上是减函数 法二：=1号旅题意知1-兰≥0 B.函数f(x)在区间（一3,2）上是减函数 在x∈[2，十0∞)上恒成立，即a2≤x恒成立， C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 ,x∈[2，十o∞)，x≥4，a2≤4，又a>0, D.函数f(x)在区间（一3,2）上是单调函数 ∴.0<a≤2. 答案：(0,2] ·76· 主题二第三章导数及其应用 跃升>关键能力 学生用书 P50 题型突破素养提升 题型1 利用导数求函数的单调区间 (3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据 [典例们 (1)(2025·河南月考)已知f(x)=3.x2+6.x f(.x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的 一6e+5,则函数f(x)的单调减区间为 符号，从而确定单调区间。 A.(1,+∞) B.(ln3,+o∞) 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区 C.(-∞，ln3) D.(-o∞，+∞) 间之间不能用并集“U”及“或”连接，只能用“，” [解析]由题可知，f(x)=3.x2+6.x-6e+5, “和”字隔开. 且f(x)的定义域为R, ①跟踪训练 则f(x)=6x+6-6e=6(x十1-e'), 1.(2025·山东济南历城二中月考)函数f(x)=x· 令g(.x)=x+1-e,则g(x)=1-e,x∈R, e'一e+的递增区间是 当x∈（一o∞，0）时，g'(x)>0,当x∈(0，十∞)时， A.(-o∞，e) B.(1,e) g'(x)<0, C.(e,十o∞) D.(e-1,+∞) 所以g(x)在（一∞，0）上单调递增，g(x)在(0，十∞)上 解析：D[由f(.x)=x·e-e+,得f(.x)=（d 单调递减， 十1一e)·e,令f(x)>0,解得x>e-l,所以函 则g(x)的最大值为g(0)=0, 数f(x)的递增区间是(e一1，十oo).] 故g(x)≤0恒成立，故∫(x)≤0在R上恒成立， 2.(2025·湖南邵阳模拟)已知函数f(x)=x2一(lnx). 所以f(.x)在R上单调递减，即函数f(.x)的单调减 讨论函数f(x)的单调性， 区间为（一∞，十∞）. 解：因为f(x)=x2一(lnx)2,其中x∈(0，+oo), [答案]D 则f(x)=2x-2lnx. x (2)(2025·河北保定二模)已知函数f(x)=(x 2e2)lnx-x-2e.讨论f(.x)的单调性. 设g(x)=2x-21n工，则g(x)=2(x+lnt-D, x [解]函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 令h(x)=x2+lnx-1,可得h'(x)=2x+1>0恒 f(x)=(x-2e)In x-x-2e, 成立， 所以f(x)=-2C+1n, 所以h(x)为(0，+o∞)上的增函数，且h(1)=0, 设gr)=fx)=-2c+lnr,周为y=-2g 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 x 递增，所以g(x）m=g(1)=2, y-lnx都在(0，十o∞)上单调递增， 所以f(x)=2>0,所以f(x)>0,所以f(x)在 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增，且g(e2)=0, (0,十∞)上单调递增. 所以x∈(0，e)时，g(x)<0,∫(x)<0,f(x)单调 题型2（利用导数判断或证明函数的单调性 递减： [典例们 (2025·河北张家口市模拟)已知f(.x)= x∈(e2,+∞)时，g(x)>0,f(r)>0,f(x)单调 递增。 a-ln)+2号.aeR讨论f)的单调性. 所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e2,+o∞)上单 [解]f(x)的定义域为(0，十o∞)， 调递增. 方法指导 r)=-兰是+是-a-D 利用导数求函数单调区间的方法 当a≤0时，x∈(0,1)时，f(x)>0,f(x)单调 (1)当导函数不等式可解时，解不等式了(x)>0或 递增， f(x)<0求出单调区间. x∈(1.+∞)时，(x)<0,f(x)单调递减. (2)当方程了(x)=0可解时，解出方程的实根，依 当>0时r-(图 照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定 各区间f(x)的符号，从而确定单调区间. ①当0<a<2时>1 77 高考总复习数学(BS》 当x∈(0,1)或x∈ +∞时fx>0, ②当a=2时，f(x)≥0，f(x)=0成立当且仅当 x=0,f(.x)在(-1，十∞)上是增函数. 单调递增， ③当a>2时，若x∈(-1,0)，则(x)>0,f(x)在 当,√时f)<0)单调递减. (一1,0)上是增函数： 若x∈(0，a°-2a),则f(x)<0,f(x)在(0，a-2a) ②当a=2时 2=1,在x∈(0，十)内，(x)≥0. 