3.1 导数的概念及其意义，导数的运算-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第１节　导数的概念及其几何意义、导数的运算 ★[课程标准] １．了解导数概念的实际背景． ２．通过函数图象直观理解导数的几何意义． ３．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则,能求 简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数． 　　　　　　　　学生用书　P４６ １．函数y＝f(x)在x＝x０ 处的导数 (１)定义:设函数y＝f(x),当自变量x 从x０变到x１ 时,函数值从f(x０)变到f(x１),函数值y关于x 的 平 均 变 化 率 为 Δy Δx ＝ f(x１)－f(x０) x１－x０ ＝ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ． 当x１ 趋于x０,即Δx 趋于０ 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个 值就是函数y＝f(x)在点x０ 的瞬时变化率．在数 学中,称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x０ 处的 导数．通常用符号f′(x０)表示,记作f′(x０)＝ lim x１→x０ f(x１)－f(x０) x１－x０ ＝lim Δx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ． (２)几何意义函数y＝f(x)在x０ 处的导数f′(x０),是 曲线y＝f(x)在点(x０,f(x０))处的切线的斜率． ２．函数y＝f(x)的导函数 一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一 点x处都有导数f′(x)＝lim Δx→０ f(x＋Δx)－f(x) Δx ,那 么f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为y＝f(x)的 导函数,也简称为导数．有时也将导数记作y′． ３．基本初等函数的导数公式 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝０ y＝xα(α是实数) y′＝αxα－１ y＝ax(a＞０,a≠１) y′＝axlna,特别地(ex)′＝ex y＝logax(a＞０, a≠１) y′＝ １xlna ,特别地(lnx)′＝１x y＝sinx y′＝cosx 函数 导函数 y＝cosx y′＝－sinx y＝tanx y′＝ １ cos２x ４．导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有: (１)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x); (２)[f(x)􀅰g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x); (３)f (x) g(x)[ ]′＝ f′(x)g(x)－f(x)g′(x) g２(x) (g(x)≠０)． ５．复合函数的导数 一般地,对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b, 如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了 y的值,那么y可以表示成x 的函数,称这个函数 为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数,记作y＝ f(φ(x)),其 中 u 为 中 间 变 量．复 合 函 数 y＝ f(φ(x))对 x 的 导 数 为yx′＝ [f(φ(x))]′＝ f′(u)φ′(x)．其中u＝φ(x)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数, 周期函数的导数还是周期函数． ２．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬 时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小 |f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在 这点处的切线越“陡”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)y′＝f′(x)在点x＝x０ 处的函数值就是函数 y＝f(x)在点x＝x０ 处的导数值． (　　) (２)求f′(x０)时,可先求f(x０)再求f′(x０)． