1.3 第1课时 不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第３节　不等式 第１课时　不等式的性质 ★[课程标准] １．了解现实世界和日常生活中的不等关系．２．了解不等式(组)的实际背景．３．掌握不等式的性质及应用． 　　　　　　　　学生用书　P７ １．两个实数比较大小的方法 (１)作差法 a－b＞０⇔a＞b, a－b＝０⇔a＝b, a－b＜０⇔a＜b．{ (２)作商法 a b＞１⇔a＞b (a∈R,b＞０), a b＝１⇔a＝b (a∈R,b＞０), a b＜１⇔a＜b (a∈R,b＞０)． ì î í ï ï ï ï ï ï ２．不等式的性质 性质 性质内容 注意 性质１ 如果a＞b且b＞c,那么a＞c ⇒ 性质２ 如果a＞b,那么a＋c＞b＋c ⇔ 性质３ 如果a＞b,c＞０那么ac＞bc; 如果a＞b,c＜０那么ac＜bc c 的符号 性质４ 如果a＞b,c＞d,那么a＋c＞b＋d ⇒ 性质５ 如果a＞b＞０,c＞d＞０,那么ac ＞bd 如果a＞b＞０,c＜d＜０,那么ac ＜bd ⇒ 性质６ 当a＞b＞０时, n a＞ n b(n∈ N＋,n≥２) a,b同 为正数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 不等式的一些常用性质 １．倒数性质的几个必备结论 (１)a＞b,ab＞０⇒１a＜ １ b ;(２)a＜０＜b⇒１a＜ １ b． ２．两个重要不等式 若a＞b＞０,m＞０,则 (１)ba＜ b＋m a＋m ;b a＞ b－m a－m (b－m＞０); (２)ab＞ a＋m b＋m ;a b＜ a－m b－m (b－m＞０)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数, 不等号方向不变． (　　) (２)一个非零实数越大,则其倒数就越小． (　　) (３)同向不等式具有可加和可乘性． (　　) (４)a＞b＞０,c＞d＞０⇒ad＞ b c． (　　) (５)若ab＞０,则a＞b⇔１a＜ １ b． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)√　(５)√ ◆[小题查验] １．设M＝x２,N＝－x－１,则M 与N 的大小关系是 (　　) A．M ＞N　　　　　　　　B．M＝N C．M＜N D．与x有关 解析:A　[M－N＝x２＋x＋１＝ x＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４＞ ０,所以 M＞N．] ２．若a,b都是实数,则“a－b＞０”是“a２－b２＞０”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:A　[a－b＞０⇒a＞b≥０⇒a２＞b２⇒a２－b２ ＞０,反之不成立,∴“a－b＞０”是“a２－b２＞０”的 充分不必要条件．] ３．(多选)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为 (　　) A．若a＞b,则１a＜ １ b B．若a＞b,则ac２≥bc２ C．若a＞０＞b,则a２＜－ab D．若c＞a＞b＞０,则 ac－a＞ b c－b 解析:BD　[根据a＞b,取a＝１,b＝－１,则１a＜ １ b 不 成立,故A错误;∵a＞b,∴由不等式的基本性质知 ac２≥bc２ 成立,故B正确;由a＞０＞b,取a＝１,b＝－１, 则a２＜－ab不成立,故C错误;∵c＞a＞b＞０,∴(a－ b)c＞０,∴ac－ab＞bc－ab,即a(c－b)＞b(c－a),∵c－ a＞０,c－b＞０,∴ ac－a＞ b c－b ,故D正确．] ４．(BSD必修第一册P２６练习T５ 改编)已知a,b,c∈ R,且a＞b,则下列不等式中成立的是 (　　) A．ac＞bc B．１a＜ １ b C．a２＞b２ D．a＋c＞b＋c 解析:D　[当c≤０时,不等式ac＞bc不成立,故A 不正确;当a＞０,b＜０时,不等式１a＜ １ b 不成立,故 B不正确;当a＝－１,b＝－２时,不等式a２＞b２ 不 成立,故 C不 正 确;由 不 等 式 的 性 质 知,选 项 D 正确．] ５．