上是减函数： 若x∈(a2-2a,+o∞)，则f(x)>0,f(x)在 f(x)单调递增 (a°-2a,十∞)上是增函数. 当>2时，0<层<1，当xe(,层)x 题型3 函数单调性的简单应用 (1,十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 卜[命题点1]比较大小或解不等式 当（侣.j时0草调适或 1.(多选)已知定义在0，受)上的函数ff()是 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在 f(x)的导函数，且恒有cos af'(x)十sin f(x)<0 (1,十∞)上单调递减； 成立，则 当0<a<2时，f(x)在(0,1)上单调递增，在 A. r>() ,月}上单调在(/+小上单得递培： c.f()>f() D/>f) 当a=2时，f(x)在(0，十∞)上单调递增： 解析：CD[设g(x)= f(r) 当a>2时，f(x)在 图上单调递，在 cos 则g(x)=fx)·co8x+fx)·sinx cos'.r (层，]小上单河递浅，在，+)止单消适瑞。 国为xe(0,到)时，osxf)+snfr<0. 方法指导 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 所以r（0)时. (1)求f(x): g'(x)= f(r)·cosr+f)·sinE<0. (2)确认f(x)在(a,b)的符号： cos"r (3)下结论：f(x)>0时为增函数：f(x)<0时为 国此g()在0，受上单调递减， 减函数 易错警示 所以{)>（晋(>(）月 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值 对不等式解集的影响进行分类讨论 )} 3 心跟踪训练 2 讨论函数f(x)=la+1)-平。a>1)的单 侣} 3 调性. 解：f(x)的定义域为(-1，十∞)， 2.(2025·四川广元市模拟)已知定义在R上的偶函 f(x)=x-(a2-2a)] 数(x),其导函数为∫(x),当x>0时，若xf(x) (.x+1)(.x十a) ①当1<a<2时，若x∈(-1.a-2a),则f(x)>0, -2>0,f(-3)=1,则不等式f四<号x的 f(x)在(-1，a2-2a)上是增函数： 解集是 若x∈(a2-2a,0),则f(.x)<0,f(x)在(a2-2a,0) A.(-∞，-3)U(0,3) 上是减函数. B.(-3,3) 若x∈(0，十∞)，则f(x)>0,f(x)在(0，+∞)上是增 C.(-3,0)U(0,3) 函数 D.(-∞，-3)U(3,+0∞) ·78· 主题二第三章导数及其应用 解折：A[为造品数8)=孕()=r (8)对于xf(x)-nf(x)>0(.r≠0)型，构造F(x) if'(x)-2f(x)-if()-2f() =9.则F()=f@(注意对 x x"+的符号进行讨论)，特别地，当n=1时， 当x>0时，xf(x)-2f(x)>0,故g'(x)>0, xf(x)-f(x)>0,构造F(x)=f2,则 g(x)在(0，十∞)上单调递增， x 又化)为锅画数y一号为偶函数， F'(x)=f）-f2>o. (9)对于不等式了(x)+f(x)>0(或<0)，构造函 所以g(x)=P为偶函数，在(-0,0)单调递减. 数F(x)=e'f(x). (10)对于不等式f(x)一f(x)>0(或<0)，构造函 f-3)=1,则f(3)=1,g(-3)=g(3)=f3) 32 数F(x)=fz) e 1,f(x)< 9, ◆[命题点2]已知函数的单调性求参数的取值 范围 当x>0时，即<1 g)<号=g(3所以 [母题]已知函数f(x)=x一ax-1. x∈(0,3)： (1)讨论f(.x)的单调性： (2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值 当K0时，脚日g)> =g(一3)，所以 范围。 x∈(-∞，-3). [破题关键点](1)讨论∫(x)的符号是正的还 是负的： 综上所述，x∈(-∞，一3)U(0,3) (2)转化为(x)≥0在(-，十∞)上恒成立. 解题技法 [解](1)f(x)=3.x2-a. 构造法解f(x)与(x)共存问题 ①当a≤0时，f(x)≥0， (1)对于不等式f(x)十g(x)>0(或<0)，构造函 所以f(x)在（一0∞，十∞）上为增函数. 数F(.x)=f(x)十g(x). ②当u>0时，令3r2-a=0,得r= (2)对于不等式f(x)一g'(x)>0(或<0)，构造函 3； 数F(x)=f(x)-g(x): 当>浅<-时)>0： 特别地，对于不等式广(x)>k(或<k)(k≠0)， 构造函数F(.x)=f(x)一kx. 当-匹<r<时f)0, (3)对于不等式(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或< 此f)在(-，+小上为增 0),构造函数F(x)=f(x)g(x). (4)对于不等式f(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或< 函教，在一 上为减函数 01,南造西数F)-得g≠0. 