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 (３)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (　　) (４)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 切线． (　　) (５)若f(x)＝f′(a)x２＋lnx(a＞０),则f′(x)＝ ２xf′(a)＋１x． (　　) 答案:(１)√　(２)×　(３)√　(４)×　(５)√ ◆[小题查验] １．设f(x)为R上的可导函数,且f′(１)＝１, 则lim Δx→０ f(１)－f(１＋２Δx) Δx ＝ (　　 ) A．２　　　B．－２　　　C．１　　　D．－１ 解析:B　[因为f′(１)＝lim Δx→０ f(１)－f(１＋２Δx) －２Δx ＝１ , 所以lim Δx→０ f(１)－f(１＋２Δx) Δx ＝－２． ] ２．函数y＝f(x)的图象如图所示,则y＝ f′(x)的图象可能是 (　　) 解析:D　[当x＜０时,曲线的切线斜率大于０且越来 越大,当x＞０时,曲线的切线斜率小于０且越来 越大．] ３．已知函数f(x)＝x(１９＋lnx),若f′(x０)＝２０,则 x０＝ (　　) A．e２ B．１ C．ln２ D．e 解析:B　[f′(x)＝１９＋lnx＋x􀅰１x＝２０＋lnx ,由 f′(x０)＝２０,得２０＋lnx０＝２０,则lnx０＝０,解得 x０＝１．] ４．(多选)下列求导数运算正确的有 (　　) A．(sinx)′＝cosx B．１x æ è ç ö ø ÷′＝１ x２ C．(log３x)′＝ １ ３lnx D． (lnx)′＝１x 解析:AD　[A．(sinx)′＝cosx,故正确;B．１x æ è ç ö ø ÷′ ＝－ １ x２ ,故 错 误;C．(log３x)′＝ １ xln３ ,故 错 误; D．(lnx)′＝１x ,故正确．] ５．(忽视切点的位置致误)(BSD选择性必修第二册 P５６习题２－２A组T５ 改编)已知函数f(x)＝２x３－ ３x,过点M(０,３２)作函数f(x)的切线,则切线方程 为　　　　． 解析:设切点坐标为 N(x０,２x３０－３x０),则切线的斜 率k＝f′(x０)＝６x２０－３, 故切线方程为y＝(６x２０－３)x＋３２,又因为点 N 在 切线上, 所以２x３０－３x０＝(６x２０－３)x０＋３２,解得x０＝－２, 所以切线方程为y＝２１x＋３２． 答案:y＝２１x＋３２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P４７ 　　　导数的概念 １．已知函数f(x)＝２lnx＋８x, 则lim Δx→０ f(１＋２Δx)－f(１) Δx 的值为 (　　) A．－２０ B．－１０ C．１０ D．２０ 解析:D　[因为f(x)＝２lnx＋８x, 所以f′(x)＝２x＋８ , 所以lim Δx→０ f(１＋２Δx)－f(１) Δx ＝lim Δx→０ f(１＋２Δx)－f(１) ２Δx ＝２f′ (１)＝２０．] ２．用导数的定义求函数y＝１ x 在x＝１处的导数． 解:设f(x)＝１ x , 则Δy＝f(１＋Δx)－f(１)＝ １ １＋Δx －１ ＝１－ １＋Δx １＋Δx ＝ (１－ １＋Δx)(１＋ １＋Δx) １＋Δx(１＋ １＋Δx) ＝ －Δx １＋Δx(１＋ １＋Δx) , Δy Δx＝－ １ １＋Δx(１＋ １＋Δx) , ∴lim Δx→０ Δy Δx＝limΔx→０ －１ １＋Δx(１＋ １＋Δx) ＝－１２． ∴y′|x＝１＝－ １ ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 根据导数的定义,求函数y＝f(x)在x＝x０ 处导数 的步骤 (１)求函数值的增量Δy＝f(x０＋Δx)－f(x０); (２)求平均变化率ΔyΔx＝ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ; (３)计算导数f′(x０)＝lim Δx→０ Δy Δx． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰 高考总复习　数学(BS) 导数的计算 １．(２０２５􀅰广州荔湾区期末)下列求导运算正确的是 (　　) A．(e１－x)′＝e１－x B．(cos３x)′＝－sin３x C．(x－１)′＝ ２ x－１ D．