(忽视不等式的性质致误)若实数a,b满足０＜a＜２, ０＜b＜１,则a－b的取值范围是　　　　． 解析:∵０＜b＜１,∴－１＜－b＜０,∵０＜a＜２, ∴－１＜a－b＜２． 答案:(－１,２) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 高考总复习　数学(BS) 　　　　　　　　学生用书　P８ 　　　比较两个数(式)的大小 [典例]　(１)(２０２５􀅰重庆模拟)若０＜b＜a＜１e ,x＝ a＋beb,y＝b＋aea,z＝b＋aeb,则 (　　) A．x＜z＜y　　　　　　B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x [解析]　∵x＝a＋beb,y＝b＋aea,z＝b＋aeb, ∴y－z＝a(ea－eb), 又a＞b＞０,e＞１,∴ea＞eb,∴y＞z, z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－１),又a＞ b＞０,eb＞１∴z＞x, 综上,x＜z＜y． [答案]　A (２)已知 M＝e ２０２３＋１ e２０２４＋１ ,N＝e ２０２４＋１ e２０２５＋１ ,则 M,N 的大 小关系为　　　　． [解析]　法一:M－N＝e ２０２３＋１ e２０２４＋１ －e ２０２４＋１ e２０２５＋１ ＝ (e２０２３＋１)(e２０２５＋１)－(e２０２４＋１)２ (e２０２４＋１)(e２０２５＋１) ＝e ２０２３＋e２０２５－２e２０２４ (e２０２４＋１)(e２０２５＋１) ＝ e ２０２３(e－１)２ (e２０２４＋１)(e２０２５＋１) ＞０, ∴M＞N． 法二:令 f(x)＝ e x＋１ ex＋１＋１ ＝ １ e (ex＋１＋１)＋１－１e ex＋１＋１ ＝１e＋ １－１e ex＋１＋１ ,显然f(x)是R上的减函数, ∴f(２０２３)＞f(２０２４),即 M＞N． [答案]　M＞N 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 比较两个数大小的常用方法 (１)作差法:其基本步骤为:作差、变形、判断符号、得 出结论,用作差法比较大小的关键是判断差的正 负,常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等 变形方法． (２)作商法:即判断商与１的关系,得出结论,要特 别注意当商与１的大小确定后必须对商式分子 分母的正负做出判断,这是用作商法比较大小 时最容易漏掉的关键步骤． (３)特值验证法:对于一些小题目,有的给出取值范 围,可采用特值验证法比较大小． (４)构造函数法:若几个量形式相同,可构造函数, 使得几个量可能视为该函数的出数值,则只需 判断函数的单调性即可比较大小． １．希罗平均数(Heronianmean)是两个非负实数的一 种平均,若a,b是两个非负实数,则它们的希罗平 均数H＝a＋ ab＋b３ ． 记A＝a＋b２ ,G＝ ab,则A, G,H 从小到大的关系为　　　　．(用“≤”连接) 解析:由基本不等式可知,G≤A,当且仅当a＝b时 等号成立;因为 H－G＝a＋ ab＋b３ － ab ＝a－２ ab＋b３ ＝ (a－b)２ ３ ≥０ ,当 且 仅 当 a＝ b,即a＝b时等号成立,所以 H≥G;因为 H－A＝ a＋ ab＋b ３ － a＋b ２ ＝ －a＋２ ab－b ６ ＝－ (a－b)２ ６ ≤０,当且仅当 a＝ b,即a＝b时等号成立,所以 H≤A．综上所述,G≤H≤A,当且仅当a＝b时等 号成立． 答案:G≤H≤A ２．若a＝ln３３ ,b＝ln２２ ,比较a与b的大小． 解:因为a＝ln３３ ＞０ ,b＝ln２２ ＞０ ,所以a b ＝ ln３ ３ 􀅰 ２ ln２＝ ２ln３ ３ln２＝ ln９ ln８＝log８９＞１ , 所以a＞b． 　　　不等式的性质 １．(２０２５􀅰浙江模拟)已知x,y是正实数,则下列式子 中能使x＞y恒成立的是 (　　) A．x＋２y＞y＋ １ x B．x＋ １ ２y＞y＋ １ x C．x－２y＞y－ １ x D．