1.4 一元二次函数与一元二次不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 掌握柯西不等式及其变式的结构,常用巧拆常数、 重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法． 设a＝(１,－２),b＝(x,y),若x２＋y２＝１６,则a􀅰b 的最大值为　　　　． 解析:∵a＝(１,－２),b＝(x,y), ∴a􀅰b＝x－２y． 由柯西不等式的向量形式可得 [１２＋(－２)２](x２＋y２)≥(x－２y)２, 即５×１６≥(x－２y)２, ∴－４ ５≤x－２y≤４ ５,(∗) 当且仅当b＝ka, 即 x＝４ ５５ , y＝－８ ５５ ì î í ï ï ï ï 时,(∗)式中右边等号成立, 或 x＝－４ ５５ , y＝８ ５５ ì î í ï ï ï ï 时,(∗)式中左边等号成立, ∴当x＝４ ５５ ,y＝－８ ５５ 时, a􀅰b的最大值为４ ５． 答案:４ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第４节　一元二次函数与一元二次不等式 ★[课程标准] １．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义． ２．能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集． ３．借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 　　　　　　　　学生用书　P１３ １．一元二次不等式的概念 (１)一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次 数是２的不等式叫作一元二次不等式． (２)使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的 集合叫作这个一元二次不等式的解集． ２．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方 程的关系 判别式 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 y＝ax２＋bx＋c (a＞０)的图象 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝０ (a＞０)的根 有 两 相 异 实 根 x１, x２ (x１ ＜ x２) 有两相 等 实 根x１＝x２＝ －b２a 没有 实数根 ax２＋bx＋c＞ ０(a＞０)的 解集 {x|x ＜ x１,或x＞ x２} x|x≠－b２a{ } R ax２＋bx＋c＜ ０(a＞０)的 解集 {x|x１＜x ＜x２} ⌀ ⌀ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 (１)x－ax－b＞０ 等价于(x－a)(x－b)＞０． (２)x－ax－b＜０ 等价于(x－a)(x－b)＜０． (３)x－ax－b≥０ 等价于 (x－a)(x－b)≥０, x－b≠０．{ (４)x－ax－b≤０ 等价于 (x－a)(x－b)≤０, x－b≠０．{ ２．不等式ax２＋bx＋c＞０(＜０)恒成立的条件要结合 其对应的函数图象决定． ①不等式ax２＋bx＋c＞０对任意实数x恒成立⇔ a＝b＝０, c＞０{ 或 a＞０, Δ＜０．{ ②不等式ax２＋bx＋c＜０对任意实数x恒成立⇔ a＝b＝０, c＜０{ 或 a＜０, Δ＜０．{ ３．关注点 ①对于不等式ax２＋bx＋c＞０,求解时不要忘记 a＝０时的情形． ②当Δ＜０时,不等式ax２＋bx＋c＞０(a≠０)的解 集为R还是⌀,要注意区别． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)若不等式ax２＋bx＋c＜０的解集为(x１,x２),则 必有a＞０． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 (２)若不等式ax２＋bx＋c＞０的解集是(－∞,x１) ∪(x２,＋∞),则方程ax２＋bx＋c＝０的两个根是 x１ 和x２． (　　) (３)若方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)没有实数根,则不 等式ax２＋bx＋c＞０的解集为R． (　　) (４)不等式ax２＋bx＋c≤０在R上恒成立的条件是 a＜０且Δ＝b２－４ac≤０． (　　) (５)若二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象开口向下, 则不等式ax２＋bx＋c＜０的解集一定不是空集． (　　) 答案:(１)√　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√ ◆[小题查验] １．