1.3 第2课时 不等式基本不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

２．(２０２５􀅰北京西城一模)设实数a,b,c满足a２＋b２ ≤c≤１,则a＋b＋c的最小值为 (　　 ) A．２２－１　　　　B．－ １ ２ C．－ ２２ D．－１ 解析:B　[由a２＋b２≤c≤１,可得: a＋b＋c≥a＋b＋a２＋b２ ＝ a＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ b＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ －１２≥－ １ ２ ,当a＝b＝ －１２ 时取等号,所以a＋b＋c的最小值为－１２． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　基本不等式 ★[课程标准] １．掌握基本不等式 ab≤a＋b２ (a,b≥０)．２．结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 　　　　　　　　学生用书　P９ １．基本不等式:ab≤a＋b２ ． (１)基本不等式成立的条件:a≥０,b≥０． (２)等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号． ２．算术平均数与几何平均数 设a≥０,b≥０,则a,b的算术平均数为a＋b２ ,几何平 均数为 ab,基本不等式可叙述为:两个非负实数 的算术平均数大于或等于它们的几何平均数． ３．利用基本不等式求最值 已知x≥０,y≥０,则 (１)如果积xy是定值p,那么当且仅当x＝y时,x＋y 有最小值是２ p(简记:积定和最小)． (２)如果和x＋y是定值s,那么当且仅当x＝y时,xy 有最大值是s ２ ４ (简记:和定积最大)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 几个重要的不等式 (１)a２＋b２≥２ab(a,b∈R),当且仅当a＝b时取等号． (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a＝b 时取 等号． (３)a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a＝b时取 等号． (４)ba＋ a b≥２ (a,b同号),当且仅当a＝b时取等号． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝x＋１x 的最小值是２． (　　) (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ 成立的条件是ab＞０． (　　) (３)x＞０且y＞０是xy＋ y x≥２ 的充要条件． (　　) (４)若a＞０,则a３＋１ a２ 的最小值是２ a． (　　) (５)(a＋b)２≥４ab(a,b∈R)． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√ ◆[小题查验] １．(多选)下列不等式的证明过程正确的是 (　　) A．若a＜０,b＜０,则ba＋ a b≥２ b a 􀅰a b ＝２ B．若x,y∈(０,＋∞),则lgx＋lgy≥２ lgxlgy C．若x为负实数,则x＋４x≥－２ x 􀅰４ x＝－４ D．若x为负实数,则２x＋２－x≥２ ２x􀅰２－x＝２ 解析:AD　[由a＜０,b＜０,可得ba＞０ ,a b＞０ ,则由 基本不等式可得,b a ＋ a b≥２ b a 􀅰a b ＝２ ,故A正 确;x,y∈R时,lgx,lgy有可能为０或负数,不符 合基本不等式的条件,B错误;若x＜０,则x＋４x＝ － －x＋ －４x æ è ç ö ø ÷[ ]≤－２ (－x)􀅰 －４x æ è ç ö ø ÷ ＝－４, C错误;x＜０时,２x＞０,由基本不等式可得,２x＋ ２－x≥２,故D正确．] ２．函数f(x)＝x２＋１x２ ＋２x＋２x ,x＜０的最小值为 (　　 ) A．－３　　　　B．－２　　　　C．１　　　　D．６ 解析:B　[f(x)＝x２＋１x２ ＋２x＋２x＝ x＋ １ x æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２x＋１x æ è ç ö ø ÷－２,x＜０,令t＝x＋１x ,由x＜０,则t＝ － －x＋ １－x æ è ç ö ø ÷≤－２,当且仅当x＝－１时取等号, 所以f(t)＝t２＋２t－２(t≤－２),二次函数的图象开口 向上,对称轴t＝－１,所以函数f(t)在(－∞,－２] 上单调递减,所以f(t)min＝f(－２)＝(－２)２－２×２ －２＝－２．] ３．若函数f(x)＝x＋ １x－２ (x＞２)在x＝a处取最小 值,则a＝ (　　) A．１＋ ２ B．１＋ ３ C．３ D．