2.8 方程解的存在性及方程的近似解-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第８节　方程解的存在性及方程的近似解 ★[课程标准] １．理解函数的零点与方程的解的联系,理解函数零点存在定理,并能简单应用． ２．根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解． 　　　　　　　　学生用书　P４０ １．函数的零点 (１)函数的零点 使得f(x０)＝０的数x０ 称为方程f(x)＝０的解, 也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数 y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (２)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (３)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负, 即f(a)􀅰f(b)＜０,则在开区间(a,b)内,函数y＝ f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的 方程f(x)＝０至少有一个解． ２．二分法 对于一般的函数y＝f(x),x∈[a,b],若函数y＝ f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)􀅰f(b)＜０, 则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较, 按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方 法称为二分法． ３．二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的图象与零点的 关系 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 y＝ax２＋bx＋c (a＞０)的图象 与x轴的交点 (x１,０), (x２,０) (x１,０) 无交点 零点个数 ２ １ ０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．有关函数零点的重要结论 (１)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数, 则f(x)至多有一个零点． (２)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值 保持同号． (３)连续不断的函数图象通过零点时,函数值符号可 能不变． ２．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝０ 有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有 交点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数f(x)＝x２－１的零点是(－１,０)和(１,０)． (　　) (２)函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象 连续不断),则一定有f(a)􀅰f(b)＜０． (　　) (３)函数y＝２sinx－１的零点有无数多个．(　　) (４)二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)在b２－４ac＜０ 时没有零点． (　　) (５)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)􀅰f(b)＜０,则 函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√　(４)√　(５)√ ◆[小题查验] １．下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法 求图中函数零点的是 (　　) 解析:A　[根据二分法的概念可知选项 A中函数 不能用二分法求零点．] ２．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有 如下对应值表: x １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ f(x) －４ －２ １ ４ ２ －１ －３ 在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间有 (　　) A．(１,２) B．(２,３) C．(５,６) D．(５,７) 解析:BCD　[由所给的函数值表知, f(１)f(２)＞０,f(２)f(３)＜０,f(５)f(６)＜０, f(５)f(７)＜０, ∴f(x)在区间(２,３),(５,６),(５,７)内至少有一个 零点．] ３．