2.3 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

２．(２０２５􀅰陕西模拟)已知f(x)＝ ２x－１(x＞１), lnx(０＜x≤１),{ 则不 等式f(３x－１)＜f(２x＋１)的解集为 (　　) A．(０,２) B．０,１３ æ è ç ö ø ÷ C．１３ ,２æ è ç ö ø ÷ D．(２,＋∞) 解析:C　[∵f(x)＝ ２x－１(x＞１), lnx(０＜x≤１),{ 当０＜x≤１ 时,f(x)＝lnx≤０,且单调递增;当x＞１时,f(x) ＝２x －１＞１,且 单 调 递 增,所 以 f(x)＝ ２x－１(x＞１), lnx(０＜x≤１){ 在(０,＋∞)上 单 调 递 增,不 等 式 f(３x－１)＜f(２x＋１)等价于０＜３x－１＜２x＋１, 解得１ ３＜x＜２． ] ３．(２０２５􀅰广东佛山二模)已知０＜a＜１且a≠１２ ,若 函数f(x)＝２logax－log２ax 在(０,＋∞)上单调递 减,则实数a的取值范围为 (　　 ) A．１４ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷　　　　　　　B．０,１４ æ è ç ö ø ÷ C．１４ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷∪ １２ ,１æ è ç ö ø ÷ D．０,１４ æ è ç ö ø ÷∪ １２ ,１æ è ç ö ø ÷ 解析:D　 [依 题 意,f(x)＝２lnxlna － lnx ln２a＝ ２ln２a－lna lna􀅰(ln２a) 􀅰lnx＝ ln４alna􀅰(ln２a) 􀅰lnx, 显然函数y＝lnx在(０,＋∞)上单调递增,而函数 f(x)在(０,＋∞)上单调递减, 因此 ln４a lna􀅰(ln２a)＜０ ,而０＜a＜２a＜４a, 则ln４a＜０或 lna＜０, ln２a＞０,{ 解得０＜a＜ １ ４ 或１ ２＜a＜１ , 所以实数a的取值范围为 ０,１４ æ è ç ö ø ÷∪ １２ ,１æ è ç ö ø ÷．] ４．如果函数f(x)＝ (２－a)x＋１,x＜１, ax,x≥１,{ 满足对任意 x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０成立,那么实数a 的取值范围是　　　　． 解析:因为对任意x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０, 所以y＝f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数． 所以 ２－a＞０, a＞１, (２－a)×１＋１≤a, ì î í ïï ï 解得３ ２≤a＜２． 故实数a的取值范围是 ３２ ,２[ öø÷． 答案:３ ２ ,２[ öø÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　函数的奇偶性与周期性 ★[课程标准] １．结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义．２．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．３．结合 三角函数,了解函数周期性的概念和几何意义．４．会运用函数的图象理解和研究函数的周期性． 　　　　　　　　学生用书　P２３ １．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地,设函数f(x)的定 义域是 A,如果对任意的 x∈A,有－x∈A,且f(－x) ＝－f(x),那么称函数f(x) 为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地,设函数f(x)的定 义域是 A,如果对任意的 x∈A,有－x∈A,且f(－x) ＝f(x),那么称函数f(x)为 偶函数． 关于y轴对称 当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇 偶性．奇函数和偶函数的定义域关于原点对称． ２．函数的周期性 (１)周期函数:一般地,对于函数y＝f(x),x∈D,如果存 在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x＋T ∈D,且满足f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)称 作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期． (２)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．