2.7 函数的图象-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第７节　函数的图象 ★[课程标准] １．在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数． ２．会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题． ３．会结合函数性质判断或选择函数的图象． 　　　　　　　　学生用书　P３６ １．利用描点法作函数的图象步骤 (１)确定函数的定义域; (２)化简函数解析式; (３)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称 性等); (４)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值 点、与坐标轴的交点等),描点,连线． ２．利用图象变换法作函数的图象 (１)平移变换 (２)对称变换 ①y＝f(x) 关于x轴对称 →y＝－f(x); ②y＝f(x) 关于y轴对称 →y＝f(－x); ③y＝f(x) 关于原点对称 →y＝－f(－x); ④y＝ax(a＞０且a≠１) 关于y＝x对称 →y＝logax(a ＞０且a≠１)． (３)伸缩变换 ①y＝f(x) a＞１,横坐标缩短为原来的１a 倍,纵坐标不变 ０＜a＜１,横坐标伸长为原来的１a 倍,纵坐标不变 → y＝f(ax)． ②y＝f(x) a＞１,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变 ０＜a＜１,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变→ y＝af(x)． (４)翻转变换 ①y＝f(x) 保留x轴上方图象 将x 轴下方图象翻折上去→y＝|f (x)|． ②y＝f(x) 保留y轴右边图象,并作其 关于y轴对称的图象 →y＝f(|x|)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．函数图象自身的轴对称 (１)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴 对称; (２)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝ f(a－x)⇔f(x)＝f(２a－x)⇔f(－x)＝f(２a＋x); (３)若函数y＝f(x)的定义域为R,且有f(a＋x)＝ f(b－x),则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b２ 对称． ２．函数图象自身的中心对称 (１)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原 点对称; (２)函数y＝f(x)的图象关于(a,０)对称⇔f(a＋x) ＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(２a－x)⇔f(－x)＝ －f(２a＋x); (３)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔ f(a＋x)＝２b－f(a－x)⇔f(x)＝２b－f(２a－x)． ３．两个函数图象之间的对称关系 (１)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝b－a２ 对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程); (２)函数y＝f(x)与y＝f(２a－x)的图象关于直线x ＝a对称; (３)函数y＝f(x)与y＝２b－f(－x)的图象关于点 (０,b)对称; (４)函数y＝f(x)与y＝２b－f(２a－x)的图象关于点 (a,b)对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝２|x|的图象关于直线x＝０对称． (　　) (２)当x∈(０,＋∞)时,函数y＝|f(x)|与y＝ f(|x|)的图象相同． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 高考总复习　数学(BS) (３)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点 对称． (　　) (４)若函数y＝f(x)满足f(１＋x)＝f(１－x),则函 数f(x)的图象关于直线x＝１对称． (　　) (５)将函数y＝f(－x)的图象向右平移１个单位得 到函数y＝f(－x－１)的图象． (　　) 答案:(１)√　(２)×　(３)×　(４)√　(５)× ◆[小题查验] １．(BSD必修第一册P６６思考交流T２ 改编)已知图① 中的图象是函数y＝f(x)的图象,则图②中的图象 对应的函数可能是 (　　) A．y＝f(|x|)　　　　B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|) 解析:C　[因为题图②中的图象是在题图①的基础 上,去掉函数y＝f(x)的图象在y 轴右侧的部分, 然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,所以题 图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．] ２．若函数y＝f(x)的定义域为 R,则函数y＝f(x－ １)与y＝f(１－x)的图象关于 (　　 ) A．直线x＝０对称　　B．直线y＝０对称 C．直线x＝１对称 D．