(xlnx)′＝１＋lnx 解析:D　[(e１－x)′＝－e１－x,(cos３x)′＝－３sin３x, (x－１)′＝ １ ２ x－１ ,(xlnx)′＝lnx＋１．] ２．(２０２５􀅰湖北武汉模拟预测)已知函数f(x)＝ f′(０)e２x－e－x,则f(０)＝　　　　． 解析:由函数f(x)＝f′(０)e２x－e－x求导,得f′(x) ＝２f′(０)e２x＋e－x,当x＝０时,f′(０)＝２f′(０)＋１, 解得f′(０)＝－１,因此,f(x)＝－e２x－e－x,所以 f(０)＝－２． 答案:－２ ３．求下列函数的导数． (１)y＝x２sinx; (２)y＝lnx＋１x ; (３)y＝cosxex ; (４)y＝xsin２x＋π２ æ è ç ö ø ÷cos２x＋π２ æ è ç ö ø ÷; (５)y＝ln(２x－５)． 解:(１)y′＝(x２)′sinx＋x２(sinx)′＝２xsinx＋ x２cosx． (２)y′＝ lnx＋１x æ è ç ö ø ÷′＝(lnx)′＋ １x æ è ç ö ø ÷′＝１x－ １ x２ ． (３)y′＝ cosx ex æ è ç ö ø ÷′＝ (cosx)′ex－cosx(ex)′ (ex)２ ＝－sinx＋cosx ex ． (４)∵y＝xsin２x＋π２ æ è ç ö ø ÷cos２x＋π２ æ è ç ö ø ÷ ＝１２xsin (４x＋π)＝－１２xsin４x , ∴y′＝－１２sin４x－ １ ２x 􀅰４cos４x ＝－１２sin４x－２xcos４x． (５)令u＝２x－５,y＝lnu, 则y′＝(lnu)′u′＝ １２x－５ 􀅰２＝ ２２x－５ ,即y′＝ ２２x－５． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数求导的遵循原则 (１)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量, 提高运算速度,减少差错． (２)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但 在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数 先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的 求导法则,减少运算量． (３)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次, 通过设中间变量,确定复合过程,然后求导． 　　　　导数的几何意义及应用 ▶[命题点１]　求切线方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２４􀅰全国甲卷)设函数f(x)＝e x＋２sinx １＋x２ ,则曲 线y＝f(x)在点(０,１)处的切线与两坐标轴所围成 的三角形的面积为 (　　) A．１６ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ 解析:A　[∵f(x)＝e x＋２sinx １＋x２ , ∴f′(x)＝ (ex＋２cosx)(１＋x２)－(ex＋２sinx)􀅰２x (１＋x２)２ ＝ (x－１)２ex＋２(１＋x２)cosx－４xsinx (１＋x２)２ , 则f′(０)＝３, ∴y＝f(x)在 点(０,１)处 的 切 线 方 程 为y－１＝ ３(x－０),即３x－y＋１＝０ 令x＝０,得y＝１, 令y＝０,得x＝－１３ , ∴y＝f(x)在点(０,１)处的切线与两坐标轴所围成 的三角形的面积为S＝１２× － １ ３ ×１＝ １ ６． ] ２．已知曲线y＝１３x ３ 上一点P ２,８３ æ è ç ö ø ÷,则过点P 的 切线方程为　　　　． 解析:(１)当P 为切点时,由y′＝ １３x ３æ è ç ö ø ÷′＝x２,得 y′|x＝２＝４,即过点P 的切线方程的斜率为４． 则所求的切线方程是y－８３＝４ (x－２), 即１２x－３y－１６＝０． (２)当P 点不是切点时,设切点为Q(x０,y０), 则切线方程为y－１３x ３ ０＝x２０(x－x０), 因为切线过点P ２,８３ æ è ç ö ø ÷,把P 点的坐标代入以上 切线方程,求得x０＝－１或x０＝２(即点P,舍去), 所以切点为Q －１,－１３ æ è ç ö ø ÷,即所求切线方程为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第三章　导数及其应用 ３x－３y＋２＝０． 综上所述,过点P 的切线方程为１２x－３y－１６＝０ 或３x－３y＋２＝０． 答案:１２x－３y－１６＝０或３x－３y＋２＝０ ３．(２０２５􀅰海南省直辖县级单位模拟)已知函数f(x) ＝alnx(a≠０),过原点作曲线y＝f(x)的切线l, 则切线l的斜率为　　　　． 