用二分法研究函数f(x)＝x５＋８x３－１的零点时, 第一次经过计算得f(０)＜０,f(０．５)＞０,则其中一 个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为 (　　 ) A．(０,０．５),f(０．１２５)　　　B．(０,０．５),f(０．３７５) C．(０．５,１),f(０．７５) D．(０,０．５),f(０．２５) 解析:D　[因为f(０)f(０．５)＜０,由零点存在性知: 零点x０∈(０,０．５),根 据 二 分 法,第 二 次 应 计 算 f ０＋０．５２ æ è ç ö ø ÷,即f(０．２５)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 高考总复习　数学(BS) ４．(BSD必修第一册P１３０练习T３(２)改编)函数f(x)＝ lnx＋２x－６的零点所在的区间是 (　　) A．(１,２) B．(０,１) C．(２,e) D．(e,３) 解析:C　[因为f(２)＝ln２－２＜０,f(e)＝lne＋２e －６＞０,且f(x)为增函数,所以f(x)的零点所在h 的区间为(２,e)．] ５．(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)＝ax２－x －１ 有 且 仅 有 一 个 零 点,则 实 数 a 的 值 为　　　　． 解析:当a＝０时,f(x)＝－x－１,令f(x)＝０得 x＝－１, 故f(x)只有一个零点为－１,当a≠０时,则Δ＝１＋ ４a＝０,∴a＝－１４． 综上有a＝０或－１４． 答案:０或－１４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P４１ 　　　确定函数零点所在的区间 １．若a＜b＜c,则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋ (x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位 于区间 (　　) A．(a,b)和(b,c)内　　B．(－∞,a)和(a,b)内 C．(b,c)和(c,＋∞)内 D．(－∞,a)和(c,＋∞)内 解析:A　[∵a＜b＜c,∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞０, f(b)＝(b－c)(b－a)＜０,f(c)＝(c－a)(c－b)＞０, 由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c) 内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两 个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间 (a,b),(b,c)内．] ２．(２０２５􀅰浙江绍兴期末)定义在(０,＋∞)上的单调 函数f(x)满足:∀x∈(０,＋∞),f[f(x)－log２x] ＝３,则方程f(x)－１x＝２ 的解所在区间是(　　 ) A．０,１２ æ è ç ö ø ÷ B．１２ ,１æ è ç ö ø ÷ C．(１,２) D．(２,３) 解析:C　[由题设t＝f(x)－log２x＞０为定值,且 f(t)＝３, 所以f(x)＝t＋log２x,则f(t)＝t＋log２t＝３,易知t ＝２,故f(x)＝２＋log２x, 由f(x)－１x＝２＋log２x－ １ x＝２ ,则log２x＝ １ x ,显 然在第一象限有一个交点, 又因为y＝log２x,y＝ １ x 在(０,＋∞)上分别单调递 增,单调递减, 由log２ １ ２＜ １ １ ２ ,log２１＜ １ １ ,log２ ＞ １ ２ ,故方程解在 (１,２)上．] ３．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞０且a≠１)．当 ２＜a＜３＜b＜４时,函数f(x)的零点x０∈(n,n＋１), n∈N＋,则n＝　　　　． 解析:对于函数y＝logax,当x＝２时,可得y＜１, 当x＝３时,可得y＞１,在同一坐标系中画出函数 y＝logax,y＝－x＋b的图象,判断两个函数图象 的交点的横坐标在(２,３)内, ∴函数f(x)的零点x０∈(n,n＋１)时,n＝２． 答案:２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (１)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y＝ f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是 否有f(a)􀅰f(b)＜０．