函数奇偶性的四个重要结论 (１)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(０) 有意义,那么一定有f(０)＝０． (２)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|)． (３)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的 单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具 有相反的单调性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(４)奇、偶函数的性质:在公共定义域内,奇函数􀅰奇 函数＝偶函数,奇函数＋奇函数＝奇函数,偶函 数􀅰偶函数＝偶函数,偶函数＋偶函数＝偶函数, 奇函数􀅰偶函数＝奇函数． ２．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有:(如 下a＞０): (１)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝２a; (２)若f(x＋a)＝ １f(x) ,则T＝２a; (３)若f(x＋a)＝－ １f(x) ,则T＝２a． ３．函数对称性的三个常用结论 (１)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,即f(a－x)＝f(a＋x), 则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称; (２)若对于R上的任意x 都有f(２a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(２a＋x),则y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称; (３)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,即f(－x＋b)＋ f(x＋b)＝０,则函数y＝f(x)关于点(b,０)中心对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝x２,x∈(０,＋∞)是偶函数． (　　) (２)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定 过原点． (　　) (３)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数, 则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√ ◆[小题查验] １．下列函数为偶函数的是 (　　) A．f(x)＝x－１　　　　　B．f(x)＝x２＋x C．f(x)＝２x－２－x D．f(x)＝２x＋２－x 解析:D　[∵f(－x)＝２－x＋２x＝f(x),∴f(x)＝ ２x＋２－x是偶函数．] ２．设f(x)为奇函数,且当x≥０时,f(x)＝e－x－１,则 当x＜０时,f(x)＝ (　　) A．e－x－１ B．e－x＋１ C．－e－x－１ D．－ex＋１ 解析:D　[设x＜０,则－x＞０,因为函数f(x)为奇 函数,且当x≥０时,f(x)＝e－x－１,可得f(x)＝ －f(－x)＝－(ex－１)＝－ex＋１．] ３．设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x＋３)＝ － １f(x) ,且当x∈[－３,－２]时,f(x)＝４x,则 f(１０７．５)＝ (　　) A．１０　　　B．１１０　　　C．－１０　　　D．－ １ １０ 解析:B　[因为f(x＋３)＝－ １f(x) ,故有f(x＋６) ＝－ １f(x＋３)＝－ １ － １f(x) ＝f(x), 所以函数f(x)是以６为周期的函数． 所以f(１０７．５)＝f(６×１７＋５．５)＝f(５．５)＝ － １f(２．５)＝－ １ f(－２．５)＝－ １ ４×(－２．５)＝ １ １０． ] ４．(忽视定义域的对称性致误)函数f(x)＝(x＋１) x－１ x＋１ 是　　　　函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)． 