４ 解析:C　[当x＞２时,x－２＞０,f(x)＝(x－２)＋ １ x－２＋２≥２ (x－２)× １x－２＋２＝４ ,当且仅当x－２＝ １ x－２ (x＞２),即x＝３时取等号,即当f(x)取最小 值时,即a＝３．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 ４．(BSD必修第一册P２９例５(１)改编)若把总长为 ２０m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大 面积是　　　　． 解析:设矩形场地的长为xm,宽为ym,则x＋y＝ １０,所以S＝xy≤ x＋y２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２５,当且仅当x＝y＝５时 取等号,故矩形场地的最大面积为５m×５m＝２５m２． 答案:２５m２ ５．(忽视等号是否成立)函数y＝ x ２＋５ x２＋４ 的最小值为 　　　　． 解析:y＝x ２＋５ x２＋４ ＝x ２＋４＋１ x２＋４ ＝ x２＋４＋ １ x２＋４ , 令t＝ x２＋４≥２,y＝t＋１t 在t≥２时是单调递增 的,∴y＝t＋１t≥２＋ １ ２＝ ５ ２． 故 函 数 的 最 小 值 是５ ２． 答案:５ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１０ 　　　　利用基本不等式求最值 ▶[命题点１]　通过配凑法利用基本不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例１]　(１)(２０２５􀅰上海高三模拟)函数y＝log２x＋ １ log４(２x) 在区间 １ ２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷上的最小值为　　　　． [解析]　y＝log２x＋ １ log４(２x) ＝log２x＋ ２ １＋log２x , 因为x∈ １２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷,所以log２x∈(－１,＋∞), 故１＋log２x∈(０,＋∞), 故y＝(１＋log２x)＋ ２ １＋log２x －１ ≥２ (１＋log２x)􀅰 ２ １＋log２x －１＝２ ２－１, 当且仅当１＋log２x＝ ２ １＋log２x ,即x＝２２－１时,等 号成立． [答案]　２ ２－１ (２)(２０２５􀅰 安 徽 芜 湖 期 末)函 数 f(x)＝ (x２＋１)(１６x２＋１) ４x２＋１ 的最大值是 (　　 ) A．２　　　B．７４　　　C． ５ ４　　　D． ３ ４ [解析]　由题意,函数f(x)＝ (x２＋１)(１６x２＋１) ４x２＋１ ＝ (x２＋１)(１６x２＋１) (４x２＋１)２ ＝ １６x ４＋１７x２＋１ １６x４＋８x２＋１ ＝ １＋ ９x ２ １６x４＋８x２＋１ ＝ １＋ ９ １６x２＋８＋１ x２ ,又由１６x２＋１ x２ ≥８,当且仅当 １６x２＝ １ x２ ,即 x＝ ±１２ 时 等 号 成 立,所 以 １＋ ９ １６x２＋８＋１ x２ ≤２５１６ ,所以 １＋ ９ １６x２＋８＋１ x２ ≤５４ ,即 函数f(x)的最大值是５４． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添 项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式, 然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实 质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键． ▶[命题点２]　通过常数代换法利用基本不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例２]　(１)(２０２５􀅰河南夏邑模拟)已知x,y均为 正数,若２ x＋ ６ y＝１ ,则当３x＋y 取得最小值时, x＋y的值为 (　　) A．１６　　　B．４　　　 C．２４　　　D．１２ [解析]　因为２x＋ ６ y＝１ , 所以３x＋y＝(３x＋y)２x＋ ６ y æ è ç ö ø ÷＝６＋１８xy ＋ ２y x ＋６ ≥１２＋２ １８xy 􀅰２y x ＝２４ , 当且仅当１８x y ＝ ２y x ,即y＝３x时取等号, 又因为２ x＋ ６ y＝１ ,所以x＝４,y＝１２, 所以x＋y＝１６． [答案]　A (２)(２０２５􀅰江苏常州市模拟)已知a,b为正实数, 且a＋b＝２,则a ２＋２ a ＋ b２ b＋１ 的最小值为　　　　, 此时a＝　　　　． [解析]　∵a,b为正实数,且a＋b＝２, ∴a ２＋２ a ＋ b２ b＋１＝a＋ ２ a＋ b２－１＋１ b＋１ ＝２a＋a＋b－１＋ １ b＋１＝１＋ ２ a＋ １ b＋１ ＝１＋１３ ２ a＋ １ b＋１ æ è ç ö ø ÷[a＋(b＋１)] ＝１＋１３ ３＋ ２(b＋１) a ＋ a b＋１[ ] ≥１＋１３ (３＋２ ２)＝６＋２ ２３ , 当且仅当 ２(b＋１) a ＝ a b＋１ , a＋b＝２,{ 即a＝６－３ ２,b＝３ ２－４时取“＝”． [答案]　６＋２ ２３ 　６－３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本 步骤 (１)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (２)把确定的定值(常数)变形为１; (３)把“１”的表达式与所求最值的表达式相乘或相 除,进而构造和或积为定值的形式; (４)利用基本不等式求解最值． ▶[命题点３]　通过消元法利用基本不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例３]　已知x＞０,y＞０,x＋３y＋xy＝９,则x＋ ３y的最小值为　　　　． [解析]　法一:(换元消元法):由已知得x＋３y＝ ９－xy, 因为x＞０,y＞０,所以x＋３y≥２ ３xy, 所以３xy≤ x＋３y２ æ è ç ö ø ÷ ２ ,当且仅当x＝３y,即x＝３, y＝１时取等号, 即(x＋３y)２＋１２(x＋３y)－１０８≥０． 令x＋３y＝t,则t＞０且t２＋１２t－１０８≥０, 得t≥６,即x＋３y的最小值为６． 法二:(代入消元法):由x＋３y＋xy＝９, 得x＝９－３y１＋y ,所以x＋３y＝９－３y１＋y＋３y ＝９－３y＋３y (１＋y) １＋y ＝９＋３y ２ １＋y ＝ ３(１＋y)２－６(１＋y)＋１２ １＋y ＝３(１＋y)＋ １２１＋y－６≥２ ３ (１＋y)􀅰 １２１＋y－６ ＝１２－６＝６．即x＋３y的最小值为６． [答案]　６ ◉[互动探究] 本例条件不变,求xy的最大值． 解:法一:９－xy＝x＋３y≥２ ３xy, ∴９－xy≥２ ３xy, 令 xy＝t,∴t＞０,∴９－t２≥２ ３t, 即t２＋２ ３t－９≤０, 解得０＜t≤ ３,∴ xy≤ ３,∴xy≤３, 当且仅当x＝３y,即x＝３,y＝１时取等号, ∴xy的最大值为３． 法二:∵x＝９－３y１＋y ,∴x􀅰y＝９－３y１＋y 􀅰y＝９y－３y ２ １＋y ＝－３ (y＋１)２＋１５(y＋１)－１２ y＋１ ＝ －３ (y＋１)－ １２ y＋１＋１５≤－２ ３ (y＋１)􀅰 １２y＋１＋１５＝３． 当且仅当３(y＋１)＝ １２y＋１ ,即y＝１,x＝３时取等 号．∴xy的最大值为３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考 虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数” 或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值． ▶[命题点４]　利用两次基本不等式求最值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例４]　已知a＞b＞０,那么a２＋ １b(a－b) 的最小值 为　　　　． [解析]　由a＞b＞０,得a－b＞０, ∴b(a－b)≤ b＋a－b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝a ２ ４． ∴a２＋ １b(a－b)≥a ２＋４ a２ ≥２ a２􀅰４ a２ ＝４, 当且仅当b＝a－b且a２＝４ a２ ,即a＝ ２,b＝ ２２ 时取 等号． ∴a２＋ １b(a－b) 的最小值为４． [答案]　４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 两次利用基本不等式求最值的注意点 当连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否 能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性． １．(多选)(２０２５􀅰海南期末)若x,y满足x２＋y２＋xy ＝１,则 (　　) A．x＋y≤２ ３３ B．x＋y≥－１ C．x２＋y２≤３２ D．x ２＋y２≥２３ 解析:AD　[因 为ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤a ２＋b２ ２ (a,b∈ R),由x２＋y２＋xy＝１可变形为(x＋y)２－１＝xy ≤ x＋y２ æ è ç ö ø ÷ ２ ,解得－２ ３３ ≤x＋y≤ ２ ３ ３ ,当且仅当x ＝y＝－ ３３ 时,x＋y＝－２ ３３ ,当且仅当x＝y＝ ３３ 时,x＋y＝２ ３３ ,故A正确,B错误; 由x２＋y２＋xy＝１可变形为(x２＋y２)－１＝－xy≥ －x ２＋y２ ２ ,解得x２＋y２≥２３ , 当且仅当x＝y＝± ３３ 时取等号,故D正确; 因为x２＋y２＋xy＝１变形可得 x＋y２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４y ２＝１, 设x＋y２＝cosθ ,３ ２y＝sinθ , 所以x＝cosθ－１ ３ sinθ,y＝２ ３ sinθ, 因此x２＋y２＝cos２θ＋５３sin ２θ－２ ３ sinθcosθ ＝１－１ ３ sin２θ－１３cos２θ＋ １ ３ ＝４３－ ２ ３sin２θ＋ π ６ æ è ç ö ø ÷∈ ２３ ,２[ ],所以当２θ＋π６＝ －π２ 时,即θ＝－π３ 时,此时x＝１,y＝－１,x２＋y２ 取到最大值２,故C错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 ２．