直线y＝１对称 解析:C　[因为函数f(x－１)的图象是f(x)的图 象向右平移１个单位得到的, f(１－x)＝f(－(x－１))的图象是f(－x)的图象 也向右平移１个单位得到的; 又因为f(x)与f(－x)的图象是关于y 轴(直线x ＝０)对称, 所以函数y＝f(x－１)与y＝f(１－x)的图象关于 直线x＝１对称．] ３．(２０２５􀅰杭州市模拟)函数y＝( 　　　 　　　|x|＋ 　　　　 　　|２－x|) sinπx２ 的图象大致是 (　　) 解析:A　[当０＜x＜２时,sinπx２ ＞０ ,所以y＝ f(x)＝( 　　　 　　　|x|＋ 　　　　　 　　　　　|２－x|)sin πx ２ ＞０ ,故排 除 B,C项; 又f(２－x)＝( 　　　　　 　　　　　|２－x|＋ 　　　 　　　|x|)sin π(２－x) ２ ＝ ( 　　　　 　 　　　　　|２－x|＋ 　　　 　　　|x|)sin πx ２＝f (x),所以函数 f(x)的图象关于直线x＝１对称,排除D项．] ４．(忽视复合函数中间变量的范围致 误)已知函数f(x)在R上单调且其 部分图象如图所示,若不等式－２＜ f(x＋t)＜４的解集为(－１,２),则实 数t的值为　　　　． 解析:由题中图象可知不等式－２＜f(x＋t)＜４, 即为f(３)＜f(x＋t)＜f(０),故x＋t∈(０,３), 即不等式的解集为(－t,３－t),依题意可得t＝１． 答案:１ ５．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解,则实数a 的取值范围是　　　　． 解析:由题意a＝|x|＋x, 令y＝|x|＋x＝ ２x,x≥０, ０,x＜０,{ 图象如图所示,故要使a＝|x|＋x 只有一解则a＞０． 答案:(０,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P３８ 　　　作函数的图象 　分别作出下列函数的图象: (１)y＝elnx; (２)y＝|log２(x＋１)|; (３)y＝a|x|(０＜a＜１); (４)y＝２x－１x－１． 解:(１)∵函数的定义域为{x|x＞０}, 且y＝elnx＝x(x＞０), ∴其图象如图(１)所示． (２)将函数y＝log２x的图象向左平移一个单位,再 将x轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到函数 y＝|log２(x＋１)|的图象,如图(２)所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 (３)∵y＝ ax,x≥０ １ a æ è ç ö ø ÷ x ,x＜０ ì î í ïï ï (０＜a＜１), ∴只需作出０＜a＜１时函数y＝ax(x≥０)和y＝ １ a æ è ç ö ø ÷ x (x＜０)的图象,合起来即得函数y＝a|x|(０＜ a＜１)的图象．如图(３)所示． (４)∵y＝２＋ １x－１ , 故函数图象可由y＝１x 的图象向右平移１个单位, 再向上平移２个单位而得,如图(４)所示． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 画函数图象的一般方法 (１)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是 熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征 直接作出． (２)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的 图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变 换作出,但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉 的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸 缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 　　 可先化简函数解析式,再利用图象的变换作图． 　　　　函数图象的识别 ▶[命题点１]　由函数解析式选图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例１](１)(２０２４􀅰全国甲卷(理))函数y＝－x２＋ (ex－e－x)sinx在区间[－２．８,２．８]的图象大致为 (　　) [解析]　令f(x)＝－x２＋(ex－e－x)sinx, 则f(－x)＝－(－x)２＋(e－x－ex)sin(－x) ＝－x２＋(ex－e－x)sinx＝f(x) ∴y＝f(x)为偶函数,排除A,C; f π２ æ è ç ö ø ÷＝－π ２ ４＋e π ２－e－ π ２ ＝e π ２－e－ π ２－π ２ ４＞０ , 故排除D,B正确． [答案]　B (２)(２０２３􀅰天津卷)函数f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝５ (ex－e－x) x２＋２ B．f(x)＝５sinxx２＋１ C．f(x)＝５ (ex＋e－x) x２＋２ D．f(x)＝５cosxx２＋１ [解析]　由图象可知,f(x)图象关于y轴对称,为 偶函 数,故 A、B 错 误;当 x＞０ 时,f(x)＝ ５(ex＋e－x) x２＋２ 恒大于０,与图象不符合,故C错误． [答案]　D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 知式选图的策略 (１)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数 的值域,判断图象的上下位置; (２)从函数的单调性(有时可借助导数判断),判断 图象的变化趋势; (３)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (４)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (５)从函数的特征点(与坐标轴的交点、经过的定 点、极值点等),排除不合要求的图象． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 注意联系基本函数图象的模型,当选项无法排除 时,代特殊值,或从某些量上寻找突破口． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 高考总复习　数学(BS) １．(２０２５􀅰浙江模拟)函数f(x)＝sinx＋ ２１＋２x 的图 象可能是 (　　) 解析:D　[因为f(x)＝sinx＋ ２１＋２x 的定义域为R, 又因为f(－x)＝sin(－x)＋ ２１＋２－x ＝－sinx＋２ 􀅰２x ２x＋１ ≠－f(x),所以f(x)不是奇函数,排除A,B项． f ３π２ æ è ç ö ø ÷＝sin３π２ æ è ç ö ø ÷＋ ２ １＋２ ３π ２ ＝－１＋ ２ １＋２ ３π ２ ＜０,所以 排除C项．] ２．(２０２５􀅰宁夏固原一模)已知函数f(x)的部分图象 如图所示,则f(x)的解析式可能为 (　　 ) A．f(x)＝e x－e－x ４|x|－３　　　B．f (x)＝e x－e－x ３－４|x| C．f(x)＝e x＋e－x ４|x|－３ D．f (x)＝ x|x|－１ 解析:A　[对于B,当x＞１时,f(x)＝e x－e－x ３－４x ,易 知ex－e－x＞０,３－４x＜０, 则f(x)＜０,不满足图象,故B错误; 对于C,f(x)＝e x＋e－x ４|x|－３ ,定义域为 －∞,－３４ æ è ç ö ø ÷∪ －３４ ,３ ４ æ è ç ö ø ÷∪ ３４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷, 又因为f(－x)＝ e －x＋ex ４|－x|－３＝ ex＋e－x ４|x|－３＝f (x), 则f(x)的图象关于y轴对称,故C错误; 对于D,当x＞１时,f(x)＝ x|x|－１＝ x x－１ ＝１＋ １x－１ , 由反比例函数的性质可知,f(x)在(１,＋∞)上单 调递减,故D错误; 检验选项A,f(x)＝e x－e－x ４|x|－３ 满足图中性质,故 A 正确．] ▶[命题点２]　用函数的变化趋势及特殊值选图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例２]　如图,正△ABC 的中 心位于点G(０,１),A(０,２),动 点P 从A 点出发沿△ABC 的 边界按逆时针方向运动,设旋 转的角度∠AGP＝x(０≤x≤ ２π),向量OP → 在a＝(１,０)方向的射影为y(O 为坐 标原点),则y关于x 的函数y＝f(x)的图象是 (　　) [解析]　设 BC 边与y 轴交 点为点M,由已知可得GM＝ ０．５,因而可得 AM＝１．５,由 此正三角形的边长为 ３,连接 BG,可得tan∠BGM＝ ３ ２ １ ２ ＝ ３,即∠BGM＝π３ ,则∠BGA＝２３π ,由图可知当x ＝２３π 时,射影y取到最小值,其大小为－ ３２ ,由此 可排除A,B选项;又当点 P 从点B 向点 M 运动 时,x变化相同的值,此时射影长的变化变小,即图 象趋于平缓,由此可排除D． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．解决动点的函数问题思路:采用“以静观动”,即将 动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征, 从而作出选择． ２．知式选图的解题思路:根据解析式结合所给图 象,灵活运用特殊值及函数的变化趋势排除错误 的选项,快速选择． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 ３．如图,圆O 的半径为１,A 是圆上 的定点,P 是圆上的动点,角x 的 始边为射线OA,终边为射线OP, 过点P 作直线OA 的垂线,垂足 为M,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数 f(x),则y＝f(x)在[０,π]上的图象大致为 (　　) 解析:C　[解法一:由题图:当x＝π２ 时,OP⊥OA,此 时f(x)＝０,排除A,D选项;选项当x∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷时,OM ＝cosx,设点 M 到直线OP 的距离为d,则 dOM ＝ sinx,即d＝OMsinx＝sinxcosx,∴f(x)＝sinx cosx＝１２sin２x≤ １ ２ ,排除B选项． 解法二:如 图 所 示,过 点 M 作OP 的 垂 线,垂 足 为D． 当x＝π２ 时,MD＝０,排除 A,D选项,当x＝π４ 或 x＝３π４ 时,MD取得最大值为１２ ,排除B选项．] 　　　　函数图象的应用 ▶[命题点１]　研究函数的零点或方程解的个数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰 广 东 江 门 模 拟)设 函 数 f (x)＝ ex,x≤０, |lnx|,x＞０,{ 若f(x)－k＝０有三个不同的实数 根,则实数k的取值范围是 (　　 ) A．(０,１) B．(０,＋∞) C．(０,１] D．