x－ １ ２y＞y－ １ x 解析:B　[对于A,取x＝y,该不等式成立,但不满 足x＞y;对于C,该不等式等价于x＋１x＞y＋ ２ y , 取x→０,y＝１,该不等式成立,但不满足x＞y;对 于D,该不等式等价于x＋１x＞y＋ １ ２y ,取x→０,y ＝１,该不等式成立,但不满足x＞y;下面证明B: 法一:不等式等价于x－１x＞y－ １ ２y ,而x－１x＞y －１２y＞y－ １ y． 函数f(x)＝x－１x 在(０,＋∞)上单 增,故x＞y． 法二:若 x≤y,则 １２y＜ １ x ,故 x＋ １２y＜y＋ １ x , 矛盾．] ２．(２０２５􀅰北京房山模拟)已知a,b,c∈R,则下列命 题为假命题的是 (　　 ) A．若a＞b,则a＋c＞b＋c B．若a＞b＞０,则a０．４＞b０．４ C．若a＞b,则 １２ æ è ç ö ø ÷ a＋c ＜ １２ æ è ç ö ø ÷ b＋c D．若a＞b＞０,c＞０,则ba＞ b＋c a＋c 解析:D　[对于A,因为a＞b,所以a＋c＞b＋c,故 A结论正确;对于B,当a＞b＞０时,因为幂函数y ＝x０．４在(０,＋∞)上单调递增,所以a０．４＞b０．４,故B 结论正确;对于C,因为a＞b,所以a＋c＞b＋c,而 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 函数y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x 为减函数,所以 １ ２ æ è ç ö ø ÷ a＋c ＜ １２ æ è ç ö ø ÷ b＋c , 故 C 结 论 正 确;对 于 D,ba － b＋c a＋c ＝ b(a＋c)－a(b＋c) a(a＋c) ＝ c(b－a) a(a＋c) ,因为a＞b＞０,c＞０, 所以c(b－a)＜０,a(a＋c)＞０,所以ba － b＋c a＋c＝ c(b－a) a(a＋c)＜０ ,所以b a＜ b＋c a＋c ,故D结论错误．] ３．(多选)(２０２５􀅰黄冈中学模拟预测)已知a,b,c均 为非零实数,且a＞b＞c,则下列不等式中,一定成 立的是 (　　) A．ac＞bc B．ac２＞bc２ C．(a－b)c＜(a－c)c D．lna－ba－c＜０ 解析:BD　[对于A,取特殊值a＝２,b＝１,c＝－１, 满足a＞b＞c,但ac＜bc,故A不正确;对于B,因为 a,b,c均为非零实数,且a＞b＞c,所以c２＞０,所以 ac２＞bc２,故B正确;对于C,取特殊值a＝３,b＝２, c＝－１,满足非零实数a＞b＞c,此时(a－b)c＝(３ －２)－１＝１,(a－c)c＝(３－１)－１＝２－１＝１２ ,但(a－ b)c＞(a－c)c,故C不正确;对于D,因为a,b,c均 为非零实数,且a＞b＞c,所以－b＜－c,a－c＞０,a －b＞０,所以０＜a－b＜a－c,０＜a－ba－c＜１ ,所以 lna－ba－c＜ln１ ,即lna－ba－c＜０ ,故D正确．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断 或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式 的性质． (２)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要 判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到 与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假, 当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数 函数,指数函数的性质等． 　　　　不等式性质的综合应用 [典例]　(１)(２０２５􀅰江苏南通模拟)记 max{x１,x２, x３}表示x１,x２,x３ 这３个数中最大的数．已知a,b, c都是正实数,M＝maxa,１a＋ ２b c ,c b{ },则 M 的最 小值为 (　　 ) A．３　　　B．２　　　C．３ ３　　　D．