若有,则函数y＝f(x)在 区间(a,b)内必有零点． (２)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 　　　判断函数零点的个数 [典例]　已知f(x)＝ |lgx|,x＞０, ２|x|,x≤０,{ 则函数y＝ ２f２(x)－３f(x)＋１的零点个数是　　　　． [解析]　第一步:作函数y＝f(x)的图象 作出函数y＝f(x)的图象． 第二步:解方程２f２(x)－３f(x)＋１＝０ 由２f２(x)－３f(x)＋１＝０得f(x)＝１２ 或f(x)＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 第三步:观察y＝１２ 和y＝１与y＝f(x)的图象交 点个数 由图象知y＝１２ 与y＝f(x)的图象有２个交点, y＝１与y＝f(x)的图象有３个交点． 第四步:得出函数的零点个数 因此函数y＝２f２(x)－３f(x)＋１的零点有５个． [答案]　５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法 (１)直接法:令f(x)＝０,则方程实根的个数就是函 数零点的个数． (２)零点存在性定理法:判断函数在区间[a,b]上是 连续不断的曲线,且f(a)􀅰f(b)＜０,再结合函 数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对 称性)可确定函数的零点个数． (３)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个 数问题(画出两个函数的图象,其交点的个数就 是函数零点的个数)． １．(２０２５􀅰河北邯郸二模)若直角坐标平面内A,B 两 点满足条件: ①点A,B 都在f(x)的图象上; ②点A,B 关于原点对称,则对称点对(A,B)是函 数的一个“兄弟点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作 一个“兄弟点对”)． 已知函数f(x)＝ cosx(x≤０), lgx(x＞０),{ 则f(x)的“兄弟 点对”的个数为 (　　 ) A．２　　　B．３　　　C．４　　　D．５ 解析:D　[设P(x,y)(x＜０),则点P 关于原点的 对称点为(－x,－y), 于是,cosx＝－lg(－x),只需判断方程根的个数, 即p(x)＝cosx,x≤０与s(x)＝－lg(－x),x＜０ 图象的交点个数, 因为p(－π)＝－１,s(－π)＝－lgπ＞－１,p(－３π) ＝－１,s(－３π)＝－lg３π＞－１; p(－５π)＝－１,s(－５π)＝－lg５π＜－１; 作出两函数的图象,由图知,p(x)＝cosx,x≤０与 s(x)＝－lg(－x),x＜０的图象有５个交点,所以 f(x)的“兄弟点对”的个数为５个． ] ２．(２０２５􀅰烟台市模拟)已知函数f(x)是定义在区间 (－∞,０)∪(０,＋∞)上的偶函数,且当x∈(０,＋∞) 时,f(x)＝ ２|x－１|,０＜x≤２, f(x－２)－１,x＞２,{ 则方程f(x)＋ １ ８x ２＝２ 的根的个数为 (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ 解析:D　[要求方程f(x)＋１８x ２＝２根的个数,即 为求f(x)与y＝２－x ２ ８ 的交点个数, 由题设知,在(０,＋∞)上的图象如图所示, ∴由图知:有３个交点,又由f(x)在(－∞,０)∪ (０,＋∞)上是偶函数, ∴在y轴左侧也有３个交点,故一共有６个交点．] 　　　　函数零点的应用 [母题]　若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点,则实 数a的取值范围为　　　　． [解析]　令g(x)＝xlnx, h(x)＝a,则 问 题 可 转 化 成 函数g(x)与h(x)的图象有 两个交点．g′(x)＝lnx＋１, 令g′(x)＜０,即lnx＜－１, 可解得０＜x＜１e ;令g′(x)＞０,即lnx＞－１,可解 得x＞１e ,所以,当０＜x＜１e 时,函数g(x)单调递 减;当x＞１e 时,函数g(x)单调递增,由此可知当x ＝１e 时,g(x)min＝－ １ e． 在同一坐标系中作出函数 g(x)和h(x)的简图如图所示,据图可得－１e＜a＜０． [答案]　 －１e ,０æ è ç ö ø ÷ [子题１]　若母题中f(x)有且只有一个零点,则实数 a的取值范围是　　　． 解析:由母题解析知a＝－１e 或a≥０． 答案:[０,＋∞)∪ －１e{ } [子题２]　若函数变为f(x)＝lnx－x－a,其他条件 不变,则a的取值范围是　　　． 解析:函数f(x)＝lnx－x－a的零点,即为关于x 的方程lnx－x－a＝０的实根,将方程lnx－x－a ＝０化为方程lnx＝x＋a,令y１＝lnx,y２＝x＋a, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 高考总复习　数学(BS) 由导数知识可知,直线y２＝x＋a与曲线y１＝lnx 相切时有a＝－１,所以关于x 的方程lnx－x－a ＝０ 有 两 个 不 同 的 实 根,实 数 a 的 取 值 范 围 是(－∞,－１)． 