解析:根据题意得,f′(x)＝ax ,设切点坐标为(x０,y０), 则f′(x０)＝ a x０ , 所以切线l的方程为y＝ax０ (x－x０)＋y０, 将点(０,０)代入,可得０＝ax０ (０－x０)＋y０,整理得 y０＝a, 故alnx０＝a,解得x０＝e,故f′(x０)＝ a e ,即切线l 的斜率为a e． 答案:a e 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．已知切点A(x０,f(x０)),求切线方程的步骤 (１)求斜率k,即求该点处的导数值:k＝f′(x０); (２)求切线方程,即点斜式对应的直线方程: y－f(x０)＝f′(x０)(x－x０)． ２．求曲线过点P的切线方程的方法 (１)当点P(x０,y０)是切点时,切线方程为y－y０ ＝f′(x０)􀅰(x－x０)． (２)当点 P(x０,y０)不是切点时,可分以下几步 完成: 第一步:设出切点坐标P′(x１,f(x１)); 第二步:写出过点P′(x１,f(x１))的切线方程 y－f(x１)＝f′(x１)(x－x１); 第三步:将点P 的坐标(x０,y０)代入切线方程 求出x１; 第四步:将 x１ 的 值 代 入 方 程 y－f(x１)＝ f′(x１)(x－x１)可得过点 P(x０,y０)的切线 方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求切线方程的“在”“过”两重天 求曲线的切线问题时,要明确所运算的对象(切线) 涉及的点是“在”还是“过”,然后利用求切线方程的 方法进行求解． (１)“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导, 代入点的横坐标得到斜率． (２)“过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是 切点,故应先设切点,求切点坐标． ▶[命题点２]　求参数的值(范围) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．(２０２５􀅰湖南模拟)已知 P 是曲线C:y＝lnx＋ x２＋(３－a)x上的一动点,曲线C 在P 点处的切 线的倾斜角为θ,若π３≤θ≤ π ２ ,则实数a的取值范 围是 (　　) A．[２ ３,０) B．[２ ２,０) C．(－∞,２ ３] D．(－∞,２ ２] 解析:D　[因为y＝lnx＋x２＋(３－a)x, 所以y′＝１x＋２x＋ ３－a , 因为曲线在 M 处的切线的倾斜角θ∈ π３ ,π ２[ ö ø ÷,所 以y′≥tanπ３＝ ３ 对于任意的x＞０恒成立, 即１ x＋２x＋ ３－a≥ ３ 对任意x＞０恒成立, 即a≤２x＋１x ,又２x＋１x≥２ ２ ,当且仅当２x＝１x , 即x＝ ２２ 时,等号成立,故a≤２ ２,所以a的取值 范围是(－∞,２ ２]．] ５．(２０２５􀅰重庆模拟预测)若直线y＝kx 与曲线y＝ log３x相切,则实数k＝ (　　 ) A．eln３ B．elog３e C．１e D． １ elog３e 解析:D　[设切点为(x０,log３x０),由y＝log３x,可 得 y′＝ １xln３ ,则 y′|x＝x０ ＝ １ x０ln３ ＝k,所 以 １ x０ln３ ＝k, kx０＝log３x０, { 解得 x０＝e, k＝ １eln３ ,{ 即k＝１elog３e．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到 关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组), 进而求出参数的值或取值范围． ▶[命题点３]　两曲线的公切线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例]　(１)(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x 在点(０,１)处的切线也是曲线y＝ln(x＋１)＋a的 切线,则a＝　　　　　． [解析]　由y＝ex＋x,得y′＝ex＋１,y′|x＝０＝e０＋１＝ ２,故曲线y＝ex＋x 在(０,１)处的切线方程为y＝ ２x＋１; 由y＝ln(x＋１)＋a,得y′＝ １x＋１ , 设切线与曲线y＝ln(x＋１)＋a相切的切点为 (x０,ln(x０＋１)＋a), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７􀅰 高考总复习　数学(BS) 由两曲线有公切线得y′＝ １x０＋１ ＝２, 解得x０＝－ １ ２ ,则切点为 －１２ ,a＋ln１２ æ è ç ö ø ÷, 切线方程为y＝２x＋１２ æ è ç ö ø ÷＋a＋ln１２ ＝２x＋１＋a－ln２, 根据两切线重合,所以a－ln２＝０,解得a＝ln２． [答案]　ln２ (２)(２０２５􀅰河北模拟)若过点P(１,m)可以作三条直线 与曲线C:y＝xex 相切,则m的取值范围为 (　　) A．