不等式－x２－２x＋３＜０的解集为 (　　) A．{x|－３＜x＜１}　　　B．{x|－１＜x＜３} C．{x|x＜－３或x＞１} D．{x|x＜－１或x＞３} 解析:C　[不等式变形为x２＋２x－３＞０,方程x２＋ ２x－３＝０有两个根,即－３和１,则x２＋２x－３＞０ 的解集为{x|x＜－３或x＞１},即不等式－x２－２x ＋３＜０的解集为{x|x＜－３或x＞１}．] ２．若关于x 的不等式ax２－６x＋a２＜０的解集是 (１,m),则m＝ (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ 解析:A　[根据不等式与方程之间的关系知１为 方程ax２－６x＋a２＝０的一个根,即a２＋a－６＝０, 解得a＝２或a＝－３,当a＝２时,不等式ax２－６x ＋a２＜０的解集是(１,２),符合要求;当a＝－３时, 不等式ax２－６x＋a２＜０的解集是(－∞,－３)∪ (１,＋∞),不符合要求,舍去．故m＝２．] ３．(忽视不等式性质致误)不等式x－１x＋２≤２ 的解集是 (　　) A．(－∞,－５)∪(－２,＋∞) B．(－∞,－５]∪(－２,＋∞) C．(－∞,－５)∪[－２,＋∞) D．(－∞,－５]∪[－２,＋∞) 解析:B　[原不等式可化为:x－１x＋２－２≤０⇒ x＋５ x＋２≥０ , 解得x≤－５或x＞－２, 所以原不等式的解集为(－∞,－５]∪(－２,＋∞)．] ４．(BSD必修第一册P３９习题１－４A组T２(４)改编)若 不 等 式 ax２ ＋ bx ＋ ２ ＞ ０ 的 解 集 为 x －１２＜x＜ １ ３{ },则a－b的值是 (　　) A．－１０ B．－１４ C．１０ D．１４ 解析:A　[因为x１＝－ １ ２ ,x２＝ １ ３ 是方程ax２＋bx＋２ ＝０的两个根,所以 a ４－ b ２＋２＝０ , a ９＋ b ３＋２＝０ , ì î í ï ï ïï 解得 a＝－１２, b＝－２．{ 所以a－b＝－１０．] ５．(忽视m为零的讨论)不等式mx２＋mx＋１＞０对一切 x∈R恒成立,则实数m的取值范围是　　　． 解析:当m＝０时,１＞０,不等式恒成立,当m≠０时, m＞０, Δ＝m２－４m＜０,{ 得０＜m＜４．综上,０≤m＜４． 答案:[０,４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１４ 　　　一元二次不等式的解法 ▶[命题点１]　不含参数的一元二次不等式的解法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例１]　(１)(２０２５􀅰河北模拟)已知集合 A＝ {x|x２－２x＋３≥０},B ＝ x∈Z x－３x＋２≤０{ },则 A∩B＝ (　　) A．{x|－２＜x≤３} B．{－１,０,１,２,３} C．{－２,－１,１,２,３} D．R [解析]　解不等式x２－２x＋３≥０,x２－２x＋３ ＝(x－１)２＋２＞０,x∈R,解不等式x－３x＋２≤０ ,得－２ ＜x≤３,B＝{－１,０,１,２,３},∴A∩B＝{－１,０,１,２,３}． [答案]　B (２)不等式 x＋５(x－１)２ ≥２的解集是 (　　) A．－３,１２[ ] B．－ １ ２ ,３[ ] C．１２ ,１[ öø÷∪(１,３] D．－ １ ２ ,１[ öø÷∪(１,３] [解析]　不等式可化为２x ２－５x－３ (x－１)２ ≤０, 即 (２x＋１)(x－３) (x－１)２ ≤０, 解得－１２≤x＜１ 或１＜x≤３． [答案]　D (３)(２０２５􀅰江苏南京模拟)不等式|x＋ ２|＜ x(x＋２ ２)的解集为 (　　) A．(－∞,－３ ２)∪(２ ２,＋∞) B．(－∞,－２－ ２)∪(２－ ２,＋∞) C．(－∞,２－ ２)∪(２＋ ２,＋∞) D．(－∞,－２＋ ２)∪(２＋ ２,＋∞) [解析]　当x≥－ ２时,x＋ ２＜x(x＋２ ２),可得 x２＋(２ ２－１)x－ ２＞０, 所以x＞２－ ２或x＜－１－ ２, 又x≥－ ２,所以x＞２－ ２; 当x＜－ ２时,－x－ ２＜x(x＋２ ２),可得x２＋ (２２＋１)x＋２＞０,解得x＜－２－２或x＞１－２, 又x＜－ ２,所以x＜－ ２－２;综上,不等式|x＋ ２|＜x(x＋２ ２)的解集为(－∞,－２－ ２)∪(２－ ２,＋∞)． [答案]　B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解一元二次不等式的４个步骤 变 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋把不等式变形为二次项系数大于零 的标准形式 判 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋计算对应方程的判别式 求 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋求出对应的一元二次方程的根,或根据 判别式说明方程有没有实根 写 