1.2 常用逻辑用语-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第２节　常用逻辑用语 ★[课程标准] １．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． ２．通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义． ３．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 　　　　　　　　学生用书　P４ １．命题的概念 可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题． ２．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q 的充分条件,q是p 的必 要条件 p⇒q p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/p p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/q且q⇒/p ３．全称量词命题、存在量词命题 (１)在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质 的命题叫作全称量词命题,在命题中,诸如“所有” “每一个”“任意”“一切”这样的词叫作全称量词, 用符号“∀”表示． (２)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命 题叫作存在量词命题,在命题中,诸如“有些”“有 一个”“存在一个”这样的词叫作存在量词,用符号 “∃”表示． ４．全称量词命题、存在量词命题的否定 量词命题 量词命题的否定 结论 ∀x∈M,x 具 有性质p(x) ∃x∈M,x 不 具有性质p(x) 全称量词命题的否 定是存在量词命题 ∃x∈M,x 具 有性质p(x) ∀x∈M,x 不 具有性质p(x) 存在量词命题的否 定是全称量词命题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．在判断充分、必要条件时,小可以推大,大不可以推 小,如x＞２(小范围)⇒x＞１(大范围),x＞１(大范 围)⇒/x＞２(小范围)． ２．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)}, (１)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件． (２)若A⫋B,则p是q 的充分不必要条件,q是p 的 必要不充分条件． (３)若A＝B,则p是q的充要条件． ３．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)命题p的否定的否定是p． (　　) (２)若p是q成立的充分条件,则q是p 成立的必 要条件． (　　) (３)若p是q成立的充要条件,则可记为p⇔q．(　　) (４)“∃x∈M,x具有p(x)”与“∀x∈M,􀱑p(x)”的真 假性相同． (　　) (５)“存在一个菱形,它的四条边不相等”是存在量 词命题． (　　) (６)“对顶角相等”是全称量词命题． (　　) 答案:(１)√　(２)√　(３)√　(４)×　(５)√　(６)√ ◆[小题查验] １．(BSD必修第一册P１８练习 T１(４)改编)“xy＞０”是 “x＜０,y＜０”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 解析:B　[因为xy＞０不能推出x＜０,y＜０,且x＜０, y＜０能推出xy＞０,所以“xy＞０”是“x＜０,y＜０”的必 要不充分条件．] ２．命题“∀x＞０,xx－１＞０ ”的否定是 (　　) A．∃x＜０,xx－１≤０　　　B．∃x＞０ ,０≤x≤１ C．∀x＞０,xx－１≤０ D．∀x＜０ ,０≤x≤１ 解析:B　[因为 xx－１＞０ ,所以x＜０或x＞１,所以 x x－１＞０ 的否定是０≤x≤１,所以命题的否定是 ∃x＞０,０≤x≤１．] ３．(２０２４􀅰全国甲卷)设向量a＝(x＋１,x),b＝ (x,２),则 (　　) A．x＝－３是a⊥b的必要条件 B．x＝－３是a∥b的必要条件 C．x＝０是a⊥b的充分条件 D．x＝－１＋ ３是a∥b的充分条件 解析:C　[若a⊥b,则x(x＋１)＋２x＝０, 即x２＋３x＝０,解得x＝０或x＝－３, ∴A错,C对;若a∥b,则２(x＋１)－x２＝０,即x２－ ２x－２＝０,解得x＝１± ３,故B、D错．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 高考总复习　数学(BS) ４．“x(x－１)＝０”是“x＝１”的　　　　条件(选填“充 分不必 要”“必 要 不 充 分”“充 要”“既 不 充 分 也 不必要”)． 解析:x(x－１)＝０⇒x＝０或x＝１,即x(x－１)＝０ 不一定有x＝１成立; 但x＝１能推出x(x－１)＝０成立．