答案:(－∞,－１) [子题３]　若函数变为f(x)＝ xlnx－a,x＞０, －x２－２x－a,x≤０,{ 函数y＝f(x)有三个零点,则实数a的取值范围是 　　　． 解析:令g(x)＝ xlnx,x＞０, －x２－２x,x≤０,{ h(x)＝a,则问题转化为g(x)与 h(x)的图象有三个交点,g(x)图象如图． 由图象知－１e＜a＜１． 答案:－１e ,１æ è ç ö ø ÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的 取值范围常用的方法 (１)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不 等式,再通过解不等式确定参数范围． (２)分离参数法:先将参数分离得a＝f(x),再转化 成求函数f(x)值域问题加以解决． (３)数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直 角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合 求解． １．(２０２５􀅰山西阳泉三模)设函数f(x)是定义在R上 的奇函数,对任意x∈R,都有f(１＋x)＝f(１－x), 且当x∈[０,１]时,f(x)＝２x－１,若函数g(x)＝ f(x)－logax(其中a＞１)恰有３个不同的零点,则 实数a的取值范围为　　　　　． 解析:∵f(１＋x)＝f(１－x),则函数f(x)关于直 线x＝１对称, 又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数, 则f(１＋x)＝f(１－x)＝－f(x－１), 即f(x＋２)＝－f(x),则f(x＋４)＝－f(x＋２) ＝－[－f(x)]＝f(x), 故函数f(x)是以４为周期的周期函数, 又∵f(x＋２)＝－f(－x－２)＝－f(－x＋２), 即f(x＋２)＋f(－x＋２)＝０, 故函数f(x)关于点(２,０)对称, 令g(x)＝f(x)－logax＝０,则f(x)＝logax, 原题等价于y＝f(x)与y＝logax 有３个交点, 且y＝logax(a＞１)的定义域为(０,＋∞), 如图所示,则可得 loga５＜１, loga９＞１, a＞１, ì î í ï ï ïï 解得５＜a＜９． 答案:(５,９) ２．(２０２５􀅰全国模拟)已知函数f(x)＝ x２＋２,x≤１, |ln(x－１)|＋２,x＞１,{ 若关于x的方程f(x)－kx ＝０有且只有一个实数根,则实数k的取值范围是 　　　　． 解析:方程f(x)－kx＝０⇔f(x)－２－(kx－２)＝０． 画出y＝f(x)－２与y＝kx－２的 函 数 图 象 如 图所示: 因为直线y＝kx－２过(０,－２), 联立 y＝kx－２, y＝x２{ 得x ２－kx＋２＝０, 由Δ＝k２－８＝０,得k＝±２２． 又过(１,１)与(０,－２)两点的直线的斜率３, 由图知:当直线y＝kx－２过点(１,１)时,为函数 y＝x２与y＝kx－２有两个交点的临界点,此时k＝３, 由图可知,若关于x的方程f(x)＝kx有且只有一个 实数根, 则实数k的取值范围为{k|０＜k＜３}∪{－２ ２}． 答案:{k|０＜k＜３}∪{－２ ２} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 学生用书　P４２ 　　函数的零点是命题的热点,常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设 中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解． [典例]　(２０２５􀅰 十堰调研)已 知 函 数 f(x)＝ ２x＋２ ２ ,x≤１, |log２(x－１)|,x＞１, { 则函数F(x)＝f(f(x))－ ２f(x)－３２ 的零点个数是 (　　) A．４ B．５ C．６ D．７ [解析]　令f(x)＝t,则函数F(x)可化为y＝f(t) －２t－３２ ,则函数F(x)的零点问题可转化为方程 f(t)－２t－３２＝０ 的根的问题． 令y＝f(t)－２t－３２＝０ ,则f(t)＝２t＋３２． 分别作出y＝f(t)和y＝２t＋３２ 的图象,如图①,由 图象可得有两个交点,横坐标设为t１,t２(不妨设 t１＜t２),则t１＝０,１＜t２＜２; 作函数y＝f(x),与y＝t的图象如图②,结合图 象,当f(x)＝０时,有一解,即x＝２; 当f(x)＝t２ 时,结合图象,有３个解． 所以y＝f(f(x))－２f(x)－３２ 共有４个零点． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函 数零点的个数或范围,常考查三次函数与复合函 数相关零点,与函数的性质和相关问题交汇．对于 嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数 拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性 质求解． 