若正数x,y满足x２＋６xy－１＝０,则x＋２y的最小 值是 (　　) A．２ ２３ 　　　B． ２ ３　　　C． ３ ３　　　D． ２ ３ ３ 解析:A　[因为正数x,y满足x２＋６xy－１＝０,所以 y＝１－x ２ ６x ． 由 x＞０, y＞０,{ 即 x＞０, １－x２ ６x ＞０ ,{ 解 得０＜x＜１． 所以x ＋２y＝x＋１－x ２ ３x ＝ ２x ３＋ １ ３x≥２ ２x ３ 􀅰１ ３x ＝２ ２３ ,当且仅当２x ３＝ １ ３x ,即x＝ ２２ ,y＝ ２１２ 时取等 号．故x＋２y的最小值为２ ２３ ． ] ３．(２０２５􀅰许昌、洛阳第三次质量检测)已知x＞０,y ＞０,且 １x ＋ ２ y ＝１ ,则 xy＋x＋y 的 最 小 值 为　　　　． 解析:因为１ x＋ ２ y＝１ ,所以xy＝y＋２x,xy＋x＋y ＝３x＋２y＝(３x＋２y)􀅰 １x＋ ２ y æ è ç ö ø ÷＝７＋２yx ＋ ６x y ≥ ７＋４ ３(当且仅当y＝ ３x,即x＝１＋２ ３３ , y＝２＋ ３时取等号), 所以xy＋x＋y的最小值为７＋４ ３． 答案:７＋４ ３ 　　　基本不等式的综合应用 [典例]　(１)(２０２５􀅰临汾模拟)若 m＞n＞０,a＝ em􀅰en,b＝１２ (em＋en),c＝e mn,则 (　　) A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a [解析]　∵m＞n＞０,∴m＋n＞２ mn, ∴m＋n２ ＞ mn , ∴a＝ em＋n＝e m＋n ２ ＞e mn, 又b＝１２ (em＋en)＞ em􀅰en＝a,∴b＞a＞c． [答案]　A (２)(２０２５􀅰江苏模拟)已知x＞０,y＞０,且２x＋y ＝２,若mxym－１≤x＋２y 对任意的x＞０,y＞０恒成 立,则实数m 的取值不可能为 (　　) A．１２　　　B． ９ ８　　　 C． １０ ７　　　D．２ [解析]　由mxym－１≤x＋２y 对任意的x＞０,y＞０恒 成立,得 m m－１≤ x＋２y xy ＝ １ y＋ ２ x , 即 m m－１≤ １ y＋ ２ x æ è ç ö ø ÷ min , １ y＋ ２ x＝ １ ２ １ y＋ ２ x æ è ç ö ø ÷(２x＋y) ＝１２ ５＋ ２x y ＋ ２y x æ è ç ö ø ÷≥１２ ５＋２ ２x y 􀅰２y x æ è ç ö ø ÷＝９２ , 当且仅当２x y ＝ ２y x ,即x＝y＝２３ 时,等号成立, 即 m m－１≤ ９ ２ ,m m－１－ ９ ２≤０⇔ ９－７m ２(m－１)≤０ , 解得m≥９７ 或m＜１． [答案]　B (３)(２０２５􀅰辽宁二模)数学命题的证明方式有很多 种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图 形,在等腰直角三角形ABC中,点O 为斜边AB 的 中点,点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点,设 AD＝a,BD＝b,用该图形能证明的不等式为 (　　) A．a＋b２ ≥ ab (a＞０,b＞０) B．２aba＋b≤ ab (a＞０,b＞０) C．a＋b２ ≤ a２＋b２ ２ (a＞０,b＞０) D．a２＋b２≥２ab(a＞０,b＞０) [解析]　由题图知,OC＝１２AB＝ a＋b ２ ,OD＝|OB －BD|＝ a＋b２ －b ＝ a－b ２ ,在 Rt△OCD 中, CD＝ OC２＋OD２＝ a ２＋b２ ２ ,所以OC≤OD, 即a＋b ２ ≤ a２＋b２ ２ (a＞０,b＞０)． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 题型 求解策略 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断或证明不等 式或比较大小 对所给不等式(或式子)变形, 然后利用基本不等式求解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求 参 数 的 值 或 范围 观察题目特点,利用基本不等 式确定相关成立条件,从而得 参数的值或范围 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 与函数、数列、解 析几何等其他知 识结合的问题 利用已知条件进行转化,再利 用基本不等式求解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 高考总复习　数学(BS) １．