解析:f(x)的定义域为(－∞,－１)∪[１,＋∞)不 关于原点对称．故f(x)为非奇非偶函数． 答案:非奇非偶 ５．已知函数f(x)满足f(x＋３)＝f(x)．当x∈[０,２] 时,f(x)＝x２＋４,则f(２０２４)＝　　　　． 解析:因为f(x＋３)＝f(x),所以f(x)是以３为周 期的周期函数,所以f(２０２４)＝f(６７４×３＋２)＝ f(２)＝２２＋４＝８． 答案:８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P２４ 　　　判断函数的奇偶性 １．(２０２４􀅰天津卷)下列函数是偶函数的是 (　　) A．f(x)＝e x－x２ x２＋１ 　　　B．f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ C．f(x)＝e x－x x＋１ D．f (x)＝sinx＋４x e|x| 解析:B　[对A,设f(x)＝e x－x２ x２＋１ ,函数定义域为 R,但f(－１)＝e －１－１ ２ ,f(１)＝e－１２ ,则f(－１)≠ f(１),故A错误;对B,设f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ ,函数 定义域 为 R,且 f(－x)＝cos (－x)＋(－x)２ (－x)２＋１ ＝ cosx＋x２ x２＋１ ＝f(x),则f(x)为偶函数,故B正确;对 C,设f(x)＝e x－x x＋１ ,函数定义域为{x|x≠－１},不 关于原点对称,则f(x)不是偶函数,故C错误;对 D,设f(x)＝sinx＋４xe|x| ,函数定义域为R,因为 f(－x)＝sin (－x)＋４(－x) e|－x| ＝ －sinx＋４x ex ＝ －f(x),则f(x)为奇函数,f(x)不是偶函数,故D 错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝ ３－x２＋ x２－３; (２)f(x)＝lg (１－x２) |x－２|－２ ; (３)f(x)＝ x２＋x,x＜０, －x２＋x,x＞０;{ (４)f(x)＝log２(x＋ x２＋１)． 解:(１)由 ３－x２≥０, x２－３≥０{ 得x ２＝３,解得x＝± ３, 即函数f(x)的定义域为{－ ３,３}, 从而f(x)＝ ３－x２＋ x２－３＝０． 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x), ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (２)由 １－x２＞０, |x－２|≠２{ 得定义域为(－１,０)∪(０,１)关 于原点对称．∴x－２＜０,∴|x－２|－２＝－x, ∴f(x)＝lg (１－x２) －x ． 又 ∵f(－x)＝lg [１－(－x)２] －(－x) ＝ － lg(１－x２) －x ＝－f(x), ∴函数f(x)为奇函数． (３)显然函数f(x)的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞), 关于原点对称． ∵当x＜０时,－x＞０, 则f(－x)＝－(－x)２－x＝－x２－x＝－f(x); 当x＞０时,－x＜０, 则f(－x)＝(－x)２－x＝x２－x＝－f(x); 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(－x)＝ －f(x),∴函数f(x)为奇函数． (４)显然函数f(x)的定义域为R, f(－x)＝log２[－x＋ (－x)２＋１]＝log２(x２＋１ －x)＝log２(x２＋１＋x)－１＝－log２(x２＋１＋x) ＝－f(x),故f(x)为奇函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断函数奇偶性的两个必备条件 (１)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域; (２)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判 断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝０(奇函数) 或f(x)－f(－x)＝０(偶函数))是否成立． 　　　　