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋利用“大于取两边,小于取中间”或结合 图象写出不等式的解集 [口诀助解] 求解不含参数的一元二次不等式口诀 函数方程不等式,图象交点是标志; 首项系数先化正,判别式,符号定; 若为正,记口诀,小于中间大于侧; 或为负,或为零,配方观察解自明． ▶[命题点２]　含参数的一元二次不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例２]　设函数f(x)＝ax２＋(１－a)x＋a－２(a∈R)． (１)若不等式f(x)≥－２对一切实数x恒成立,求 a的取值范围; (２)解关于x的不等式f(x)＜a－１． [解]　(１)f(x)≥－２对一切实数x 恒成立,等价 于∀x∈R,ax２＋(１－a)x＋a≥０恒成立． 当a＝０时,不等式可化为x≥０,不满足题意． 当a≠０,有 a＞０ , Δ≤０,{ 即 a＞０, ３a２＋２a－１≥０,{ 解得a≥１３ ,所以a的取值范围是 １３ ,＋∞[ öø÷． (２)依题意,f(x)＜a－１等价于ax２＋(１－a)x－１ ＜０, 当a＝０时,不等式可化为x＜１,所以不等式的解 集为{x|x＜１}． 当a＞０时,不等式化为(ax＋１)(x－１)＜０,此时 －１a＜１ ,所以不等式的解集为{x|－１a＜x＜１ }． 当a＜０时,不等式化为(ax＋１)(x－１)＜０, ①当a＝－１时,－１a＝１ ,不等式的解集为{x|x≠１}; ②当 －１＜a＜０时,－１a ＞１ ,不 等 式 的 解 集 为 x|x＞－１a 或x＜１{ }; ③ 当 a＜ －１ 时,－ １a ＜１ ,不 等 式 的 解 集 为 x|x＞１或x＜－１a{ }; 综 上,当 a ＜ － １ 时,原 不 等 式 的 解 集 为 x|x＞１或x＜－１a{ }; 当a＝－１时,原不等式的解集为{x|x≠１}; 当 － １ ＜ a ＜ ０ 时,原 不 等 式 的 解 集 为 x|x＞－１a 或x＜１{ }; 当a＝０时,原不等式的解集为{x|x＜１}; 当a＞０时,原不等式的解集为 x|－１a＜x＜１{ }． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解含参数的一元二次不等式的步骤 (１)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于 ０,小于０,还是大于０,然后将不等式转化为二 次项系数为正的形式; (２)判断方程根的个数,讨 论 判 别 式 Δ 与０的 关系; (３)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个 根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式 的解集． [口诀助读] 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 含参二次不等式,有无实根判别式; 或为负,或为零,配方法,解自明; 若为正,求两根,两种题型要区分; 首项系数无参数,根的大小定胜负; 首项系数含参数,先论系数零正负; 系数化一是旨要,负数变换不等号． ▶[命题点３]　三个二次之间的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例３]　(１)若不等式ax２＋bx＋c＞０的解集为 {x|－１＜x＜２},则不等式a(x２＋１)＋b(x－１)＋ c＞２ax的解集是 (　　 ) A．{x|０＜x＜３}　　　　　B．{x|x＜０或x＞３} C．{x|１＜x＜３} D．{x|－１＜x＜３} [解析]　由a(x２＋１)＋b(x－１)＋c＞２ax, 整理得ax２＋(b－２a)x＋(a＋c－b)＞０, ① 又不等式ax２＋bx＋c＞０的解集为{x|－１＜x＜２}, 所以a＜０,且 (－１)＋２＝－ba , (－１)×２＝ca , ì î í ï ï ïï 即 b a＝－１ , c a＝－２ , ì î í ï ï ïï ② 将 ① 两 边 同 除 以 a 得:x２ ＋ ba－２ æ è ç ö ø ÷x ＋ １＋ca－ b a æ è ç ö ø ÷＜０, ③ 将②代入③得:x２－３x＜０,解得０＜x＜３． [答案]　A (２)(多选)不等式x２＋ax＋b≤０(a,b∈R)的解集 为{x|x１≤x≤x２},且|x１|＋|x２|≤２．以下结论错 误的是 (　　 ) A．|a＋２b|≥２ B．|a＋２b|≤２ C．|a|≥１ D．