2.2 函数的单调性与最值-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第三步:解x≤０时,f(x)＋f x－１２ æ è ç ö ø ÷＞１ 当x≤０时,x＋１＋x－１２＋１＞１ ,解得x＞－１４ ,即 －１４＜x≤０． 第四步:取并集计算x的取值范围 综上x的取值范围是 －１４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷． [答案]　 －１４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 分段函数与不等式问题的求解思路:依据分段函数 的解析式,对不同范围的不同段分类讨论求解,最 后将各段结果取并集．注意每段不等式结果与本段 自变量的范围取交集得本段的最后结果． ２．(２０２５ 􀅰 河 北 模 拟 )设 函 数 f (x)＝ (x＋１)２＋２,x＜１, －２x,x≥１,{ 则不等式f(３)＋f(|x|－４)＞０的 解集为 (　　) A．(－１,１) B．(－∞,－１)∪(１,＋∞) C．(－７,７) D．(－∞,－７)∪(７,＋∞) 解析:A　[因为f(x)＝ (x＋１)２＋２,x＜１, －２x,x≥１,{ 所以 f(３)＝－６,f(－３)＝(－３＋１)２＋２＝６, 则f(３)＋f(|x|－４)＞０,即f(|x|－４)＞－f(３) ＝６＝f(－３), f(x)的函数图象如图所示: 由函数图象可知当x＞－３时,f(x)＜６且f(x)在 (－∞,－３)上单调递减,所以f(|x|－４)＞f(－３) 等价于|x|－４＜－３,即|x|＜１,解得－１＜x＜１, 即x∈(－１,１)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　函数的单调性与最值 ★[课程标准] １．借助函数的图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义． ２．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法,并能利用函数的单调性求最值． 　　　　　　　　学生用书　P２０ １．函数的单调性 (１)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f(x)的定义域是D 如果对于任意的x１,x２ ∈D,当x１＜x２ 时,都有 f(x１)＜f(x２),那么就 称函数y＝f(x)是增函 数．特别地,当I是定义 域D上的一个区间时, 也称函数在区间I上单 调递增． 如果对于任意的x１,x２ ∈D,当x１＜x２ 时,都有 f(x１)＞f(x２),那么就 称函数y＝f(x)是减函 数．特别地,当I是定义 域D 上的一个区间时, 也称函数在区间I上单 调递减． 图 象 描 述 自左向右看图 象是上升的 自左向右看图 象是下降的 (２)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递 减,那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调 性．此时,区间I为函数y＝f(x)的单调区间． ２．函数的最值 (１)若存在实数 M,对所有的x∈D,都有f(x)≤M, 且存在x０∈D,使得f(x０)＝M,则称 M 为函数 y＝f(x)的最大值． (２)若存在实数 M,对所有的x∈D,都有f(x)≥M, 且存在x０∈D,使得f(x０)＝M,则称 M 为函数 y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．单调性定义的推广 设∀x１,x２∈D(x１≠x２),则①x１－x２＞０(或＜０), f(x１)－f(x２)＞０(或＜０)⇔f(x)在D 上单调递 增;x１－x２＞０(或＜０),f(x１)－f(x２)＜０(或＞０) ⇔f(x)在D 上单调递减; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ②f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０(或(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞ ０)⇔f(x)在D 上单调递增; ③f (x１)－f(x２) x１－x２ ＜０(或(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＜ ０)⇔f(x)在D 上单调递减． ２．单调性的几个结论 (１)若k＞０,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k＜０, 则kf(x)与f(x)单调性相反． (２)函数y＝f(x)(f(x)＞０)在公共定义域内与y ＝－f(x),y＝ １f(x) 的单调性相反． (３)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．