2.5 指数与指数函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第５节　指数与指数函数 ★[课程标准] １．了解指数函数模型的实际背景． ２．理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算性质． ３．理解指数函数的概念,会画指数函数的图象． ４．理解指数函数的性质,并能简单应用． 　　　　　　　　学生用书　P３１ １．指数幂的拓展 (１)正分数指数幂:给定正数a和正整数m,n(n＞１, 且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn＝am, 则称b为a 的mn 次幂,记作b＝a m n,这就是正分数 指数幂． 当k为正整数时,分数指数幂a m n 满足:a m n ＝a km kn ． 有时,也把a m n 写成 n am的形式． (２)负分数指数幂:给定正数a和正整数m,n(n＞１, 且m,n互素), 定义:a－ m n ＝１ a m n ＝ １n am ． ２．有理指数幂的运算性质:aras＝ar＋s;(ar)s＝ars; (ab)r＝arbr,其中a＞０,b＞０,r,s∈Q． (１)无理指数幂 一般地,给定正数a,对于任意的无理数α,规定: a－α＝１ aα ． (２)指数幂的运算性质 条件 指数幂的运算性质 a＞０,b＞０, α,β为实数 aα􀅰aβ＝aα＋β (aα)β＝aαβ (ab)α＝aα􀅰bα ３．指数函数及其性质 (１)概念:形如y＝ax(a＞０且a≠１)的函数叫做指数 函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a 是底数． (２)指数函数值大小比较 函数y＝ax 和y＝bx a＞b＞１ ０＜a＜b＜１ ①当x＜０时,０＜ax ＜bx ＜１ ① 当 x＜０时,ax＞bx ＞１ 续表 ②当x＝０时,ax＝bx＝１ ② 当 x＝０时,ax ＝bx ＝１ ③当x＞０时,ax＞bx＞１ ③当x＞０时,０＜ax＜ bx＜１ (３)指数函数的图象和性质 a＞１ ０＜a＜１ 图 象 性 质 (１)定义域:R (２)值域:(０,＋∞) (３)过定点(０,１),即x＝０时,y＝１ (４)当x＜０时,０＜y ＜１;当x＞０时,y＞１ (４)当x＜０时,y＞１;当 x＞０时,０＜y＜１ (５)在R上是增函数 当x值趋近于正无穷 大时,函数值趋近于正 无穷大; 当x值趋近于负无穷 大时,函数值趋近于０ (５)在R上是减函数 当x 值趋近于正无穷大 时,函数值趋近于０; 当x 值趋近于负无穷大 时,函 数 值 趋 近 于 正 无 穷大 对 称 性 函数y＝ax 与y＝ １a æ è ç ö ø ÷ x (a＞０,且a≠１)的图象 关于y轴对称,且它们在R上单调性相反 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．( n a)n＝a(n∈N＋)． ２． n an＝ a,n为奇数, |a|＝ a,a≥０, －a,a＜０,{ ì î í ï ï ïï n为偶数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋３．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(１)y＝ax,(２)y＝bx,(３)y＝cx, (４)y＝dx 的图象,底数a,b,c,d 与１之间的大小关 系为c＞d＞１＞a＞b． 规律:在y 轴右(左)侧图象越高(低),其底数 越大． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１) n an与( n a)n 都等于a(n∈N＋)． (　　) (２)２a􀅰２b＝２ab． (　　) (３)函数y＝３􀅰２x 与y＝２x＋１都不是指数函数．(　　) (４)函数y＝ax ２＋１(a＞１)的值域是(０,＋∞)． (　　) (５)函数y＝２－x在R上为单调减函数． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√　(４)×　(５)√ ◆[小题查验] １．(BSD必修第一册P７８例３改编)设a＞０,m,n是正 整数,且n＞１,则下列各式中不正确的是 (　　) A．a ４ ３a ３ ４＝a B．(a １ ４)４＝a C．a m n ＝ n am D．a－ m n ＝ １n am 答案:A ２．(多选)已知指数函数f(x)＝a－x(a＞０,且a≠１),且 f(－２)＞f(－３),则a的可能取值为 (　　) A．１２　　　　B．２　　　　C． ３ ５　　　　D．