函数奇偶性的应用 ▶[命题点１]　利用奇偶性求函数值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰山东临沂高一校考期末)已知f(x)＝ log２(x２＋１＋x)＋sinx＋３,f(a)＝２０２４．求 f(－a)＝　　　． 解析:令g(x)＝f(x)－３＝log２(x２＋１＋x)＋ sinx,则g(x)的定义域为R, 且g(－x)＝log２(x２＋１－x)＋sin(－x) ＝－log２(x２＋１＋x)－sinx＝－g(x), 故g(x)为奇函数, 从而f(－a)－３＝－[f(a)－３],即f(－a)＋f(a)＝６, 因为f(a)＝２０２４,所以f(－a)＝６－２０２４＝－２０１８． 答案:－２０１８ ▶[命题点２]　利用奇偶性求参数值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln２x－１２x＋１ 为 偶函数,则a＝ (　　) A．－１　　　　B．０　　　C．１２　　　D．１ 解析:B　[由２x－１２x＋１＞０ ,得x＞１２ 或x＜－１２ , 由f(x)是偶函数,∴f(－x)＝f(x), 得(－x＋a)ln－２x－１－２x＋１＝ (x＋a)ln２x－１２x＋１ , 即(－x＋a)ln２x＋１２x－１＝ (－x＋a)ln２x－１２x＋１ æ è ç ö ø ÷ －１ ＝(x－a)ln２x－１２x＋１＝ (x＋a)ln２x－１２x＋１ , ∴x－a＝x＋a,得－a＝a,得a＝０．] ▶[教材知识迁移与运用] 条件 教材知识 迁移与应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 若f(x)＝ (x＋a) ln２x－１２x＋１ 为偶函数 如果对于函数f(x) 的定义域内任意一 个x,都有f(－x) ＝f(x),那么函数 f(x)就叫作偶函数 因为函数y＝f(x) 是偶 函 数,所 以 f(－１)＝f(１),或 者f(－x)＝f(x) 恒成立 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ▶[命题点３]　利用奇偶性求解析式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．(２０２５􀅰河南模拟)已知f(x)为奇函数,当x≥０时, f(x)＝x２－４x＋m,则当x＜０时,f(x)＝ (　　) A．x２－４－x＋１ B．－x２－４－x－１ C．－x２＋４－x－１ D．－x２＋４－x＋１ 解析:C　[因为f(x)为奇函数,所以f(０)＝m－１ ＝０,即m＝１． 当x＜０时,－x＞０,f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)２ －４－x＋１]＝－x２＋４－x－１．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 ▶[命题点４]　利用奇偶性的图象特征解不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例]　已知y＝f(x)是偶函数,y ＝g(x)是奇函数,它们的定义域 是[－３,３],且它们在x∈[０,３] 上的 图 象 如 图 所 示,求 不 等 式 f(x) g(x)＜０ 的解集． [解]　第一步:根据奇偶性补全函数f(x)和g(x)在 整个定义域上的图象 y＝f(x)是偶函数,y＝ g(x)是奇函数,根据函数 图象的奇偶性画出y＝ f(x),y＝g(x)在[－３,０] 上的图象如图所示． 第二步:将分式不等式等价转化 f(x) g(x)＜０ 等价于 f(x)＞０, g(x)＜０{ 或 f(x)＜０, g(x)＞０．{ 第三步:根据图象,分别解两个不等式组 由图可知f(x)＞０,g(x)＜０时,－２＜x＜－１或 ０＜x＜１,f(x)＜０,g(x)＞０时,２＜x＜３． 第四步:根据求解结果取并集 可求得其解集是{x|－２＜x＜－１或０＜x＜１或 ２＜x＜３}． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (１)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数 值求解． (２)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再 利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式． (３)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解,根据f(x)±f(－x)＝０ 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性 得参数的值或方程(组),进而得出参数的值． (４)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判 断另一区间上的单调性． １．