已知函数f(x)＝ x２＋１ x (x＜０), x２－１ x (x＞０), ì î í ï ï ï ï 则方程f２(x)－ f(x)－６＝０的实根个数为 (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ 解析:A　[f２(x)－f(x)－６＝０,解得f(x)＝－２ 或f(x)＝３．当x＜０时,f(x)＝－２,解得x＝－１, f(x)＝３,解 得x＝３± ５２ ＞０ (舍);当x＞０时, f(x)＝－２,解得x＝－１＋ ２或x＝－１－ ２＜０ (舍),f(x)＝３,解得x＝３＋ １３２ 或x＝３－ １３２ ＜０ (舍)．综上,方程f２(x)－f(x)－６＝０的实根为 x＝－１或x＝－１＋ ２或x＝３＋ １３２ ,即方程f２(x) －f(x)－６＝０的实根个数为３个．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第９节　函数模型及应用 ★[课程标准] １．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中,会选择合适的函数 类型刻画现实问题的变化规律． ２．结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解 “对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 　　　　　　　　学生用书　P４２ １．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠０) 二次函数型 f(x)＝ax２＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠０) 函数模型 函数解析式 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a＞０且 a≠１,b≠０) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a＞０ 且a≠１,b≠０) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a,b为常数,a≠０) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与 性质 　　　　函数 性质　　　　 y＝ax (a＞１) y＝logax (a＞１) y＝xn (n＞０) 在(０,＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的 增 大 逐 渐 表 现为与y 轴 平行 随 x 的 增 大 逐 渐 表 现为与x 轴 平行 随 n 值 变 化 而 各 有 不同 值的比较 存在一个x０,当x＞x０时, 有logax＜xn＜ax 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．对勾函数y＝x＋ax (a＞０)在(－∞,－ a]和[a, ＋∞)上单调递增,在[－ a,０)和(０,a]上单调递 减．当x＞０,x＝ a时取最小值２ a;当x＜０时, x＝－ a时取最大值－２ a． ２．当描述增长速度变化很快时,选用指数函数模型． ３．当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长 到很大时,选用对数函数模型． ４．幂函数模型y＝xn(n＞０)可以描述增长幅度不同 的变化,当n值较小(n≤１)时,增长较慢;当n值较 大(n＞１)时,增长较快． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝２x 的函数值在(０,＋∞)上一定比y＝ x２ 的函数值大． (　　) (２)在(０,＋∞)上,随着x的增大,y＝ax(a＞１)的 增长速度会超过并远远大于y＝xα(α＞０)的增长 速度． (　　) (３)“指数爆炸”是指数型函数y＝a􀅰bx＋c(a≠０, b＞０,b≠１)增长速度越来越快的形象比喻．(　　) (４)幂函数增长比直线增长更快． (　　) (５)指数函数模型一般用于解决变化较快,短时间 内变化量较大的实际问题中． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√ ◆[小题查验] １．在某个物理实验中,测得变量x和变量y 的几组数 据,如下表: x ０．５０ ０􀆰９９ ２􀆰０１ ３􀆰９８ y －０􀆰９９ －０􀆰０１ ０􀆰９８ ２􀆰００ 则对x,y最适合的拟合函数是 (　　) A．y＝２x B．y＝x２－１ C．y＝２x－２ D．y＝log２x 解析:D　[根据x＝０．５０,y＝－０􀆰９９,代入计算,可以 排除A;根据x＝２．０１,y＝０􀆰９８,代入计算,可以排除 B,C;将各数据代入函数y＝log２x,可知满足题意．] ２．