b≤１ [解析]　因为不等式x２＋ax＋b≤０(a,b∈R)的 解集为{x|x１≤x≤x２}, 则x１,x２ 是方程x２＋ax＋b＝０的两个实数根, x１x２＝b,又因为|x１|＋|x２|≤２, 不妨令a＝－１,b＝０,则x１＝０,x２＝１,但|a＋２b| ＝１,故A不成立,符合题意;令a＝２,b＝１,则x１ ＝x２＝－１,但|a＋２b|＝４,故B不成立,符合题 意;令a＝０,b＝－１,则x１＝－１,x２＝１,但|a|＝ ０,故C不成立,符合题意;b＝x１x２≤ x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤ |x１|＋|x２| ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤１,故D成立,不符合题意． [答案]　ABC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路 (１)牢记二次函数的基本性质． (２)含参的注意利用根与系数的关系找关系进行 代换． １．(多选)已知关于x的不等式ax２＋bx＋c＞０的解 集是{x|１＜x＜３},则 (　　 ) A．a＜０ B．a＋b＋c＝０ C．４a＋２b＋c＜０ D．不等式cx２－bx＋a＜０的解集是 x|x＜－１{ 或x＞－１３} 解析:ABD　[由题意可知,１,３是方程ax２＋bx＋c ＝０的两个根,且a＜０, －ba＝４ , c a＝３ , ì î í ï ï ï ï ⇒ b＝－４a, c＝３a,{ 由以上可知a＜０,故A正确;当x＝１时,代入方程 可得a＋b＋c＝０,故B正确;因为１＜２＜３,不等式 ax２＋bx＋c＞０的解集是{x|１＜x＜３},故将x＝２ 代入不等式左边为４a＋２b＋c＞０,故C错误;原不 等式可变为３ax２＋４ax＋a＜０,且a＜０,约分可得 ３x２＋４x＋１＞０,解集为 x|x＜－１或x＞－１３{ }, 故D正确．] ２．(２０２５􀅰河北唐山月考)已知关于x的不等式 ax２－(３a＋１)x＋３＜０． (１)当a＝－２时,解此不等式; (２)当a＞０时,解此不等式． 解:(１)当a＝－２时,不等式－２x２＋５x＋３＜０, 整理得(２x＋１)(x－３)＞０,解得x＜－１２ 或x＞３, 当a＝－２时,原不等式解集为 xx＜－１２ 或x＞３}{ ． (２)当a＞０时,不等式ax２－(３a＋１)x＋３＜０, 整理得(x－３)x－１a æ è ç ö ø ÷＜０, 当a＝１３ 时,１ a＝３ ,此时不等式无解; 当０＜a＜１３ 时,１ a＞３ ,解得３＜x＜１a ; 当a＞１３ 时,１ a＜３ ,解得１ a＜x＜３ ; 综上,当a＝１３ 时,解集为⌀; 当０＜a＜１３ 时,解集为 x３＜x＜１a }{ ; 当a＞１３ 时,解集为 x １a＜x＜３}{ ． 　　 　与一元二次不等式有关的恒成立问题 ▶[命题点１]　在实数R上的恒成立 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例１]　若一元二次不等式２kx２＋kx－３８＜０ 对 一切实数x都成立,则k的取值范围为 (　　) A．(－３,０]　　　　　　　　　B．[－３,０) C．[－３,０] D．(－３,０) [解析]　２kx２＋kx－３８＜０ 对一切实数x都成立, 因为２kx２＋kx－３８＜０ 是 一 元 二 次 不 等 式,所 以k≠０． 则必有 ２k＜０, Δ＝k２－４×２k× －３８ æ è ç ö ø ÷＜０,{ 解得－３＜k＜０． [答案]　D ▶[命题点２]　在给定区间上的恒成立问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例２]　(２０２５􀅰浙江模拟)若关于x 的不等式 １０－x３ kx＋２x２－x３ ＞１对任意的x∈(０,２)恒成立,则实 数k的取值范围为　　　　． [解析]　由题意知:kx＋２x２－x３＞０, 即k＞x２－２x对任意的x∈(０,２)恒成立, ∴k≥０, 当x∈(０,２), １０－x ３ kx＋２x２－x３ ＞１, 得kx＋２x２－x３＜１０－x３, 即２x２＋kx－１０＜０对任意的x∈(０,２)恒成立,即 k＜１０－２x ２ x ＝ １０ x－２x 对任意的x∈(０,２)恒成立, 令f(x)＝１０x－２x ,f(x)在x∈(０,２)上单调递减, 所以f(x)＞f(２)＝１,所以k≤１, ∴０≤k≤１． [答案]　[０,１] ▶[命题点３]　给定参数范围的恒成立问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例３]　已知a∈[－１,１]时不等式x２＋(a－４)x ＋４－２a＞０恒成立,则x的取值范围为 (　　) A．(－∞,２)∪(３,＋∞) B．(－∞,１)∪(２,＋∞) C．(－∞,１)∪(３,＋∞) D．