(２０２５􀅰北京西城一模)已知函数f(x)＝９ x－a ３x 的 图象关于原点对称,g(x)＝lg(１０x＋１)＋bx 是偶 函数,则a＋b＝　　　　． 解析:函数f(x)＝９ x－a ３x 的图象关于原点对称,则 函数f(x)是奇函数, ∵函数的定义域为R,∴f(０)＝０,即f(０)＝９ ０－a ３０ ＝１－a＝０,则a＝１,∵g(x)＝lg(１０x＋１)＋bx 是 偶函数,∴g(－x)＝g(x), 即lg(１０－x＋１)－bx＝lg(１０x＋１)＋bx, 即lg１＋１０ x １０x －lg(１０x＋１)＝２bx, 即lg(１０x＋１)－lg１０x－lg(１０x＋１)＝２bx, 则－x＝２bx,２b＝－１,得b＝－１２ ,则a＋b＝１－１２ ＝１２． 答案:１ ２ ２．(２０２５􀅰山东菏泽高三期末)设函数f(x),g(x)的 定义域分别为F,G,且F⊆G．若对任意的x∈F,都 有g(x)＝f(x),则称g(x)为f(x)在G 上的一个 “延拓函数”．已知函数f(x)＝ex(x≤０),若g(x) 为f(x)在 R上的一个延拓函数,且g(x)是偶函 数,则函数g(x)的解析式是 (　　) A．e|x| B．ln|x| C．e－|x| D．－ln|x| 解析:C　[∵g(x)是偶函数,∴定义域关于原点对 称．对于选项A,g(x)是偶函数,当x≤０时,g(x) ＝e－x≠f(x),则不满足条件,A错误;对于选项B, 当x＝０时,g(x)＝ln|x|无意义,则定义域不满足 条件,B错误;对于选项C,g(x)是偶函数,当x≤０ 时,g(x)＝e－(－x)＝ex＝f(x),满足条件,C正确; 对于选项D,当x＝０时,g(x)＝－ln|x|无意义,则 定义域不满足条件,D错误．] 　　　　函数周期性的应用 [典例]　(１)x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整 数,则函数f(x)＝x－[x]在R上为 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 [解析]　作出函数f(x)的图 象,由图象可知选D． [答案]　D (２)(２０２５􀅰山东日照二模)已 知f(x)是定义域为R的偶函数,f(５．５)＝４,g(x)＝ (x－１)f(x),若g(x＋１)是偶函数,则g(－０．５)＝ (　　 ) A．－６　　　B．－４　　　C．４　　　D．６ [解析]　因为g(x＋１)是偶函数,所以g(x)的图 象关于直线x＝１对称,即g(x)＝g(２－x),即(x －１)f(x)＝(１－x)f(２－x),所以f(x)＋f(２－x) ＝０．所以f(x)关于点(１,０)中心对称． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 高考总复习　数学(BS) 又f(x)是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数,所 以 f(x)＝ －f(２－x)＝－f(x－２),所以f(x－４)＝f((x－ ２)－２)＝－f(x－２)＝－(－f(x))＝f(x),即 f(x－４)＝f(x),所以函数f(x)的周期为４．所以 f(５．５)＝f(１．５)＝f(－２．５)＝f(２．５)＝４,所以 g(－０．５)＝g(２．５)＝１．５f(２．５)＝６． [答案]　D (３)(２０２５􀅰陕西统考模拟)已知f(x)是定义在 R 上的奇函数,若f x＋３４ æ è ç ö ø ÷为偶函数且f(１)＝３,则 f(２０２３)＋f(２０２４)＝ (　　) A．３ B．－５ C．－３ D．０ [解析]　因为f(x)是定义在 R上的奇函数,所以 f(０)＝０,f(x)＋f(－x)＝０, 所以有f x－３４ æ è ç ö ø ÷＋f －x＋３４ æ è ç ö ø ÷＝０, 由f x＋３４ æ è ç ö ø ÷为偶函数可得 f x＋３４ æ è ç ö ø ÷＝f －x＋３４ æ è ç ö ø ÷, 故有f x＋３４ æ è ç ö ø ÷＋f x－３４ æ è ç ö ø ÷＝０, ∴f x＋３２ æ è ç ö ø ÷＋f(x)＝０, 即f(x)＝－f x＋３２ æ è ç ö ø ÷,f x＋３２ æ è ç ö ø ÷＝－f(x＋３), 故f(x)＝f(x＋３), 所以f(x)周期T＝３,且f(２)＝f(３－１)＝f(－１) ＝－f(１)＝－３． 