(２０２４􀅰北京卷)生物丰富度指数d＝S－１lnN 是河流 水质的一个评价指标,其中S,N 分别表示河流中 的生物种类数与生物个体总数,生物丰富度指数d 越大,水质越好．如果某河流治理前后的生物种类 数S没有变化,生物个体总数由 N１ 变为 N２,生物 丰富度指数由２．１提高到３．１５,则 (　　) A．３N２＝２N１ B．２N２＝３N１ C．N２２＝N３１ D．N３２＝N２１ 解析:D　[由题意可得 ２．１＝S－１lnN１ , ３．１５＝S－１lnN２ , ì î í ï ï ïï 两式相除得２．１lnN１＝３．１５lnN２, 所 以lnN２．１１ ＝lnN３．１５２ ,即 N２．１１ ＝N３．１５２ ,故 N２１ ＝N３２．] ３．(多选)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量 不得超过０．１％,而这种溶液最初的杂质含量为 ２％,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少 １ ３ ,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参 考数据:lg２≈０􀆰３０１,lg３≈０．４７７) (　　) A．６　　　　B．９　　　　C．８　　　　D．７ 解析:BC　[设经过n次过滤,产品达到市场要求, 则 ２ １００× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ n ≤ １１０００ ,即 ２ ３ æ è ç ö ø ÷ n ≤１２０ , 由nlg２３≤－lg２０ ,即n(lg２－lg３)≤－(１＋lg２),得 n≥ １＋lg２lg３－lg２≈７􀆰４． ] ４．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为 y＝alog３(x＋１),设这种动物第２年有１００只,到 第８年它们发展到　　　　只． 解析:由题意知１００＝alog３(２＋１),∴a＝１００, ∴y＝１００log３(x＋１),∴当x＝８时,y＝１００log３９ ＝２００． 答案:２００ ５．(忽视整体代入致误)把物体放在空气中冷却,如果 物体原来的温度是θ１℃,空气的温度是θ０℃,那么t 分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足等式θ＝θ０＋ (θ１－θ０)e－kt,其中k为常数．现有６２℃的物体放到 ２２℃的空气中冷却２分钟后,物体的温度为４２℃, 再经 过 ４ 分 钟 冷 却,该 物 体 的 温 度 可 以 冷 却 到　　　　． 解析:依题意４２＝２２＋(６２－２２)􀅰e－２k,e－２k＝１２ , 故再经过４分钟冷却,该物体的温度可以冷却到 ２２＋(４２－２２)􀅰e－４k＝２２＋２０􀅰(e－２k)２ ＝２２＋２０×１４＝２７℃． 答案:２７℃ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 　　　　　　　　学生用书　P４３ 　　　用函数图象刻画实际问题 　　　中两变量的变化过程 １．(２０２５􀅰内蒙古赤峰模拟)在下列四个图形中,点P 从点O 出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动 一周,O、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图,那么点P 所走的图形是 (　　 ) 解析:D　[对于A,点P 在第一条边上时,y＝x,但 点P 在第二条边上运动时,y是随x 的增大先减小 (减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长 度),然后再增大,对比图象可知,A错误; 对于B,y 与x 的 函 数 图 形 一 定 不 是 对 称 的,B 错误; 对于C,一开始y与x 的关系不是线性的,C错误; 对于D,因为函数图象对称,所以D选项应为正方 形,不妨设边长为a, 点P 在第一条边上时(即０≤x≤a时),y＝x, 点P 在第二条边上运动时(即a≤x≤２a时), y＝ a２＋(x－a)２,依然单调递增, 点P 在第三条边上运动时(即２a≤x≤３a时), y＝ a２＋(３a－x)２,单调递减, 点P 在第四条边上运动时(即３a≤x≤４a时), y＝４a－x,单调递减, 且已知y与x 的图象关于x＝２a＝l２ (其中l＝４a) 对称,D正确．] ２．(２０２５􀅰武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称 的黑白照片)时,将灰度分为２５６个等级,最暗的黑色 用０表示,最亮的白色用２５５表示,中间的灰度根据其 明暗渐变程度用０至２５５之间对应的数表示,这样可 以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有 些较黑的图象时,为了增强较黑部分的对比度,可对图 象上每个像素的灰度值进行转换,扩展低灰度级,压缩 高灰度级,实现如下图所示的效果: 则下列可以实现该功能的一种函数图象是 (　　) 解析:A　 [根据图片处理过程中图象上每个像素 的灰度值转换的规则可知,相对于原图的灰度值, 处理后的图象上每个像素的灰度值增加,所以图象 在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达 到目的．] ３．