４ 解析:AC　[由指数函数f(x)＝a－x＝ １a æ è ç ö ø ÷ x (a＞ ０,且a≠１),且f(－２)＞f(－３), 根据指数函数单调性可知１ a＞１ ,所以０＜a＜１．] ３．已知０＜m＜n＜１,则指数函数①y＝mx,②y＝nx 的图象为 (　　) 解析:C　[由０＜m＜n＜１,∴y＝mx,y＝nx 在 R 上单调递减,所以排除AB选项;令x＝１,m＜n,C 项正确．] ４．已知a＝ ３５ æ è ç ö ø ÷ －１３ ,b＝ ３５ æ è ç ö ø ÷ －１４ ,c＝ ３２ æ è ç ö ø ÷ －３４ ,则a,b, c的大小关系是　　　　． 解析:∵y＝ ３５ æ è ç ö ø ÷ x 是减函数, ∴ ３５ æ è ç ö ø ÷ －１３ ＞ ３５ æ è ç ö ø ÷ －１４ ＞ ３５ æ è ç ö ø ÷ ０ ,即a＞b＞１, 又c＝ ３２ æ è ç ö ø ÷ －３４ ＜ ３２ æ è ç ö ø ÷ ０ ＝１,∴c＜b＜a． 答案:c＜b＜a ５．(忽 视 开 偶 次 方 规 则 致 误)计 算 ３ (１＋ ２)３ ＋ ４ (１－ ２)４＝　　　　． 解析: ３ (１＋ ２)３＋ ４ (１－ ２)４＝１＋ ２＋|１－ ２| ＝１＋ ２＋ ２－１＝２ ２． 答案:２ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P３２ 　　　 根式与有理数指数幂的运算(基础点) １．化简４a ２ ３􀅰b－ １ ３÷ －２３a －１３b ２ ３æ è ç ö ø ÷的结果为 (　　) A．－２a３b　 B．－ ８a b　 C．－ ６a b　 D．－６ab 解析:C　[原式＝－６a ２ ３＋ １ ３b－ １ ３－ ２ ３＝－６ab－１ ＝－６ab ． ] ２．(２０２５􀅰青岛市高三月考)化简: a ４ ３－８a １ ３b ４b ２ ３＋２ ３ ab＋a ２ ３ ÷ a－ ２ ３－２ ３ b a æ è ç ö ø ÷× a 􀅰 ３a２ ５ a􀅰 ３ a ＝　　　　(a＞０)． 解析:原式＝ a １ ３[(a １ ３)３－(２b １ ３)３] (a １ ３)２＋a １ ３􀅰(２b １ ３)＋(２b １ ３)２ ÷a １ ３－２b １ ３ a × (a􀅰a ２ ３) １ ２ (a １ ２􀅰a １ ３) １ ５ ＝a １ ３(a １ ３－２b １ ３)× a a １ ３－２b １ ３ ×a ５ ６ a １ ６ ＝a２． 答案:a２ ３．已知１４a＝７b＝４c＝２,则１a－ １ b＋ １ c＝　　　　． 解析:由题设可得２ １ a ＝１４,２ １ b ＝７,２ １ c ＝４,则２ １ a－ １ b ＝１４７＝２ ,∴２ １ a－ １ b＋ １ c ＝２×４＝２３, ∴１a－ １ b＋ １ c＝３． 答案:３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 指数幂运算的一般原则 (１)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算． (２)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数． (３)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成 分数;底数是带分数的,先化成假分数． (４)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形 式表示,运用指数幂的运算性质来解答． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既 有分母又含有负指数． 　　　　指数函数的图象及应用 [典例]　(１)(２０２５􀅰河南林州一中月考)函数f(x) ＝ １２ æ è ç ö ø ÷ |x＋１| 的图象大致为 (　　) [解析]　作出函数y＝ １２|x| ＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ x ,x≥０, ２x,x＜０{ 的图 象,如图所示, 将y＝ １２|x| 的图象向左平移１个单位得到f(x)＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ |x＋１| 的图象． [答案]　B (２)当x＞２时,函数y＝４ax－１(a＞０,且a≠１)的图 象恒在函数y＝３x－４的图象下方,则a的取值范 围为　　　　　　． [解析]　由题意,得当x＞２时,不等式４ax－１＜３x －４恒成立,即ax－１＜３４x－１ , 令f(x)＝ax－１,g(x)＝３４x－１ ,在同一平面直角坐 标系中作出两个函数的图象, 当a＞１时,如图所示, 由图可知,∀x∈R,ax－１＞３４x－１ 恒成立,故不满 足题意; 当０＜a＜１时,如图所示, 由图可知,要∀x＞２,ax－１＜３４x－１ 恒成立,需 f(２)≤g(２),即a２－１≤３４×２－１ ,解得a≤１２ , 故０＜a≤１２ ,综上可知,a的取值范围是 ０,１２ æ è ç ]． [答案]　 ０,１２ æ è ç ] (３)(２０２５􀅰衡水市模拟)若曲线|y|＝２x＋１与直 线y＝b没有公共点,则b的取值范围是　　　　． [解析]　曲线|y|＝２x＋１与 直线y＝b 的图象如图所示, 由图象可得如果|y|＝２x＋１ 与直线y＝b没有公共点,则b 应满足的条件是b∈[－１,１]． [答案]　[－１,１] ◉[互动探究] １．若将本例(３)中“|y|＝２x＋１”改为“y＝|２x－１|”, 且与直线y＝b有两个公共点,则b的取值范围是 　　　　． 解析:曲线y＝|２x－１|与直线y ＝b 的 图 象 如 图 所 示,由 图 象 可 得,如果曲线y＝|２x－１|与直线 y＝b有两个公共点,则b的取值 范围是(０,１)． 答案:(０,１) ２．若将本例(３)改为:函数y＝|２x－１|在(－∞,k]上 单调递减,则k的取值范围是　　　　． 解析:因 为 函 数y＝|２x －１|的 单 调 递 减 区 间 为 (－∞,０],所以k≤０,即k的取值范围为(－∞,０]． 答案:(－∞,０] ３．若将本例(３)改为:直线y＝２a与函数y＝|ax－１| (a＞０且a≠１)的图象有两个公共点,则a的取值 范围是　　　． 解析:y＝|ax－１|的图象是由y＝ax 先向下平移１个 单位,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的． 当a＞１时,两图象只有一个交点,不合题意,如图①; 当０＜a＜１时,要使两个图象有两个交点,则０＜ ２a＜１,得到０＜a＜１２ ,如图②． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 综上,a的取值范围是 ０,１２ æ è ç ö ø ÷． 答案:０,１２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 (１)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最 值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指 数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图 象,然后数形结合使问题得解． (２)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用 相应指数型函数图象数形结合求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以 及指数型函数的性质,要注意画出图象的准确性, 否则数形结合得到的可能为错误结论． １．(２０２５􀅰全国模拟)函数f(x)＝|２x－１|－m 恰有 一个零点,则m 的取值范围是 (　　) A．(１,＋∞) B．{０}∪(１,＋∞) C．{０}∪[１,＋∞) D．[１,＋∞) 解析:C　[由题设,y＝|２x－１|与y＝m 只有一个 交点,又y＝|２x－１|的图象如下: ∴m∈{０}∪[１,＋∞)．] ２．(２０２５􀅰 山 东 潍 坊 二 模)已 知 函 数 f(x)＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ x ,x≥０, －|x２＋２x|,x＜０, { 则f(x)图象上关于原点对称 的点有 (　　 ) A．１对　　　B．２对　　　C．３对　　　D．４对 解析:C　[作 出 f(x)的 图 象,再 作 出 函 数y＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ x ,x≥０,关于原点对称的图象如图所示． 因为函数y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x ,x≥０,关于原点对称的图象与 y＝－|x２＋２x|,x＜０,图象有三个交点,故f(x) 图象上关于原点对称的点有３对．] 　　　　指数函数的性质及应用 ▶[命题点１]　比较指数式的大小 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰海南统考)下列大小关系不正确的是 (　　) A．