故f(２０２３)＋f(２０２４)＝f(１)＋f(２)＝３－３＝０． [答案]　D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．判断函数周期性的两个方法:定义法、图象法． ２．函数周期性的重要应用:利用函数的周期性,可 将其他区间上的求值,求零点个数,求解析式等 问题,转化为已知区间上的相应问题,进而求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区 间内． １．(２０２５􀅰江苏无锡校考模拟)已知函数y＝f(x)是 定义在R上奇函数,且满足f(x＋２)＋f(x)＝０, 当x∈[－２,０]时,f(x)＝－x２－２x,则当x∈ [２０２４,２０２６]时,y＝f(x)的最大值为 (　　) A．－８ B．－１ C．１ D．０ 解析:C　[由f(x＋２)＋f(x)＝０⇒f(x)＝－f(x＋２) ⇒f(x＋２)＝－f(x＋２＋２),因此可以得到:f(x) ＝f(x＋４),所以函数的周期为４,当x∈[－２,０]时, f(x)＝－x２－２x＝－(x＋１)２＋１,当x∈[２０２４, ２０２６]时,y＝f(x)＝f(x－２０２６)＝－(x－２０２６ ＋１)２＋１＝－(x－２０２５)２＋１,显然当x＝２０２５时, 函数y＝f(x)的最大值为１．] ２．(２０２５􀅰云南昆明模拟)已知函数f(x),g(x)的定 义域均为R,f(x)为偶函数且f(x)＋f(x＋２)＝３, g(x)＋g(１０－x)＝２,则∑ ９ i＝１ [f(i)＋g(i)]＝ (　　) A．２１ B．２２ C．４５２ D． ４７ ２ 解析:C　[∵f(x)为偶函数且f(x)＋f(x＋２)＝ ３,则f(－x)＋f(x＋２)＝３,故 f(x)关 于 点 １,３２ æ è ç ö ø ÷对称, 又∵f(x＋２)＋f(x＋４)＝３,则f(x)＝f(x＋４), 则f(x)是以周期为４的周期函数,故f(x)关于点 ５,３２ æ è ç ö ø ÷对称,∴f(x)＋f(１０－x)＝３,则∑ ９ i＝１ f(i)＝ [f(１)＋f(９)]＋[f(２)＋f(８)]＋[f(３)＋f(７)]＋ [f(４)＋f(６)]＋１２ [f(５)＋f(５)]＝３×４＋３２＝ ２７ ２ ,又∵g(x)＋g(１０－x)＝２,则∑ ９ i＝１ g(i)＝[g(１)＋ g(９)]＋[g(２)＋g(８)]＋[g(３)＋g(７)]＋[g(４)＋ g(６)]＋１２ [g(５)＋g(５)]＝２×４＋１＝９,故 ∑ ９ i＝１ [f(i)＋g(i)]＝∑ ９ i＝１ f(i)＋∑ ９ i＝１ g(i)＝２７２＋９＝ ４５ ２． ] ３．(２０２５􀅰黑龙江大庆模拟)已知定义域为 R的偶函 数满足f(２－x)＝f(x),当０≤x≤１时,f(x)＝ e１－x－１,则方程f(x)＝ １|x－１| 在区间[－３,５]上 所有解的和为 (　　) A．８ B．７ C．６ D．５ 解析:A　[因为函数f(x)满足f(２－x)＝f(x), 所以函数f(x)的图象关于直线x＝１对称, 又函数 f(x)为 偶 函 数,所 以 f(２－x)＝f(x) ＝f(－x), 所以函数f(x)是周期为２的函数, 又g(x)＝ １|x－１| 的图象也关于直线x＝１对称, 作出函数f(x)与g(x) 在区间[－３,５]上 的 图 象,如图所示: 由图可知,函数f(x)与 g(x)的图象在区间[－３,５]上有８个交点,且关于 直线x＝１对称, 所以方程f(x)＝ １|x－１| 在区间[－３,５]上所有解 的和为４×２×１＝８．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 学生用书　P２５ 　　抽象函数问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛．抽象函数问题可以全面 考查函数的概念和性质,将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载 体,借助特殊函数模型有利于打开解题思路,有时会起到事半功倍的效果． [典例]　(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R, 且g(x)＋f(－x＋２)＝１,f(x)－g(x＋１)＝１,若 y＝f(x)的图象关于直线x＝１对称,则以下说法 正确的是 (　　) A．g(x)为奇函数　　 B．g －３２ æ è ç ö ø ÷＝０ C．∀x∈R,f(x)＝f(x＋４) D．