(２０２５􀅰湖南衡阳一模)衡东土菜辣美鲜香,享誉三 湘．某衡东土菜馆为实现１００万元年经营利润目 标,拟制定员工的奖励方案:在经营利润超过６万 元的前提下奖励,且奖金y(单位:万元)随经营利 润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超 过３万元,同时奖金不能超过利润的２０％．下列函 数模型中,符合该点要求的是 (　　) (参考数据:１．０１５１００≈４．４３２,lg１１≈１．０４１) A．y＝０．０４x　　　　　　B．y＝１．０１５x－１ C．y＝tan x１９－１ æ è ç ö ø ÷ D．y＝log１１(３x－１０) 解析:D　[对于函数y＝０．０４x,当x＝１００时,y＝４ ＞３,不符合题意; 对于函数y＝１．０１５x－１,当x＝１００时,y＝３．４３２ ＞３,不符合题意; 对于函 数y＝tan x１９－１ æ è ç ö ø ÷,不 满 足 递 增,不 符 合 题意; 对于函数y＝log１１(３x－１０),满足x∈(６,１００]是增 函数,且 y＝log１１(３×１００－１０)＝log１１２９０＜ log１１ ３３１＝３,结合图象,y＝ １ ５x 与y＝log１１(３x－ １０)的图象如图所示,符合题意．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两 种方法 (１)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型 时,先建立函数模型,再结合模型选图象． (２)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根 据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合 图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符 合实际的情况,选择出符合实际情况的答案． 　　　应用所给函数模型解决实际问题 [典例]　(２０２５􀅰西城区模拟)星等分为两种:目视星 等与绝对星等,但它们之间可用公式 M＝m＋５－ ５lg d３．２６ 转换,其中M 为绝对星等,m 为目视星等, d为到地球的距离(单位:光年)．现在地球某处测 得牛郎星目视星等为０．７７,绝对星等为２．１９;织女 星目视星等为０．０３,绝对星等为０．５．则距离地球 更近的星球和它们到地球的距离之比(较远距离与 较近距离之比)分别是(参考数据:１００．１９≈１．５４９, １００．９０６≈８．０５４,１００．７１６≈５．１９９) (　　) A．牛郎星,约１．５ B．织女星,约１．５ C．牛郎星,约２．９ D．织女星,约２．９ [解析]　设牛郎星到地球的距离为d１,织女星到 地球的距离为d２, 所以２．１９＝０．７７＋５－５lg d１ ３．２６ , ０．５＝０．０３＋５－５lg d２ ３．２６ , 即lg d１ ３．２６＝０．７１６ ,lg d２ ３．２６＝０．９０６ , 所以 d１ ３．２６＝１０ ０．７１６≈５．１９９, d２ ３．２６＝１０ ０．９０６≈８．０５４, 所以d２＞d１,所以距离地球更近的星球为牛郎星, 且 d２ d１ ＝ d２ ３．２６ d１ ３．２６ ＝１０ ０．９０６ １００．７１６ ＝１００．１９≈１．５４９．] [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (１)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数． (２)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定 系数． (３)利用该模型求解实际问题． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 　　 解决实际问题时要注意自变量的取值范围． (多选)(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越 受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压 级Lp＝２０×lgpp０ ,其中常数p０(p０＞０)是听觉下限 阈值,p是实际声压．下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 １０ ６０~９０ 混合动力汽车 １０ ５０~６０ 电动汽车 １０ ４０ 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车１０m 处测得实际声压分别为p１,p２,p３,则 (　　) A．