(２０２５􀅰全国模拟)若两个正实数x,y满足４x＋y ＝xy且存在这样的x,y使不等式x＋y４＜m ２＋３m有 解,则实数m的取值范围是 (　　) A．(－１,４) B．(－４,１) C．(－∞,－４)∪(１,＋∞) D．(－∞,－３)∪(０,＋∞) 解析:C　 [由 ４x＋y＝xy⇒ １x ＋ ４ y ＝１ ,知 x＋y４ æ è ç ö ø ÷ １ x＋ ４ y æ è ç ö ø ÷ ＝１＋４xy ＋ y ４x ＋１≥２＋ ２ ４xy 􀅰y ４x＝４ ,当且仅当x＝２,y＝８时,等号成 立,则使不等式x＋y４＜m ２＋３m 有解,只需满足m２ ＋３m＞４即可,解得m∈(－∞,－４)∪(１,＋∞)．] ２．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, ∠ABC＝１２０°,∠ABC 的平分线交AC 于点D,且 BD＝１,则４a＋c的最小值为　　　　． 解析:法一:依题意画出图形,如图所示． 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC, 即１ ２csin６０°＋ １ ２asin６０° ＝１２acsin１２０° , ∴a＋c＝ac,∴１a＋ １ c＝１ , ∴４a＋c＝(４a＋c)１a＋ １ c æ è ç ö ø ÷＝５＋ca＋ ４a c≥９ , 当且仅当c a＝ ４a c ,即a＝３２ ,c＝３时取“＝”． 法二:以B 为原点,BD 所在直线 为x 轴建立如图所示的平面直角 坐标系, 则D(１,０),∵AB＝c,BC＝a, ∴A c ２ ,３ ２c æ è ç ö ø ÷,C a ２ ,－ ３２a æ è ç ö ø ÷． ∵A,D,C 三点共线,∴AD → ∥DC → ． ∴ １－c２ æ è ç ö ø ÷ － ３２a æ è ç ö ø ÷＋ ３２c a ２－１ æ è ç ö ø ÷＝０, ∴ac＝a＋c,∴１a＋ １ c＝１ , ∴４a＋c＝(４a＋c)１a＋ １ c æ è ç ö ø ÷＝５＋ca＋ ４a c≥９ , 当且仅当c a＝ ４a c ,即a＝３２ ,c＝３时取“＝”． 答案:９ 　　　基本不等式的实际应用 [典例]　(２０２５􀅰广东模拟)在足球比赛中,球员在对 方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是 不同的,出球点对球门的张角越大,射门的命中率 就越高．如图为室内５人制足球场示意图,设球场 (矩形)长BC大约为４０米,宽AB 大约为２０米,球 门长PQ 大约为４米．在某场比赛中有一位球员欲 在边线BC 上某点M 处射门(假设球贴地直线运 行),为使得张角∠PMQ 最大,则BM 大约为(精确 到１米) (　　) A．８米　　B．９米　　C．１０米　　D．１１米 [解析]　由题意知,PB＝８,QB＝１２,设∠PMB＝ α,∠QMB＝β,BM＝x,则tanα＝ ８ x ,tanβ＝ １２ x ,所 以tan∠PMQ＝tan(β－α)＝ １２ x－ ８ x １＋１２x 􀅰８ x ＝ ４x x２＋９６ ＝ ４ x＋９６x ≤ ４ ２ x􀅰９６x ＝ １ ２ ６ ,当且仅当x＝９６x ,即x ＝ ９６时取等号,又因为 ９６≈１０,所以BM 大约为 １０米． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 在利用基本不等式解决实际问题时,一定要注意所 涉及变量的取值范围,即定义域．若使基本不等式 等号成立的变量值不在定义域内时,则要研究函数 的单调性,利用单调性求最值． 某厂家拟在２０２４年举行促销活动,经调查测算,该 产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促 销费用m 万元(m≥０)满足x＝３－ km＋１ (k为常 数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能 是１万件．已知２０２３年生产该产品的固定投入为８ 万元．每生产１万件该产品需要再投入１６万元,厂 家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成 本的１􀆰５倍(产品成本包括固定投入和再投入两部 分资金)． (１)将２０２４年该产品的利润y万元表示为年促销 费用m 万元的函数; (２)该厂家２０２４年的促销费用投入多少万元时,厂 家的利润最大? 解:(１)由题意知,当m＝０时,x＝１,∴１＝３－k⇒k ＝２,∴x＝３－ ２m＋１ , 每万件产品的销售价格为１􀆰５×８＋１６xx (万元), ∴２０２４年的利润y＝１．５x×８＋１６xx －８－１６x－m ＝４＋８x－m＝４＋８３－ ２m＋１ æ è ç ö ø ÷－m ＝－ １６m＋１＋ (m＋１)[ ]＋２９(m≥０)． (２)∵m≥０时,１６m＋１＋ (m＋１)≥２ １６＝８, ∴y≤－８＋２９＝２１,当且仅当 １６m＋１＝m＋１⇒m＝３ (万元)时,ymax＝２１(万元)． 