３ ２ [解析]　因为 M＝maxa,１a＋ ２b c ,c b{ },所以a≤ M,cb≤M ,所以１ M＋ ２ M≤ １ a＋ ２b c≤M ,所以３ M≤M , 即 M≥ ３,当且仅当a＝cb ＝ ３ 时取等号,所以 M 的最小值为 ３． [答案]　A (２)(２０２５􀅰山东日照模拟)已知f(x)＝ax＋bx ,若 －３≤f(１)≤０,３≤f(２)≤６,求f(３)的取值范围． [解]　由题意,得 f(１)＝a＋b, f(２)＝２a＋b２ ,{ 解得a＝１３ [２f(２)－f(１)],b＝２３ [２f(１)－f(２)], 因此,f(３)＝３a＋b３＝ １６ ９f (２)－５９f (１),把f(１) 和f(２)的取值范围代入,得１６３≤f (３)≤３７３． ∴f(３)的取值范围是 １６３ ,３７ ３[ ]． ◉[互动探究] 若将本例(２)中条件改为设a＞０,b＞０,a≤２b≤ ２a＋b,则 ２ab a２＋２b２ 的取值范围为　　　　． 解析:根据a＞０,b＞０,由 a≤２b , ２b≤２a＋b,{ 解得 １ ２≤ a b≤２ , ２ab a２＋２b２ ＝ ２a b＋ ２b a ,令a b ＝t∈ １ ２ ,２[ ],则t＋２t∈ ２ ２,９２[ ],所以 ２ t＋２t ∈ ４ ９ ,２ ２ é ë êê ù û úú． 答案:４ ９ ,２ ２ é ë êê ù û úú 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但 应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二 是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量 的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体 与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性” 不等关系的运算求解范围． １．(多选)(２０２５􀅰山东模拟预测)已知实数x,y满足 －３＜x＋２y＜２,－１＜２x－y＜４,则 (　　) A．x的取值范围为(－１,２) B．y的取值范围为(－２,１) C．x＋y的取值范围为(－３,３) D．x－y的取值范围为(－１,３) 解析:ABD　[因为－１＜２x－y＜４,所以－２＜４x －２y＜８．因为－３＜x＋２y＜２,所以－５＜５x＜１０, 则－１＜x＜２,故A正确;因为－３＜x＋２y＜２,所 以－６＜２x＋４y＜４．因为－１＜２x－y＜４,所以 －４＜－２x＋y＜１,所以－１０＜５y＜５,所以－２＜y ＜１,故B正确;因为－３＜x＋２y＜２,－１＜２x－y ＜４,所以－９５＜ ３ ５ (x＋２y)＜６５ ,－１５＜ １ ５ (２x－ y)＜４５ ,则－２＜x＋y＜２,故C错误;因为－３＜x ＋２y＜２,－１＜２x－y＜４,所以－２５＜－ １ ５ (x＋ ２y)＜３５ ,－３５＜ ３ ５ (２x－y)＜１２５ ,则－１＜x－y＜ ３,故D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．(２０２５􀅰北京西城一模)设实数a,b,c满足a２＋b２ ≤c≤１,则a＋b＋c的最小值为 (　　 ) A．２２－１　　　　B．－ １ ２ C．－ ２２ D．－１ 解析:B　[由a２＋b２≤c≤１,可得: a＋b＋c≥a＋b＋a２＋b２ ＝ a＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ b＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ －１２≥－ １ ２ ,当a＝b＝ －１２ 时取等号,所以a＋b＋c的最小值为－１２． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　基本不等式 ★[课程标准] １．掌握基本不等式 ab≤a＋b２ (a,b≥０)．２．结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 　　　　　　　　学生用书　P９ １．