简记:“同增异减”． (４)“对勾函数”y＝x＋ax (a＞０)的增区间为(－∞, －a),(a,＋∞);单调减区间是[－a,０),(０,a]． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单 调增区间是(－∞,０]∪(０,＋∞)． (　　) (２)若定义在R上的函数f(x),有f(－１)＜f(３), 则函数f(x)在R上为增函数． (　　) (３)函数y＝|x|是R上的增函数． (　　) (４)函数y＝f(x)在[１,＋∞)上是增函数,则函数 的单调递增区间是[１,＋∞)． (　　) (５)对于函数f(x),x∈D,若x１,x２∈D,且(x１－x２)􀅰 [f(x１)－f(x２)]＞０,则函数f(x)在D上是增函数． (　　) (６)在闭区间上单调的函数,其最值一定在区间端 点取到． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√ (６)√ ◆[小题查验] １．(多选)下列函数中是增函数的为 (　　) A．f(x)＝－x　　　　　B．f(x)＝x＋２ C．f(x)＝１x D．f (x)＝ ３ x 解析:BD　[函数f(x)＝－x 是一次函数,在 R上 是减函数;函数f(x)＝x＋２在 R上是增函数;函 数f(x)＝１x 在(－∞,０)上是减函数,在(０,＋∞) 上是减函数;函数f(x)＝ ３ x＝x １ ３ 是幂函数,指数 １ ３＞０ ,所以函数f(x)在R上是增函数．] ２．函数y＝f(x)的图象如图所示,其单调递增区间是 (　　) A．[－４,４] B．[－４,－３]∪[１,４] C．[－３,１] D．[－３,４] 解析:C　[由题图可知,函数y＝f(x)的单调递增 区间为[－３,１]．] ３．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实 数a,b,总有f (a)－f(b) a－b ＞０ 成立,则必有 (　　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增 解析:A　[由f (a)－f(b) a－b ＞０ ,知f(a)－f(b)与 a－b同号,即当a＜b时,f(a)＜f(b),或当a＞b 时,f(a)＞f(b),所以f(x)在R上是增函数．] ４．(忽视定义域致误)函数f(x)＝log２(x２－４)的单调 递增区间为 (　　) A．(０,＋∞) B．(－∞,０) C．(２,＋∞) D．(－∞,－２) 解析:C　[由x２－４＞０,可得x＜－２或x＞２,∴函 数f(x)的定义域为(－∞,－２)∪(２,＋∞)．设t＝ x２－４,则t在(２,＋∞)上单调递增,又函数y＝ log２t为增函数,∴函数f(x)＝log２(x２－４)在(２, ＋∞)上单调递增,∴函数f(x)的单调递增区间为 (２,＋∞)．] ５．(BSD必修第一册P６０例１改编)已知函数f(x)＝ ２ x＋１ ,x∈[０,２],则f(x)的最大值为　　　　,最 小值为　　　　． 解析:因为函数f(x)在[０,２]上单调递减, 所以f(x)max＝f(０)＝２,f(x)min＝f(２)＝ ２ ３． 答案:２　２３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 　　　　　　　　学生用书　P２１ 　　　　　函数单调性的判断或证明 ▶[命题点１]　 求具体函数的单调区间 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰湖北模拟)函数y＝log１３(－x ２＋４x＋１２) 单调递减区间是 (　　) A．(－∞,２) B．(２,＋∞) C．(－２,２) D．(－２,６) 解析:C　[令y＝log１３u,u＝－x ２＋４x＋１２．由u＝ －x２＋４x＋１２＞０,得－２＜x＜６． 因为函数y＝log１３u是关于u 的递减函数,且x∈ (－２,２)时,u＝－x２＋４x＋１２为增函数,所以y＝ log１３(－x ２＋４x＋１２)为减函数, 所以函数y＝log１３(－x ２＋４x＋１２)的单调减区间 是(－２,２)．] ２．(２０２５􀅰湖北校联考期中)由方程x|x|＋y|y|＝１ 确定函数y＝f(x),则y＝f(x)在(－∞,＋∞) 上是 (　　 ) A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 解析:B　[当x≥０且y≥０时,x２＋y２＝１, 当x＞０且y＜０时,x２－y２＝１, 当x＜０且y＞０时,y２－x２＝１, 当x＜０且y＜０时,无意义, 如图: 结合图象 可 知,y＝f(x)在(－∞,＋∞)上 是 减 函数．