故“x(x－１)＝ ０”是“x＝１”的必要不充分条件． 答案:必要不充分 ５．(忽视二次项系数的讨论)命题“∀x∈R,ax２－ax ＋１＞０”为 真 命 题,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 　　　　． 解析:①当a＝０时,１＞０恒成立,∴a＝０满足条件, ②当a≠０时, a＞０, Δ＝a２－４a＜０,{ 解得０＜a＜４,综 上,０≤a＜４． 答案:[０,４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P５ 　　　　　充分、必要条件的判定 １．(２０２３􀅰北京卷)若xy≠０,则“x＋y＝０”是“yx＋ x y ＝－２”的 (　　) A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[考题解读]　本题以两个等式为载体设置题目,考查 逻辑推理,数学探索能力．充分必要条件是高考命制 创新试题的重要载体,它与其他知识结合,题目具有 一定的灵活性,能很好地考查学生的理性思维能力． 解析:C　[解法一:充分性:因为xy≠０,且x＋y＝ ０,所以x＝－y,所以xy ＋ y x ＝ －y y ＋ y －y＝－１－１ ＝－２,所以充分性成立; 必要性:因为xy≠０,且xy ＋ y x ＝－２ ,所以x２＋y２ ＝－２xy,即x２＋y２＋２xy＝０,即(x＋y)２＝０,所以 x＋y＝０．所以必要性成立． 所以若xy≠０,则“x＋y＝０”是“xy＋ y x＝－２ ”的充 要条件． 解法二:充分性:因为xy≠０,且x＋y＝０, 所以x y＋ y x＝ x２＋y２ xy ＝ x２＋y２＋２xy－２xy xy ＝ (x＋y)２－２xy xy ＝ －２xy xy ＝－２ ,所以充分性成立; 必要性:因为xy≠０,且xy＋ y x＝－２ , 所以x y＋ y x＝ x２＋y２ xy ＝ x２＋y２＋２xy－２xy xy ＝ (x＋y)２－２xy xy ＝ (x＋y)２ xy －２＝－２ , 所以 (x＋y)２ xy ＝０ ,所以(x＋y)２＝０,所以x＋y＝０, 所以必要性成立． 所以若xy≠０,则“x＋y＝０”是“xy＋ y x＝－２ ”的充 要条件．] ２．(２０２５􀅰湖南二模)已知实数a＞b＞０,则下列选项 可作为a－b＜１的充分条件的是 (　　 ) A．a－b＝１ B．１b－ １ a＝ １ ２ C．２a－２b＝１ D．log２a－log２b＝１ 解析:C　[取a＝４,b＝１,满足 a－ b＝１,但是推 不出a－b＜１,故排除A;取a＝２,b＝１,满足１b－ １ a＝ １ ２ ,但是推不出a－b＜１,故排除B;取a＝４, b＝２,满足log２a－log２b＝１,但是推不出a－b＜１, 故排除D;由２a－２b＝１,a＞b＞０,可推出２a＝２b＋１ ＜２b＋１,即a＜b＋１,即a－b＜１,故充分性成立．] ３．(多选)(２０２５􀅰山东省济南外国语学校模拟)对任 意实数a,b,c,给出下列命题,其中真命题是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a２＞b２”的充分条件 C．“a＜５”是“a＜３”的必要条件 D．“a＋５是无理数”是“a是无理数”的充要条件 解析:CD　[对于A,因为“a＝b”时,ab＝bc成立, ac＝bc,c＝０时,a＝b不一定成立,所以“a＝b”是 “ac＝bc”的充分不必要条件,故 A错误;对于B,a ＝－１,b＝－２,a＞b时,a２＜b２;a＝－２,b＝１,a２＞ b２ 时,a＜b,所以“a＞b”是“a２＞b２”的既不充分也 不必要条件,故B错误;对于C,因为“a＜３”时一定 有“a＜５”成立,所以“a＜５”是“a＜３”的必要条件, C正确;对于D,“a＋５是无理数”是“a是无理数” 的充要条件,D正确．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断充分、必要条件的３种方法 (１)定义法:根据p⇒q,q⇒p 进行判断,适用于定 义、定理判断性问题． (２)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包 含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范 围的推断问题． (３)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列 的等价转化,直到转化成容易判断充分、必要条 件是否成立为止． 提醒:判断条件之间的关系要注意条件之间关系 的方向,要注意“A 是B 的充分不必要条件”与 “A 的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解 “p的一个充分不必要条件是q”的含义． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 　　　　利用充要条件求参数的取值(范围) [典例]　已知集合A＝{x|x２－８x－２０≤０},非空集 合B＝{x|１－m≤x≤１＋m}．