若f(x)的值域为[m,M],则f(x)＋g(x)＝m＋ M－１ [解析]　∵g(x)＋f(－x＋２)＝１, ∴g(x＋１)＋f(１－x)＝１, ∵f(x)－g(x＋１)＝１,∴f(x)＋f(１－x)＝２, ∵f(x)关于x＝１对称,∴f(１－x)＝f(１＋x), ∴f(x)＋f(１＋x)＝２,∴f(x＋１)＋f(２＋x)＝２, ∴f(x)＝f(２＋x), ∴T＝２,∴f(x)＝f(x＋４),故C正确; ∵f(x)关于x＝１对称,∴f(x)＝f(２－x), ∴f(x)＝f(－x),∴f(x)为偶函数, ∵g(x)＋f(－x＋２)＝１,∴g(x)＋f(x)＝１, ∴g(－x)＋f(－x)＝１,∴g(－x)＋f(x)＝１, ∴g(x)＝g(－x),∴g(x)为偶函数,故A错误; ∵f(x)＋f(１－x)＝２, ∴f(x)图象关于点 １２ ,１æ è ç ö ø ÷中心对称, ∴存在一对最小值点与最大值点也关于 １２ ,１æ è ç ö ø ÷ 对 称,∴m＋M＝２ ∴g(x)＋f(x)＝１＝m＋M－１,故D正确; 由f(x)＋f(１－x)＝２得f １２ æ è ç ö ø ÷＝１,又T＝２, 所以f －３２ æ è ç ö ø ÷＝１, 由g(x)＋f(x)＝１得g －３２ æ è ç ö ø ÷＋f －３２ æ è ç ö ø ÷＝１,所 以g －３２ æ è ç ö ø ÷＝０,故B正确． [答案]　BCD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　对含有f(x),g(x)混合关系的抽象函数,要 探求f(x),g(x)性质首先要消去一个函数只剩 下另一个函数,消去其中一个函数的方法就是对 x进行合理的赋值,组成方程组消去一个函数,再 考查剩余函数的性质．对抽象函数的周期性、奇偶 性、单调性以及图象的对称性的综合应用,解决该 问题应该注意的事项: (１)赋值法使用,注意和题目条件作联系; (２)转化过程要以相关定义为目的,不断转变． (多选)已知函数f(x)＝lg(x２－２x＋２－x＋１), g(x)＝２ x＋６ ２x＋２ ,则下列说法正确的是 (　　) A．f(x)是奇函数 B．g(x)的图象关于点(１,２)对称 C．若函数F(x)＝f(x)＋g(x)在x∈[１－m,１＋ m]上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M＋N ＝４ D．令F(x)＝f(x)＋g(x),若F(a)＋F(－２a＋１) ＞４,则实数a的取值范围是(－１,＋∞) 解析:BCD　[由题意函数f(x)＝lg(x２－２x＋２ －x＋１)＝lg((x－１)２＋１－(x－１)), 因为 (x－１)２＋１－(x－１)＞０恒成立, 即函数f(x)的定义域为R, 又因为f(０)＝lg(２＋１)≠０,所以f(x)不是奇函 数,所以A错误; 将g(x)＝２ x＋６ ２x＋２ 的图象向下平移两个单位得到y＝ ２x＋６ ２x＋２ －２＝２－２ x ２＋２x , 再向左平移一个单位得到h(x)＝２－２ x＋１ ２＋２x＋１ ＝１－２ x １＋２x , 此时h(－x)＝１－２ －x １＋２－x ＝２ x－１ ２x＋１ ＝－h(x), 所以h(x)图象关于点(０,０)对称, 所以g(x)的图象关于(１,２)对称,所以B正确; 将函数f(x)的图象向左平移一个单位得 m(x)＝ lg(x２＋１－x), 因为m(－x)＋m(x)＝lg(x２＋１＋x)＋ lg(x２＋１－x)＝lg１＝０, 即m(－x)＝－m(x),所以函数m(x)为奇函数, 所以函数f(x)关于(１,０)点对称, 所以F(x)若在１＋a处取得最大值, 则F(x)在１－a处取得最小值, 则F(１＋a)＋F(１－a)＝f(１＋a)＋f(１－a)＋g(１ ＋a)＋g(１－a)＝０＋４＝４,所以C正确; 由F(a)＋F(－２a＋１)＞４,可得f(a)＋f(１－２a) ＋g(a)＋g(１－２a)＞４, 由f(x)＝lg((x－１)２＋１－(x－１)), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 高考总复习　数学(BS) 设m(x)＝lg(x２＋１－x),t＝ x２＋１－x, 可得t′＝ x x２＋１ －１＜０,所以t＝ x２＋１－x 为减 函数,可得函数m(x)＝lg(x２＋１－x)为减函数, 所以函数f(x)＝lg((x－１)２＋１－(x－１))为减 函数, 又由g(x)＝２ x＋６ ２x＋２ ＝１＋ ４ ２x＋２ 为减函数, 所以F(x)为减函数, 因为F(x)关于点(１,２)对称, 