p１≥p２　　　　　　B．p２＞１０p３ C．p３＝１００p０ D．p１≤１００p２ 解析:ACD　[∵L１－L２＝２０×lg p１ p０ －２０×lg p２ p０ ＝２０×lg p１ p２ ≥０,∴p１p２ ≥１,∴p１≥p２,所以A正确; ∵L２－L３＝２０×lg p２ p３ ＞１０,∴lg p２ p３ ＞１２ , ∴p２p３ ＞１０ １ ２,所以B错误; ∵L３＝２０×lg p３ p０ ＝４０,∴p３p０ ＝１００,所以C正确; ∵L１－L２＝２０×lg p１ p２ ≤９０－５０＝４０,∴lg p１ p２ ≤２, ∴p１p２ ≤１００,所以D正确．] 　　　构造函数模型解决实际问题 [典例]　(２０２５􀅰上海长宁模拟)甲、乙、丙三辆出租 车２０２３年运营的相关数据如下表: 甲 乙 丙 接单量t(单) ７８３１ ８２２５ ８３３８ 油费s(元) １０７１５０ １１０２６４ １１０３７６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 续表 平均每单 里程k(公里) １５ １５ １５ 平均每公里 油费a(元) ０􀆰７ ０􀆰７ ０􀆰７ 出租车空驶率＝ 出租车没有载客行驶的里程 出租车行驶的总里程 ;依据 上述数据,小明建立了求解三辆车的空驶率的模型 u＝f(s,t,k,a),并求得甲、乙、丙的空驶率分别为 ２３．２６％,２１．６８％,x％,则x＝　　　　　(精确到 ０．０１)． [解析]　依题意,因为出租车行驶的总里程为sa , 出租车有载客时行驶的里程为tk, 所以出租车空驶率u＝ s a－tk s a ＝１－tkas , 对于甲,１－７８３１×１５×０．７１０７１５０ ≈０．２３２６ ＝２３．２６％,满足题意; 对于乙,１－８２２５×１５×０．７１１０２６４ ≈０．２１６８＝２１．６８％,满足题意; 所以上述模型满足要求, 则丙的空驶率为x％＝１－８３３８×１５×０．７１１０３７６ ≈０．２０６８＝２０．６８％,即x＝２０．６８． [答案]　２０．６８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 构建函数模型解决实际问题的步骤 (１)建模:抽象出实际问题的数学模型; (２)推理、演算:对数学模型进行推理或数学运算; (３)解模:求解数学模型,得出结论; (４)还原:将数学问题还原为实际问题． (２０２５􀅰浙江宁波效实中学校考期中)黎曼函数是 一个特殊的函数,是德国著名数学家波恩哈德􀅰黎 曼发现并提出,在数学中有广泛的应用．黎曼函数 定义在[０,１]上,R(x)＝ １ q ,x＝pq (p,q∈N＋,pq 为既约真分数) ０,x＝０或１或(０,１)内的无理数 { ． (１)请用描述法写出满足方程R(x)＝x(x≠０)的解 集;(直接写出答案即可) (２)解不等式R(x)＞１５x＋ １ ５ ; (３)探究是否存在非零实数k,b,使得y＝R(kx＋b) 为偶函数? 若存在,求k,b应满足的条件;若不存 在,请说明理由． 解:(１)依题意,x≠０, 当x＝１时,R(x)＝０,则方程R(x)＝x无解, 当x为(０,１)内的无理数时,R(x)＝０,则方程 R(x)＝x无解, 当x＝pq (p,q∈N＋,pq 为既约真分数)时,则R(x) ＝１q ,q为大于１的正整数,则由方程R(x)＝x,解 得x＝１q ,q为大于１的正整数, 综上,方程R(x)＝x(x≠０)的解集为{x|x＝１q , q为大于１的正整数}． (２)若x＝０或x＝１或x为(０,１)内无理数时, R(x)＝０,而１５x＋ １ ５＞０ ,此时R(x)＜１５x＋ １ ５ , 若x＝pq (p,q∈N＋,pq 为既约真分数),则R(x)＝ １ q ,q为大于１的正整数,由R(x)＞１５x＋ １ ５ ,得１ q ＞１５× p q＋ １ ５ ,解得p＋q＜５,又因为x＝pq (p,q∈ N＋,pq 为既约真分数),所以x＝１２ ,１ ３ ,综上,不等 式R(x)＞１５x＋ １ ５ 的解集为 １ ２ ,１ ３{ }． (３)存在非零实数k＝１,b＝１２ ,使得y＝R(kx＋b) 为偶函数,即y＝R x＋１２ æ è ç ö ø ÷为偶函数,证明如下: 当x＝０或x＝１时,有R(０)＝R(１)＝０成立,满足 R(x)＝R(１－x), 当x为(０,１)内的无理数时,１－x 也为(０,１)内的 无理数,所以R(x)＝R(１－x)＝０,满足 R(x)＝ R(１－x),当x＝pq (p,q∈N＋,pq 为既约真分数), 则１－x＝１－pq ＝ q－p q 为既约真分数,所以R(x) ＝R(１－x)＝１q ,满足R(x)＝R(１－x), 综上,对任意x∈[０,１],都有R(x)＝R(１－x), 所以 R(x)关 于 x＝ １２ 对 称,即 R x＋１２ æ è ç ö ø ÷ ＝ R １２－x æ è ç ö ø ÷,则R x＋１２ æ è ç ö ø ÷为偶函数,所以,存在非零 实数k＝１,b＝１２ ,使得y＝R(kx＋b)为偶函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 高考总复习　数学(BS)