故该厂家２０２４年的促销费用投入３万元时,厂家 的利润最大为２１万元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 学生用书　P１２ １．三个正数的算术一几何平均不等式 如果a,b,c∈R＋,那么 a＋b＋c ３ ≥ ３ abc,当且仅当 a＝b＝c时,等号成立． ２．n个正数a１,a２,􀆺,an 的算术一几何平均不等式 对于n个正数a１,a２,􀆺,an,它们的算术平均数不 小 于 它 们 的 几 何 平 均 数,即a１＋a２＋ 􀆺＋an n ≥ n a１􀆺an 当且仅当 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　a１＝a２＝􀆺＝an 时,等号成立． [典例]　(多选)三元均值不等式:“当a,b,c均为正 实数时,a＋b＋c ３ ≥ ３ abc,即三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数,当且仅当a＝b＝c时, 等号成立．”利用上面结论,判断下列不等式成立 的是 (　　) A．若x＞０,则x２＋２x≥３ B．若０＜x＜１,则x２(１－x)≤１９ C．若x＞０,则２x＋１ x２ ≥３ D．若０＜x＜１,则x(１－x)２≤１９ [解析]　对于 A,x＞０,x２＋２x＝x ２＋１x＋ １ x≥ ３ ３ x２􀅰１x 􀅰１ x＝３ ,故A正确;对于B,∵０＜x＜１, ∴１－x＞０,x２(１－x)＝１２x 􀅰x􀅰(２－２x)≤ １ ２ x＋x＋２－２x ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝４２７ ,故B错误;对于C,x＞０, ２x＋１ x２ ＝x＋x＋１ x２ ≥３ ３ x􀅰x􀅰１ x２ ＝３,故C正 确;对于D,∵０＜x＜１,∴１－x＞０,x(１－x)２＝ １ ２×２x (１－x)(１－x)≤１２ ２x＋１－x＋１－x ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ４ ２７ ,故D错误． [答案]　AC 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理 求最值,可简记为“积定和最小,和定积最大”． (２)应用算术—几何平均不等式定理,要注意三个 条件即“一正二定三相等”同时具备时,函数方 可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式 应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如: 配系数、拆项、分离常数、平方变形等． (３)当不具备使用平均不等式定理的条件时,求函 数的最值可考虑利用函数的单调性． 若实数x,y满足xy＞０,且x２y＝２,则xy＋x２ 的 最小值是 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:C　 [xy＋x２ ＝ １２xy＋ １ ２xy＋x ２ ≥ ３ ３ １ ２xy 􀅰１ ２xy 􀅰x２＝３ ３ １ ４ (x２y)２＝３ ３ ４ ４＝３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P１２ １．二维形式的柯西不等式 (a２＋b２)(c２＋d２)≥(ac＋bd)２(a,b,c,d∈R,当且 仅当ad＝bc时,等号成立)． ２．二维形式的柯西不等式的变式 (１)a２＋b２􀅰 c２＋d２≥|ac＋bd|(a,b,c,d∈R,当且 仅当ad＝bc时,等号成立)． (２)a２＋b２􀅰 c２＋d２≥|ac|＋|bd|(a,b,c,d∈R,当 且仅当ad＝bc时,等号成立)． (３)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋ bd)２(a,b,c,d≥０,当且 仅当ad＝bc时,等号成立)． ３．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α􀅰β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量,或存在实 数k,使α＝kβ时,等号成立)． [典例]　已知x,y∈R,３x２＋２y２≤６,求２x＋y 的 最值． [解]　方法一　由柯西不等式得 (２x＋y)２≤[(３x)２＋(２y)２] ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ é ë êê ù û úú ＝(３x２＋２y２)４３＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷≤１１． 