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断函数单调性常用以下几种方法 (１)定义法:一般步骤为设元→作差→变形→判断 符号→得出结论． (２)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降 确定单调性． (３)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数 的单调区间． (４)性质法:①对于由基本初等函数的和、差构成的 函数,根据各初等函数的增减性 及 f(x)± g(x)增减性质进行判断; ②对于复合函数,先将函数y＝f(g(x))分解 成y＝f(t)和t＝g(x),再讨论(判断)这两个函 数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的 规则进行判断． ▶[命题点２]　确定含参函数的单调性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例]　判断并证明函数f(x)＝ axx－１ (a≠０)在 (－１,１)上的单调性． [证明]　法一(定义法):第一步,取值、作差、变形: 设－１＜x１＜x２＜１, f(x)＝a x－１＋１x－１ æ è ç ö ø ÷＝a１＋ １x－１ æ è ç ö ø ÷, 则f(x１)－f(x２)＝a１＋ １ x１－１ æ è ç ö ø ÷－a１＋ １x２－１ æ è ç ö ø ÷ ＝ a(x２－x１) (x１－１)(x２－１) ． 第二步,判号、定论:由于－１＜x１＜x２＜１, 所以x２－x１＞０,x１－１＜０,x２－１＜０, 故当a＞０时,f(x１)－f(x２)＞０, 即f(x１)＞f(x２), 函数f(x)在(－１,１)上单调递减; 当a＜０时,f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２), 函数f(x)在(－１,１)上单调递增． 法二(导数法):第一步,求导、变形: f′(x)＝ (ax)′(x－１)－ax(x－１)′ (x－１)２ ＝a (x－１)－ax (x－１)２ ＝－ a(x－１)２ ． 第二步,判号、定论:当a＞０时,f′(x)＜０,函 数 f(x)在(－１,１)上单调递减; 当a＜０时,f′(x)＞０,函数f(x)在(－１,１)上单调 递增． ◉[互动探究] 若只将本例中函数解析式改为“f(x)＝ axx２－１ (其 中a＞０)”呢? 证明:法一(定义法):设－１＜x１＜x２＜１, 则f(x１)－f(x２)＝ ax１ x２１－１ － ax２ x２２－１ ＝ ax１x２２－ax１－ax２x２１＋ax２ (x２１－１)(x２２－１) ＝ a(x２－x１)(x１x２＋１) (x２１－１)(x２２－１) ．∵－１＜x１＜x２＜１, ∴x２－x１＞０,x１x２＋１＞０,(x２１－１)(x２２－１)＞０． 因此当a＞０时,f(x１)－f(x２)＞０, 即f(x１)＞f(x２),此时函数f(x)在(－１,１)上为 减函数． 法二(导数法):f′(x)＝a (x２－１)－２ax２ (x２－１)２ ＝－a (x２＋１) (x２－１)２ ． 又a＞０,所以f′(x)＜０,所以函数f(x)在(－１,１) 上为减函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．判断或证明含有参数的函数的单调性,除了利用 增(减)函数的定义外,导数法也是一种非常有效 的方法,注意分类讨论思想的应用． ２．可导函数也可以利用导数判断．但是,对于抽象 函数单调性的证明,只能采用定义法进行判断． (２０２５􀅰北京八十中校考期中)三叉戟是希腊神话 中海神波塞冬的武器,而函数f(x)＝ax２＋bx 的图 象恰如其形,因而得名三叉戟函数,因为牛顿最早 研究了这个函数的图象,所以也称它为牛顿三叉 戟．已知函数f(x)＝ax２＋bx 的图象经过点(２,８), 且f(－２)＝０． (１)求函数f(x)的解析式; (２)用定义法证明:f(x)在(－∞,０)上单调递减． 解:(１)由题意可知 ４a＋b２＝８ , ４a－b２＝０ , ì î í ï ï ïï 解得a＝１,b＝８, 故f(x)＝x２＋８x (x≠０)． (２)证明:∀x１,x２∈(－∞,０),且x１＜x２, 则f(x１)－f(x２)＝x２１＋ ８ x１ － x２２＋ ８ x２ æ è ç ö ø ÷＝x２１－x２２＋ ８ x１ －８x２ ＝(x１－x２)(x１＋x２)＋ ８(x２－x１) x１x２ ＝(x１－x２)(x１＋x２)－ ８ x１x２[ ] ＝ x１－x２ x１x２ 􀅰[x１x２(x１＋x２)－８]． 由x１,x２∈(－∞,０)且x１＜x２,得x１x２＞０,x１－x２ ＜０,x１＋x２＜０,所以 x１－x２ x１x２ ＜０,x１x２(x１＋x２)－８ ＜０,所以 x１－x２ x１x２ 􀅰[x１x２(x１＋x２)－８]＞０, 则f(x１)－f(x２)＞０,即f(x１)＞f(x２)．