综上可知，当a≤0时，f(x)在（一∞，十∞）上为增 函数： (5)对于不等式xf(x)十f(x)>0(或<0)，构造 函数F(x)=xf(x). (6)对于不等式xf(x)一f(x)>0(或<0)，构造 函数F(r)=f2(x≠0). (2)因为f(x)在（一∞，十∞）上是增函数， (7)对于xf(x)十nf(x)>0型，构造F(x)= 所以f(x)=3.x2-u>0在(-∞，十∞)上恒成立， x"f(x),则F(x)=x"-[xf(x)+nf(x](注 即a≤3.x2对x∈(-0∞，十o∞)恒成立. 因为3.x≥0，所以只需a≤0. 意对x”1的符号进行讨论)，特别地，当n=1 又因为a=0时，f(x)=3x≥0，f(x)=x3-1在 时，xf(x)+f(.x)>0,构造F(x)=xf(x),则 (一o∞，十∞)上是增函数，所以a≤0，即a的取值 F'(x)=xf(x)+fx)>0. 范围为（一0∞，0]. ·79 高考总复习数学(BS) [子题1]函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，+o∞) 上为增函数，求a的取值范围。 解析：C[令)-)=22 (2.x)2 解：因为f(.x)=3.x-a,且f(x)在区间(1，+∞) 令(x)>0,得0<x<e,令f(x)<0,得x>e, 上为增函数，所以(x)≥0在(1，十∞)上恒成立， 所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十c∞)上单调 即3.x2一a≥0在(1，十o∞)上恒成立， 所以a≤3x2在(1，十∞)上恒成立，所以a≤3， 递减，因为c=2-n2_lnc-ln2_ln号 即a的取值范国为（一o∞，3]. e [子题2]函数f(x)不变，若f(.x)在区间(-1,1)上 =f)且a-2-f2.=。-fe. 为减函数，试求a的取值范围. 解：由f(x）=3.x2一a≤0在（一1,1）上恒成立，得 则fe>f(号)>f2),即a<c<.] a≥3x2在(-1,1)上恒成立. 2.(2025·江苏昆山柏庐高级中学期末)已知f(.x)的定 因为-1<x<1,所以3.x<3,所以a≥3. 即当a的取值范国为[3，+∞)时，f(x)在（一1,1） 义域是(0，十o∞)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x》 上为减函数 <f(x),则不等式e'fx+x)>e-f2)的解集是 [子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为 () (一1,1)，求a的值 A.(-2,1) B.(-∞，-2)U(1,+∞) 解：由母题可知，∫(x)的单调递减区间为 C.(-1,2) D.(-∞，-1)U(2,+6∞) ,=1,即a=8 33 解析：B [令A()=t巴，则)= [子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间（一1,1）上 不单调，求a的取值范围. f()-f2>0,所以函数h(x)在区间(0，十o∞) 解：f(x)=x3-u.x-1,.f(x)=3.x2-a 上单调递增，所以ef(x2十x)>e-f(2)台 由fx)=0,得=士ga≥0. fx2+x)f22=h(x2+x)>h(2)台x2+x>2, e e ,f(x)在区间(-1,1)上不单调， 解之得x<一2或x>1,即原不等式的解集为 0<3@<1,得0<a<3 3 (-0∞，-2)U(1,+c∞).] 即a的取值范图为(0,3). 3.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(.x)=a+ 规律总结 (1十a)在(0，十∞)上单调递增，则a的取值范围是 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(.x)在(a,b) 解析：由函数的解析式可得f(x)=alna+(1+ 上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. a)'ln(1+a)≥0在区间(0，十∞)上恒成立， (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递 增，则∫(x)≥0：若函数单调递减，则广(x)≤0” 则1+arn1+a≥-ana,脚（生e≥ 来求解。 易错警示 ma在区间0，十)上短成立 f(.x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都 0售)=1>-mo6a+1e1.2. 有f(.x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上 故ln(1+a)>0, ∫(x)不恒为0，应注意此时式子中的等号不能省 略，否则漏解。 aa+1)≥-lna'即aa+1D21, 故 0<a<1, 10<a<1. ①跟踪训练 L(2025·江西萍乡二模)已知a=兰，b=品 故5,1≤a<1. 2 c=2-血2，则这三个数的大小关系为 结合题意可得实数a的取值范国是 , A.c<b<a B.a<b<c 答案[5 C.a<c<b D.c<a<b ·80