当且仅当 ３x􀅰１ ２ ＝ ２y􀅰２ ３ , 即 x＝４ １１１１ , y＝３ １１１１ ì î í ï ï ï ï 或 x＝－４ １１１１ , y＝－３ １１１１ ì î í ï ï ï ï 时等号成立, 于是２x＋y的最大值为 １１,最小值为－ １１． 方法二　由柯西不等式得|２x＋y|≤ 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　(３x)２＋(２y)２ ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ (３x２＋２y２)４３＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷≤ １１, 当且仅当 ３x􀅰１ ２ ＝ ２y􀅰２ ３ , 即 x＝４ １１１１ , y＝３ １１１１ ì î í ï ï ï ï 或 x＝－４ １１１１ , y＝－３ １１１１ ì î í ï ï ï ï 时等号成立, 于是２x＋y的最大值为 １１,最小值为－ １１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 掌握柯西不等式及其变式的结构,常用巧拆常数、 重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法． 设a＝(１,－２),b＝(x,y),若x２＋y２＝１６,则a􀅰b 的最大值为　　　　． 解析:∵a＝(１,－２),b＝(x,y), ∴a􀅰b＝x－２y． 由柯西不等式的向量形式可得 [１２＋(－２)２](x２＋y２)≥(x－２y)２, 即５×１６≥(x－２y)２, ∴－４ ５≤x－２y≤４ ５,(∗) 当且仅当b＝ka, 即 x＝４ ５５ , y＝－８ ５５ ì î í ï ï ï ï 时,(∗)式中右边等号成立, 或 x＝－４ ５５ , y＝８ ５５ ì î í ï ï ï ï 时,(∗)式中左边等号成立, ∴当x＝４ ５５ ,y＝－８ ５５ 时, a􀅰b的最大值为４ ５． 答案:４ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第４节　一元二次函数与一元二次不等式 ★[课程标准] １．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义． ２．能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集． ３．借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 　　　　　　　　学生用书　P１３ １．一元二次不等式的概念 (１)一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次 数是２的不等式叫作一元二次不等式． (２)使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的 集合叫作这个一元二次不等式的解集． ２．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方 程的关系 判别式 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 y＝ax２＋bx＋c (a＞０)的图象 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝０ (a＞０)的根 有 两 相 异 实 根 x１, x２ (x１ ＜ x２) 有两相 等 实 根x１＝x２＝ －b２a 没有 实数根 ax２＋bx＋c＞ ０(a＞０)的 解集 {x|x ＜ x１,或x＞ x２} x|x≠－b２a{ } R ax２＋bx＋c＜ ０(a＞０)的 解集 {x|x１＜x ＜x２} ⌀ ⌀ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 (１)x－ax－b＞０ 等价于(x－a)(x－b)＞０． (２)x－ax－b＜０ 等价于(x－a)(x－b)＜０． (３)x－ax－b≥０ 等价于 (x－a)(x－b)≥０, x－b≠０．{ (４)x－ax－b≤０ 等价于 (x－a)(x－b)≤０, x－b≠０．{ ２．不等式ax２＋bx＋c＞０(＜０)恒成立的条件要结合 其对应的函数图象决定． ①不等式ax２＋bx＋c＞０对任意实数x恒成立⇔ a＝b＝０, c＞０{ 或 a＞０, Δ＜０．{ ②不等式ax２＋bx＋c＜０对任意实数x恒成立⇔ a＝b＝０, c＜０{ 或 a＜０, Δ＜０．{ ３．关注点 ①对于不等式ax２＋bx＋c＞０,求解时不要忘记 a＝０时的情形． ②当Δ＜０时,不等式ax２＋bx＋c＞０(a≠０)的解 集为R还是⌀,要注意区别． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)若不等式ax２＋bx＋c＜０的解集为(x１,x２),则 必有a＞０． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式