－∞,３e２ æ è ç ö ø ÷ B．０,１e æ è ç ö ø ÷ C．(－∞,０) D．１e ,３ e２ æ è ç ö ø ÷ [解析]　 由 y＝ xex ,则 y′＝１－xex ,设 切 点 为 x０, x０ ex０ æ è ç ö ø ÷,则切线斜率k＝ １－x０ ex０ , 则 在 点 x０, x０ ex０ æ è ç ö ø ÷ 的 切 线 方 程 为 y － x０ ex０ ＝ １－x０ ex０ (x－x０), 代入点P 坐标得m－ x０ ex０ ＝ １－x０ ex０ (１－x０), 整理为 m＝ x２０－x０＋１ ex０ ,即这个方程有三个不等式 实根, 令f(x)＝x ２－x＋１ ex ,则f′(x)＝－x ２＋３x－２ ex , 令f′(x)＞０,则１＜x＜２, 函数f(x)在(－∞,１)上单调递减,在(１,２)上单调 递增,在(２,＋∞)上单调递减, 故得f(１)＜m＜f(２),即m∈ １ e ,３ e２ æ è ç ö ø ÷． [答案]　D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)处理与切线有关的参数问题,关键是根据曲线、 切线、切点的三个关系列出参数的方程: ①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线 上;③切点在曲线上． (２)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切 线”:在“点P 处的切线”,说明点P 为切点,点 P 既在曲线上,又在切线上;“过点 P 处的切 线”,说明点P 不一定是切点,点P 一定在切线 上,不一定在曲线上． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (３)求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线 与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清 晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一 条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线 相切,直线与抛物线相切可用判别式法． １．(多选)已知函数f(x)＝ x－lnx,若f(x)在x＝ x１ 和x＝x２(x１≠x２)处切线平行,则 (　　) A．１ x１ ＋ １ x２ ＝１２ B．x１x２＜１２８ C．x１＋x２＜３２ D．x２１＋x２２＞５１２ 解析:AD　[由题意知f′(x)＝ １ ２ x －１x (x＞０), 因为f(x)在x＝x１ 和x＝x２(x１≠x２)处切线平行, 所以f′(x１)＝f′(x２),即 １ ２ x１ －１x１ ＝ １ ２ x２ － １ x２ ,化简得 １ x１ ＋ １ x２ ＝１２ ,A正确;由基本不等 式及x１≠x２,可得 １ ２＝ １ x１ ＋ １ x２ ＞２ １ x１x２ ,即 x１x２＞２５６,B错误;x１＋x２＞２ x１x２＞３２,C错误; x２１＋x２２＞２x１x２＞５１２,D正确．] ２．已知曲线y＝x＋lnx在点(１,１)处的切线与曲线y ＝ax２＋(a＋２)x＋１相切,则a＝　　　　． 解析:法一:因为y＝x＋lnx,所以y′＝１＋１x , y′|x＝１＝２． 所以曲线y＝x＋lnx在点(１,１)处的切线方程为y －１＝２(x－１),即y＝２x－１． 因为y＝２x－１与 曲 线y＝ax２＋(a＋２)x＋１ 相切, 所以a≠０(当a＝０时曲线变为y＝２x＋１与已知 直线平行)． 由 y＝２x－１, y＝ax２＋(a＋２)x＋１{ 消去y,得ax ２＋ax＋２＝０． 由Δ＝a２－８a＝０,解得a＝８． 法二:同法一得切线方程为y＝２x－１． 设y＝２x－１与曲线y＝ax２＋(a＋２)x＋１相切于点 (x０,ax２０＋(a＋２)x０＋１)．因为y′＝２ax＋(a＋２), 所以y′|x＝x０＝２ax０＋(a＋２)． 由 ２ax０＋(a＋２)＝２, ax２０＋(a＋２)x０＋１＝２x０－１,{ 解得 x０＝－ １ ２ , a＝８． { 答案:８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第三章　导数及其应用