[０,＋∞) 解析:C　[当x≤０时,函数y＝ex 单调递增,函数 值集合为(０,１], 当０＜x≤１时,函数y＝－lnx 单调递减,函数值 集合为[０,＋∞), 当x≥１时,函数y＝lnx单调递增,函数值集合为 [０,＋∞), 作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝k,如图, 观察图象知,当０＜k≤１时,函数y＝f(x)的图象 与直线y＝k有３个交点, 所以f(x)－k＝０有三个不同的实数根,实数k的 取值范围是(０,１]．] ▶[命题点２]　求不等式的解集或判断不等式是否 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 成立 􀪋􀪋 ２．(２０２５􀅰河北模拟)已知函数f(x)＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ x ,x≥１, log４(x＋１),－１＜x＜１, ì î í ïï ï 则f(x)≤１２x 的解集为 (　　) A．(－∞,０] B．(－１,０] C．(－１,０]∪[１,＋∞) D．[１,＋∞) 解析:C　[作出函数 y＝f(x)与y＝１２x 的图象,如图, 当x≥１时,１２ æ è ç ö ø ÷ x ≤ １ ２x ,作出函数y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x 与y＝１２x 的图象, 由图象可知,此时解得x∈[１,＋∞); 当－１＜x＜１时,log４(x＋１)≤ １ ２x ,作出函数y＝ log４(x＋１)与y＝ １ ２x 的图象, 它们的交点坐标为(０,０)、１,１２ æ è ç ö ø ÷,结合图象知此 时x∈(－１,０]． 所以不等式f(x)≤１２x 的解集为(－１,０]∪[１,＋∞)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 高考总复习　数学(BS) ３．(多选)(２０２５􀅰山东模拟)已知直线y＝－x＋２分 别与函数y＝ex 和y＝lnx 的图象交于点A(x１, y１),B(x２,y２)则下列结论正确的是 (　　) A．x１＋x２＝２ B．ex１＋ex２＞２e C．x１lnx２＋x２lnx１＜０ D．x１x２＞ e ２ 解析:ABC　[函数y＝ex 与y＝lnx 互为反函数, 则y＝ex 与y＝lnx的图象关于y＝x对称． 将y＝－x＋２与y＝x联立,则x＝１,y＝１． 由直线y＝－x＋２分别与函数y＝ex 和y＝lnx 的图象交于点A(x１,y１),B(x２,y２), 作出函数图象,则A(x１,y１),B(x２,y２)的中点坐标 为(１,１)． 对于A,由 x１＋x２ ２ ＝１ ,解得x１＋x２＝２,故A正确; 对于B,ex１＋ex２≥２ ex１􀅰ex２ ＝２ ex１＋x２ ＝２ e２ ＝２e,因为x１≠x２,即等号不成立,所以ex１＋ex２＞ ２e,故B正确; 对于C,将y＝－x＋２与y＝ex 联立可得－x＋２ ＝ex,即ex＋x－２＝０． 设f(x)＝ex＋x－２,且函数为单调递增函数, ∵f(０)＝１＋０－２＝－１＜０,f １２ æ è ç ö ø ÷＝e １ ２＋１２－２ ＝e １ ２－３２＞０ , 故函数的零点在 ０,１２ æ è ç ö ø ÷上,即０＜x１＜ １ ２ , 由x１＋x２＝２,则１＜x２＜２,∴ １ x１ ＞x２, x１lnx２＋x２lnx１＝x１lnx２－x２ln １ x１ ＜x１lnx２－x２lnx２＝(x１－x２)lnx２＜０,故 C 正确; 对于D,由x１＋x２≥２ x１x２,解得x１x２≤１, 由于x１≠x２,则x１x２＜１,故D错误．] ▶[命题点３]　求参数的取值或范围 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．(２０２５􀅰泰州中学期初考试)已知函数f(x)＝ x x－１ ,x≤０, lnx x ,x＞０, ì î í ï ï ï ï 若关于x 的方程f(x)＝x＋a无实 根,则实数a的取值范围为 (　　) A．(－∞０)∪ １e ,１æ è ç ö ø ÷ B．(－１,０) C．０,１e æ è ç ö ø ÷ D．(０,１) 解析:B　[因为函数f(x)＝ x x－１ ,x≤０, lnx x ,x＞０, ì î í ï ï ï ï 关于x的方程f(x)＝x＋a无实根等价于函数y＝ f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点, 设直线y＝x＋a 与f(x)＝lnxx (x＞０)的切点为 P(x０,y０),由f′(x)＝ １－lnx x２ ,由已知有:１－lnx０ x２０ ＝１,解得x０＝１,则P(１,０),则切线方程为:y＝x －１,由图知:函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a 无交点时实数a 的取值范围为－１＜a＜０．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意 其对应关系,如:图象的左右范围对应定义域, 上下范围对应值域,上升、下降趋势对应单调 性,对称性对应奇偶性． (２)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数 的值(范围):构造函数,转化为两函数图象的交 点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数 的图象,数形结合求解． (３)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法 求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等 式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从 而利用数形结合求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数