故f(x)在 (－∞,０)上单调递减． 　　　　确定函数的最值(值域) [典例]　(１)(２０２５􀅰深圳期末)已知函数f(x)＝ ex－１,x≤１, １ x－x＋１ ,x＞１,{ 则f(x)的最大值为　　　． [解析]　x∈(－∞,１]时,f(x)＝ex－１单调递增, f(x)≤f(１)＝e１－１＝１; x∈(１,＋∞)时,f(x)＝１x－x＋１ 单调递减, f(x)＜１１－１＋１＝１． 所以f(x)的最大值为１． [答案]　１ (２)函数f(x)＝x ２＋８ x－１ (x＞１)的最小值为　　　　． [解析]　法 一:基 本 不 等 式 法:f(x)＝x ２＋８ x－１＝ (x－１)２＋２(x－１)＋９ x－１ ＝ (x－１)＋ ９x－１＋２≥ ２ (x－１)􀅰 ９x－１＋２＝８ ,当且仅当x－１＝ ９x－１ , 即x＝４时,f(x)min＝８． 法二:导数法:f′(x)＝ (x－４)(x＋２) (x－１)２ , 令f′(x)＝０,得x＝４或x＝－２(舍去)． 当１＜x＜４时,f′(x)＜０,f(x)在(１,４)上单调递减; 当x＞４时,f′(x)＞０,f(x)在(４,＋∞)上单调递增, 所以f(x)在x＝４处达到最小值, 即f(x)min＝f(４)＝８． [答案]　８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求函数最值的五种常用方法及其思路 (１)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求 最值． (２)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、 最低点,求出最值． (３)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正 二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (４)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极 值,最后结合端点值,求出最值． (５)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为 熟悉的函数,再用相应的方法求最值． 提醒:(１)求函数的最值时,应先确定函数的定义域． (２)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的 最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大 值,最小的作为分段函数的最小值． [口诀助读] 单调性,左边看,上坡递增下坡减; 函数值,若有界,上界下界值域外． １．已知函数f(x)＝ x＋２x－３ ,x≥１, lg(x２＋１),x＜１, { 则f[f(－３)] ＝　　　　,f(x)的最小值是　　　　． 解析:∵f(－３)＝lg[(－３)２＋１]＝lg１０＝１, ∴f[f(－３)]＝f(１)＝０, 当x≥１时,f(x)＝x＋２x－３≥２ ２－３ ,当且仅当 x＝ ２时,取等号, 此时f(x)min＝２ ２－３＜０; 当x＜１时,f(x)＝lg(x２＋１)≥lg１＝０,当且仅当 x＝０时,取等号,此时f(x)min＝０． ∴f(x)的最小值为２ ２－３． 答案:０　２ ２－３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 ２．(２０２５􀅰新乡模拟)在人工智能领域的神经网络中, 常用到在定义域I内单调递增且有界的函数f(x), 即∃M＞０,∀x∈I,|f(x)|≤M．则下列函数中,所 有符合上述条件的序号是　　　　． ①f(x)＝ x;②f(x)＝ x１＋x２ ;③f(x)＝e x－e－x ex＋e－x ; ④f(x)＝ １１＋e－x ． 解析:对于①,f(x)＝ x无界,不符合题意; 对于 ②,f(x)＝ x１＋x２ ＝ １ x＋１x 不 单 调,不 符 合 题意; 对于③,f(x)＝e x－e－x ex＋e－x ＝e ２x－１ e２x＋１ ＝e ２x＋１－２ e２x＋１ ＝１－ ２ １＋e２x 单调递增,且f(x)∈(－１,１),则|f(x)|＜ １,符合题意; 对于④,f(x)＝ １１＋e－x 单调递增,且f(x)∈(０,１), 则|f(x)|＜１,符合题意． 答案:③④ 　　　函数单调性的应用 ▶[命题点１]　比较两个函数值或两个自变量的 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 大小 􀪋􀪋 １．(２０２５ 􀅰 重 庆 模 拟 )设 函 数 f (x)＝ －２x＋２－x(x＞０), －x３(x≤０),{ 若a＝ln２,b＝３ ０．２,c＝log０．３２,则 (　　) A．f(a)＞f(b)＞f(c)　　B．