(－２．５) ４ ５＞(－２．５) ２ ３　　B．２５ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＜(０．４)－ ３ ２ C．１３ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＜ ３２ æ è ç ö ø ÷ －１２ D．２．５１．６＞２－０．２ 解析:C　[A选项,(－２．５) ４ ５＝(２．５) ４ ５,(－２．５) ２ ３ ＝(２．５) ２ ３．因为２．５＞１,４５＞ ２ ３ ,又因为指数函数y ＝２．５x 在R上单调递增,所以(２．５) ４ ５＞(２．５) ２ ３,即 (－２．５) ４ ５＞(－２．５) ２ ３,故A正确;B选项,(０．４)－ ３ ２ ＝ ２５ æ è ç ö ø ÷ －３２ ,因为０＜２５＜１ ,－１２＞－ ３ ２ ;又因为指 数函数y＝ ２５ æ è ç ö ø ÷ x 在R上单调递减,所以 ２５ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＜ (０．４)－ ３ ２,故 B正 确;C 选 项,因 为 １３ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＞１, ３ ２ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＜１,所以 １３ æ è ç ö ø ÷ －１２ ＞ ３２ æ è ç ö ø ÷ －１２ ,故C错误;D 选项,因为２．５１．６＞１,２－０．２＜１,所以２．５１．６＞２－０．２． 故D正确．] ▶[命题点２]　简单的指数方程或不等式的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(２０２５􀅰全国模拟)已知函数f(x)是定义在R上的 奇函数,当x≥０时,f(x)＝４x－３×２x＋２a．则关于 x的不等式f(x)≤－６的解集为 (　　) A．(－∞,－２] B．(－∞,－１] C．[－２,０)∪(０,２) D．[－２,０)∪(２,＋∞) 解析:A　[因函数f(x)是定义在 R上的奇函数, 且当x≥０时,f(x)＝４x－３×２x＋２a, 则f(０)＝４０－３×２０＋２a＝２a－２＝０,解得a＝１, 即当x≥０时,f(x)＝４x－３×２x＋２, 当x＜０时,－x＞０,则f(x)＝－f(－x) ＝－(４－x－３×２－x＋２), 而当x≥０时,f(x)＝ ２x－３２ æ è ç ö ø ÷ ２ －１４≥－ １ ４ ,则当 f(x)≤－６时, x＜０, －(４－x－３×２－x＋２)≤－６,{ 即 x＜０, (２－x－４)(２－x＋１)≥０,{ 变形得 x＜０, ２－x≥４,{ 解得x≤－２, 所以不等式f(x)≤－６的解集为(－∞,－２]．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 高考总复习　数学(BS) ▶[命题点３]　探究指数型函数的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．(１)已知实数a≠１,函数f(x)＝ ４x,x≥０, ２a－x,x＜０．{ 若f(１－a)＝２,则a的值为　　　　． (２)设函数f(x)＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ x －７,x＜０, x,x≥０, { 若f(a)＜１, 则实数a的取值范围是　　　　． 解析:(１)当a＜１时,４１－a＝２,解得a＝１２ ;当a＞１ 时,代入不成立．故a的值为１２． (２)若a＜０,则f(a)＜１⇔ １２ æ è ç ö ø ÷ a －７＜１⇔ １２ æ è ç ö ø ÷ a ＜８,解得a＞－３,故－３＜a＜０; 若a≥０,则f(a)＜１⇔a＜１,解得a＜１,故０≤a＜１． 综上可得,－３＜a＜１． 答案:(１)１２　 (２)(－３,１) ４．已知函数f(x)＝ １３ æ è ç ö ø ÷ ax２－４x＋３ ． (１)若a＝－１,求f(x)的单调区间; (２)若f(x)有最大值３,求a的值; (３)若f(x)的值域是(０,＋∞),求a的值． 