所以F(a)＋F(－２a＋１)＞４＝F(a)＋F(２－a),即 F(－２a＋１)＞F(２－a), 即－２a＋１＜２－a,解得a＞－１,所以D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P２６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋　　高考对函数性质的考查往往是综合性的,如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查,因此,复习 过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上,注重函数性质的综合应用的演练． 　　　函数的单调性与奇偶性 [例１]　(２０２５􀅰天津模拟)已知f(x)是定义在R上的 偶函数,且在区间[０,＋∞)上单调递增,则 (　　) A．f(log２π)＞flog２ １ ３ æ è ç ö ø ÷＞f(２－π) B．f(log２ １ ３ )＞f(２－π)＞f(log２π) C．f(２－π)＞flog２ １ ３ æ è ç ö ø ÷＞f(log２π) D．f(２－π)＞f(log２π)＞flog２ １ ３ æ è ç ö ø ÷ [解析]　∵f(x)是偶函数, ∴flog２ １ ３ æ è ç ö ø ÷＝f(－log２３)＝f(log２３)． ∵１＜log２３＜log２π＜２,０＜２－π＜１, ∴０＜２－π＜log２３＜log２π＜２． ∵f(x)在[０,＋∞)上为增函数, ∴f(２－π)＜f(log２３)＜f(log２π), 即f(２－π)＜flog２ １ ３ æ è ç ö ø ÷＜f(log２π)． [答案]　A [例２]　已知函数f(x)＝ ２ex＋１ －x－２,若f(m２)＋ f(m－２)＋２＞０恒成立,则实数m 的取值范围是 (　　 ) A．(－２,１)　　　　B．(－１,２) C．(０,２) D．(２,４) [解析]　 由 题 可 知,f(x)＝ ２ex＋１ －x－２＝ ２ ex＋１ －１æ è ç ö ø ÷－x－１＝１－e x ex＋１ －x－１, 令g(x)＝f(x)＋１＝１－e x ex＋１ －x,则 g(－x)＝ １－e－x e－x＋１ ＋x＝－１－e x ex＋１ ＋x＝－g(x), 所以g(x)是奇函数．又由f(m２)＋f(m－２)＋２＞ ０,可得f(m２)＋１＋f(m－２)＋１＞０, 即g(m２)＋g(m－２)＞０,得g(m２)＞g(２－m)． 由g(x)＝１－e x ex＋１ －x＝－ (ex＋１)＋２ ex＋１ －x＝－１＋ ２ ex＋１ －x,因为y＝ ２ex＋１ ,y＝－x－１均为 R上的 减函数,所以g(x)在R上单调递减,所以m２＜２－ m,即m２＋m－２＜０, 解得－２＜m＜１,即实数m 的取值范围是(－２,１)． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (１)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于 原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数 在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (２)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条 件,把已知不等式转化成f (x１)＞f (x２)或 f(x１)＜f (x２)的形式,再根据函数的奇偶性 与单调性,列出不等式(组),要注意函数定义域 对参数的影响． 　　　函数的奇偶性与周期性 [例３]　设函数f(x)的定义域为 R,f(x＋１)为奇函 数,f(x＋２)为偶函数,当x∈[１,２]时,f(x)＝ ax２＋b,若f(０)＋f(３)＝６,则f ９２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－９４　　　B．－ ３ ２　　　C． ７ ４　　　D． ５ ２ [解析]　因为f(x＋１)为奇函数,所以f(１)＝０, 即a＋b＝０,所以b＝－a, 又f(０)＝f(－１＋１)＝－f(１＋１)＝－f(２) ＝－４a－b＝－３a, f(３)＝f(１＋２)＝f(－１＋２)＝f(１)＝０,由f(０) ＋f(３)＝６,得a＝－２, 所以f ９２ æ è ç ö ø ÷＝f２＋５２ æ è ç ö ø ÷＝f２－５２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数