f(b)＞f(a)＞f(c) C．f(a)＞f(c)＞f(b) D．f(c)＞f(a)＞f(b) 解析:D　[因为f(x)＝ －２x＋２－x(x＞０), －x３(x≤０),{ 又y＝２ x 在(０,＋∞)上单调递增,y＝２－x在(０,＋∞)上单调 递减,则g(x)＝－２x＋２－x在(０,＋∞)上单调递减 且g(０)＝－２０＋２０＝０,又h(x)＝－x３ 在(－∞,０)上 单调递减且h(０)＝－０３＝０,所以f(x)在R上单调递 减,又因为３０．２＞３０＝１,即b＞１,０＝ln１＜ln２＜lne＝ １,即０＜a＜１,log０．３２＜log０．３１＝０,即c＜０,所以b＞a ＞c,所以f(b)＜f(a)＜f(c)．] ▶[命题点２]　解函数不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(２０２５􀅰山东潍坊市模拟)设函数f(x)＝ x,x≤１, (x－１)２＋１,x＞１,{ 则不等式f(１－|x|)＋f(２)＞０的 解集为　　　　． 解析:由函数解析式知f(x)在R上单调递增, 且－f(２)＝－２＝f(－２), 则f(１－|x|)＋f(２)＞０⇒f(１－|x|)＞－f(２) ＝f(－２), 由单调性知１－|x|＞－２,解得x∈(－３,３)． 答案:(－３,３) ▶[命题点３]　利用单调性求参数的取值范围或值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ －x２－２ax－a,x＜０ ex＋ln(x＋１),x≥０{ 在 R上单调递增,则a 的取 值范围是 (　　) A．(－∞,０] B．[－１,０] C．[－１,１] D．[０,＋∞) 解析:B　[由 题 意 知f(x)在 R 上 单 调 递 增,令 h(x)＝－x２－２ax－a,则h(x)的对称轴必大于等 于０,否则与题意不符,即－a≥０⇒a≤０,排除C、D 项;又因为当x＝０时,f(x)＝１,所以当x＝０时, h(x)≤１⇒－x２－２ax－a≤１,代入x＝０,得－a≤ １⇒a≥－１,所 以 －１≤a≤０,故a 的 取 值 范 围 是[－１,０]．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (１)比较大小．比较函数值的大小,应将自变量转化到 同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决． (２)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关的 不等式时,利用函数的单调性将“f”符号脱掉, 使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注 意函数的定义域． (３)利用单调性求参数 ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定 义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求 参数;②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的, 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． １．(２０２５􀅰辽宁朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意两个不相等的正数x１,x２,都 有 x２f(x１)－x１f(x２) x１－x２ ＞０,记 a＝f(１),b＝ f(－２) ２ ,c＝f (３) ３ ,则 (　　) A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 解析:B　[依题意,∀x１,x２∈(０,＋∞),x１≠x２, x２f(x１)－x１f(x２) x１－x２ ＞０⇔ f(x１) x１ －f (x２) x２ x１－x２ ＞０, 于是得函数f(x) x 在(０,＋∞)上单调递增,而函数 f(x)是R上的偶函数,即b＝f (－２) ２ ＝ f(２) ２ , 显然有f(１) １ ＜ f(２) ２ ＜ f(３) ３ ,因此得a＜b＜c, 所以a＜b＜c．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．(２０２５􀅰陕西模拟)已知f(x)＝ ２x－１(x＞１), lnx(０＜x≤１),{ 则不 等式f(３x－１)＜f(２x＋１)的解集为 (　　) A．(０,２) B．０,１３ æ è ç ö ø ÷ C．１３ ,２æ è ç ö ø ÷ D．(２,＋∞) 解析:C　[∵f(x)＝ ２x－１(x＞１), lnx(０＜x≤１),{ 当０＜x≤１ 时,f(x)＝lnx≤０,且单调递增;当x＞１时,f(x) ＝２x －１＞１,且 单 调 递 增,所 以 f(x)＝ ２x－１(x＞１), lnx(０＜x≤１){ 在(０,＋∞)上 单 调 递 增,不 等 式 f(３x－１)＜f(２x＋１)等价于０＜３x－１＜２x＋１, 解得１ ３＜x＜２． ] ３．