解:(１)当a＝－１时,f(x)＝ １３ æ è ç ö ø ÷ －x２－４x＋３ , 令g(x)＝－x２－４x＋３, 由于g(x)在(－∞,－２)上 单 调 递 增,在(－２, ＋∞)上单调递减,而y＝ １３ æ è ç ö ø ÷ t 在R上单调递减, 所以f(x)在(－∞,－２)上 单 调 递 减,在(－２, ＋∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是 (－２,＋∞),单调递减区间是(－∞,－２)． (２)令g(x)＝ax２－４x＋３,f(x)＝ １３ æ è ç ö ø ÷ g(x) , 由于f(x)有最大值３,所以g(x)应有最小值－１, 因此必有 a＞０, ３a－４ a ＝－１ ,{ 解得a＝１,即当f(x)有最大值３时,a的值等于１． (３)由指数函数的性质知, 要使y＝ １３ æ è ç ö ø ÷ g(x) 的值域为(０,＋∞), 应使g(x)＝ax２－４x＋３的值域为R, 因此只能a＝０．(因为若a≠０,则g(x)为二次函 数,其值域不可能为R)．故a的值为０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　指数函数的性质及应用问题解题策略 (１)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中 间值(０或１)法． (２)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此 类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意 底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (３)解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的 概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期 性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对 底数的分类讨论． １．已知a＝ ２３ æ è ç ö ø ÷ １ ２ ,b＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ３ ,c＝２a＋b－１,则 (　　 ) A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c 解析:C　[a６＝ ２３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝８２７ ,b６＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ４ ＝１１６ , 因为０＜１１６＜ ８ ２７＜１ ,故a６＞b６,即a＞b, 故０＜b＜a＜１． 因为a＋b－１＞２b－１＝２× １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ３ －１＝２ １ ３－１＞０, 所以c＝２a＋b－１＞２０＝１,所以c＞a＞b．] ２．已知f(x)＝ ４x－２x＋２＋m,x≤０, x＋１x ,x＞０{ 的最小值为２, 则m 的取值范围为　　　　． 解析:当x＞０时,x＋１x≥２ x 􀅰１ x＝２ ,当且仅当 x＝１x ,即x＝１时取“＝”, 当x≤０时,０＜２x≤１,４x－２x＋２＋m＝(２x－２)２＋m －４,当２x＝１,即x＝０时,４x－２x＋２＋m 取最小值 m－３, 因f(x)＝ ４x－２x＋２＋m,x≤０, x＋１x ,x＞０ æ è ç ç 的最小值为２,于 是得m－３≥２,解得m≥５, 所以m 的取值范围为[５,＋∞)． 答案:[５,＋∞) ３．求 函 数 y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ２x －８ １２ æ è ç ö ø ÷ x ＋１７ 的 单 调 区 间　　　　　　　　． 解析:设t＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x ＞０,又y＝t２－８t＋１７＝(t－４)２ ＋１在(０,４]上单调递减,在(４,＋∞)上单调递增． 令 １ ２ æ è ç ö ø ÷ x ≤４,得x≥－２,令 １２ æ è ç ö ø ÷ x ＞４,得x＜－２． 而函数t＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x 在 R上单调递减,所以函数y＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２x －８􀅰 １２ æ è ç ö ø ÷ x ＋１７的增区间为[－２,＋∞), 减区间为(－∞,－２)． 答案:增区间为[－２,＋∞),减区间为(－∞,－２) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数