(１,３) [解析]　把不等式的左端看成关于a的一次函数, 记f(a)＝(x－２)a＋x２－４x＋４, 则由f(a)＞０对于任意的a∈[－１,１]恒成立, 所以f(－１)＝x２－５x＋６＞０, 且f(１)＝x２ －３x＋２＞０ 即 可,解 不 等 式 组 x２－５x＋６＞０, x２－３x＋２＞０,{ 得x＜１或x＞３． [答案]　C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 恒成立问题求解思路 (１)一元二次不等式在 R上恒成立确定参数的范 围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解． (２)一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确定参 数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值, 让最小值大于等于０,从而求参数的范围． (３)一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成立确定x 的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围, 就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数． １．(多选)(２０２５􀅰齐齐哈尔模拟)若不等式sin２x－ asinx＋２≥０对任意的x∈ ０,π２ æ è ç ] 恒成立,则实数 a可能是 (　　) A．１　　　　B．２　　　　C．３　　　　D．４ 解析:ABC　[设t＝sinx,∵x∈ ０,π２ æ è ç ],∴t∈(０,１], 则 不 等 式 sin２x－asinx＋２≥０ 对 任 意 x∈ ０,π２ æ è ç ] 恒成立, 即转化为不等式t２－at＋２≥０在t∈(０,１]上恒 成立, 即转化为a≤t ２＋２ t ＝t＋ ２ t 在t∈(０,１]上恒成立, 由对勾函数知y＝t＋２t 在t∈(０,１]上单调递减, ymin＝１＋ ２ １＝３ ,∴a≤３．] ２．若命题“∃a∈[－１,３],ax２－(２a－１)x＋３－a＜０” 为假命题,则实数x的取值范围为 (　　) A．[－１,４] B．０,５３[ ] C．[－１,０]∪ ５３ ,４[ ] D．[－１,０)∪ ５３ ,４æ è ç ] 解析:C　[命题“∃a∈[－１,３],ax２－(２a－１)x＋ ３－a＜０”为假命题,其否定为真命题, 即“∀a∈[－１,３],ax２－(２a－１)x＋３－a≥０”为真 命题．令g(a)＝ax２－２ax＋x＋３－a ＝(x２－２x－１)a＋x＋３≥０, 则 g (－１)≥０, g(３)≥０,{ 即 －x２＋３x＋４≥０, ３x２－５x≥０,{ 解得 －１≤x≤４, x≥５３ 或x≤０,{ 所以实数x的取值范围为 [－１,０]∪ ５３ ,４[ ]．] 　　　一元二次不等式的实际应用 [典例]　某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为 １０万元/辆,出厂价为１２万元/辆,年销售量为１００００ 辆．本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度 增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (０＜x＜１),则出厂价相应地提高比例为０．７５x,同时 预计年销售量增加的比例为０．６x,已知年利润＝(出 厂价－投入成本)×年销售量． (１)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的 比例x 的关系式; (２)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投 入成本增加的比例x应在什么范围内? [解]　(１)由题意得y＝[１２(１＋０．７５x)－１０(１＋ x)]×１００００×(１＋０．６x)(０＜x＜１), 整理得y＝－６０００x２＋２０００x＋２００００(０＜x＜１)． (２)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必 须有 y－ (１２－１０)×１００００＞０, ０＜x＜１,{ 即 －６０００x２＋２０００x＞０, ０＜x＜１,{ 解得０＜x＜ １ ３ , 所以投入成本增加的比例应在 ０,１３ æ è ç ö ø ÷范围内． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求解不等式应用题的四个步骤 某商品每件成本价为８０元,售价为１００元,每天售 出１００件．若售价降低x 成(１成＝１０％),售出商 品数量就增加８ ５x 成．要求售价不能低于成本价． (１)设该商店一天的营业额为y,试求y 与x 之间 的函数关系式y＝f(x),并写出定义域; (２)若再要求该商品一天营业额至少为１０２６０元, 求x的取值范围． 解:(１)由题意,得 y＝１００１－x１０ æ è ç ö ø ÷􀅰１００１＋８５０x æ è ç ö ø ÷． 因为售价不能低于成本价, 所以１００１－x１０ æ è ç ö ø ÷－８０≥０． 所以y＝f(x)＝４０(１０－x)(２５＋４x),定义域为 x∈[０,２]． (２)由题意得４０(１０－x)(２５＋４x)≥１０２６０,化简得 ８x２－３０x＋１３≤０,解得１２≤x≤ １３ ４ , 所以x的取值范围是 １２ ,２[ ]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式