基本不等式:ab≤a＋b２ ． (１)基本不等式成立的条件:a≥０,b≥０． (２)等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号． ２．算术平均数与几何平均数 设a≥０,b≥０,则a,b的算术平均数为a＋b２ ,几何平 均数为 ab,基本不等式可叙述为:两个非负实数 的算术平均数大于或等于它们的几何平均数． ３．利用基本不等式求最值 已知x≥０,y≥０,则 (１)如果积xy是定值p,那么当且仅当x＝y时,x＋y 有最小值是２ p(简记:积定和最小)． (２)如果和x＋y是定值s,那么当且仅当x＝y时,xy 有最大值是s ２ ４ (简记:和定积最大)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 几个重要的不等式 (１)a２＋b２≥２ab(a,b∈R),当且仅当a＝b时取等号． (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a＝b 时取 等号． (３)a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a＝b时取 等号． (４)ba＋ a b≥２ (a,b同号),当且仅当a＝b时取等号． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝x＋１x 的最小值是２． (　　) (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ 成立的条件是ab＞０． (　　) (３)x＞０且y＞０是xy＋ y x≥２ 的充要条件． (　　) (４)若a＞０,则a３＋１ a２ 的最小值是２ a． (　　) (５)(a＋b)２≥４ab(a,b∈R)． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√ ◆[小题查验] １．(多选)下列不等式的证明过程正确的是 (　　) A．若a＜０,b＜０,则ba＋ a b≥２ b a 􀅰a b ＝２ B．若x,y∈(０,＋∞),则lgx＋lgy≥２ lgxlgy C．若x为负实数,则x＋４x≥－２ x 􀅰４ x＝－４ D．若x为负实数,则２x＋２－x≥２ ２x􀅰２－x＝２ 解析:AD　[由a＜０,b＜０,可得ba＞０ ,a b＞０ ,则由 基本不等式可得,b a ＋ a b≥２ b a 􀅰a b ＝２ ,故A正 确;x,y∈R时,lgx,lgy有可能为０或负数,不符 合基本不等式的条件,B错误;若x＜０,则x＋４x＝ － －x＋ －４x æ è ç ö ø ÷[ ]≤－２ (－x)􀅰 －４x æ è ç ö ø ÷ ＝－４, C错误;x＜０时,２x＞０,由基本不等式可得,２x＋ ２－x≥２,故D正确．] ２．函数f(x)＝x２＋１x２ ＋２x＋２x ,x＜０的最小值为 (　　 ) A．－３　　　　B．－２　　　　C．１　　　　D．６ 解析:B　[f(x)＝x２＋１x２ ＋２x＋２x＝ x＋ １ x æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２x＋１x æ è ç ö ø ÷－２,x＜０,令t＝x＋１x ,由x＜０,则t＝ － －x＋ １－x æ è ç ö ø ÷≤－２,当且仅当x＝－１时取等号, 所以f(t)＝t２＋２t－２(t≤－２),二次函数的图象开口 向上,对称轴t＝－１,所以函数f(t)在(－∞,－２] 上单调递减,所以f(t)min＝f(－２)＝(－２)２－２×２ －２＝－２．] ３．若函数f(x)＝x＋ １x－２ (x＞２)在x＝a处取最小 值,则a＝ (　　) A．１＋ ２ B．１＋ ３ C．３ D．４ 解析:C　[当x＞２时,x－２＞０,f(x)＝(x－２)＋ １ x－２＋２≥２ (x－２)× １x－２＋２＝４ ,当且仅当x－２＝ １ x－２ (x＞２),即x＝３时取等号,即当f(x)取最小 值时,即a＝３．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式