(２０２５􀅰广东佛山二模)已知０＜a＜１且a≠１２ ,若 函数f(x)＝２logax－log２ax 在(０,＋∞)上单调递 减,则实数a的取值范围为 (　　 ) A．１４ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷　　　　　　　B．０,１４ æ è ç ö ø ÷ C．１４ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷∪ １２ ,１æ è ç ö ø ÷ D．０,１４ æ è ç ö ø ÷∪ １２ ,１æ è ç ö ø ÷ 解析:D　 [依 题 意,f(x)＝２lnxlna － lnx ln２a＝ ２ln２a－lna lna􀅰(ln２a) 􀅰lnx＝ ln４alna􀅰(ln２a) 􀅰lnx, 显然函数y＝lnx在(０,＋∞)上单调递增,而函数 f(x)在(０,＋∞)上单调递减, 因此 ln４a lna􀅰(ln２a)＜０ ,而０＜a＜２a＜４a, 则ln４a＜０或 lna＜０, ln２a＞０,{ 解得０＜a＜ １ ４ 或１ ２＜a＜１ , 所以实数a的取值范围为 ０,１４ æ è ç ö ø ÷∪ １２ ,１æ è ç ö ø ÷．] ４．如果函数f(x)＝ (２－a)x＋１,x＜１, ax,x≥１,{ 满足对任意 x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０成立,那么实数a 的取值范围是　　　　． 解析:因为对任意x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０, 所以y＝f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数． 所以 ２－a＞０, a＞１, (２－a)×１＋１≤a, ì î í ïï ï 解得３ ２≤a＜２． 故实数a的取值范围是 ３２ ,２[ öø÷． 答案:３ ２ ,２[ öø÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　函数的奇偶性与周期性 ★[课程标准] １．结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义．２．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．３．结合 三角函数,了解函数周期性的概念和几何意义．４．会运用函数的图象理解和研究函数的周期性． 　　　　　　　　学生用书　P２３ １．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地,设函数f(x)的定 义域是 A,如果对任意的 x∈A,有－x∈A,且f(－x) ＝－f(x),那么称函数f(x) 为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地,设函数f(x)的定 义域是 A,如果对任意的 x∈A,有－x∈A,且f(－x) ＝f(x),那么称函数f(x)为 偶函数． 关于y轴对称 当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇 偶性．奇函数和偶函数的定义域关于原点对称． ２．函数的周期性 (１)周期函数:一般地,对于函数y＝f(x),x∈D,如果存 在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x＋T ∈D,且满足f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)称 作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期． (２)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．函数奇偶性的四个重要结论 (１)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(０) 有意义,那么一定有f(０)＝０． (２)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|)． (３)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的 单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具 有相反的单调性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数