若x∈A 是x∈B 的 必要条件,求m 的取值范围． [解]　由x２－８x－２０≤０,得－２≤x≤１０, ∴A＝{x|－２≤x≤１０}． 由x∈A 是x∈B 的必要条件,知B⊆A． 则 １－m≤１＋m, １－m≥－２, １＋m≤１０, { ∴０≤m≤３． ∴当０≤m≤３时,x∈A 是x∈B 的必要条件,即所 求m 的取值范围是[０,３]． ◉[互动探究] 若将本例中条件改为“若x∈A 是x∈B 的必要不 充分条件”,求m 的取值范围． 解:由x∈A 是x∈B 的必要不充分条件,知B⫋A, ∴ １－m≤１＋m, １－m≥－２, １＋m＜１０ { 或 １－m≤１＋m, １－m＞－２, １＋m≤１０, { 解得０≤m≤３或０≤m＜３, ∴０≤m≤３, 故m 的取值范围是[０,３]． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充 要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之 间的关系列出关于参数的不等式求解． (２)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若􀱑p是 􀱑q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是 q的必要不充分(充分不必要、充要)条件． １．(２０２５􀅰河南安阳高三校联考)若“|x＋１|＝２”是“log２x ＋２x＝a”的必要不充分条件,则实数a＝ (　　) A．３　　　 B．２ 　　　C．１ 　　　D．０ 解析:B　[解|x＋１|＝２得x＝１或－３,设集合A ＝{１,－３},方程log２x＋２x＝a的解集为集合B,则 B⫋A 且B≠⌀,所以B＝{１}或B＝{－３}．当B＝ {１}时,log２１＋２１＝a,所以a＝２;当B＝{－３}时, 不成立．] ２．(２０２５􀅰浙江模拟)若(x－a)２＜４成立的一个充分 不必要条件是１＋ １２－x≤０ ,则实数a 的取值范 围为 (　　) A．(－∞,４] B．[１,４] C．(１,４) D．(１,４] 解析:D　[由(x－a)２＜４,可得a－２＜x＜a＋２; 由１＋ １２－x＝ ３－x ２－x≤０ ,则 (x－２)(x－３)≤０, ２－x≠０,{ 可得２＜x≤３; ∵(x－a)２＜４成立的一个充分不必要条件是１＋ １ ２－x≤０ ,∴ a－２≤２, a＋２＞３,{ 可得１＜a≤４．] 　　　　全称量词命题与存在量词命题 ▶[命题点１]全称量词命题与存在量词命题的真假 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断 􀪋􀪋 １．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x＋１| ＞１;命题q:∃x＞０,x３＝x,则 (　　) A．p和q都是真命题 B．􀱑p和q都是真命题 C．p和􀱑q都是真命题 D．􀱑p和􀱑q都是真命题 解析:B　[由x＝０不成立知p 假,x＝１时成立知 q真,所以选B．] ２．下列命题中,真命题是 (　　) A．∃x∈ ０,π２[ ],sinx＋cosx≥２ B．∀x∈(３,＋∞),x２＞２x＋１ C．∃x∈R,x２＋x＝－１ D．∀x∈ π２ ,πæ è ç ö ø ÷,tanx＞sinx 解析:B　[对于选项A,sinx＋cosx＝ ２sinx＋π４ æ è ç ö ø ÷ ≤２,所以此命题不成立;对于选项B,x２－２x－１＝ (x－１)２－２,当x＞３时,(x－１)２－２＞０,所以此命 题成立;对于选项C,x２＋x＋１＝ x＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４＞０ , 所以x２＋x＝－１对任意实数x都不成立,所以此命题 不成立;对于选项D,当x∈ π２ ,πæ è ç ö ø ÷ 时,tanx＜０,sinx ＞０,命题显然不成立．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全称量词 命题 真 所有对象使命题真 否定为假 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假 存在一个对象使命题假 否定为真 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 存在量词 命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假 所有对象使命题假 否定为真 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　提醒:不管是全称量词命题,还是存在量词命题, 若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的 真假． ▶[命题点２]　含有一个量词的命题的否定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰湖北襄阳模拟)已知命题p:∀x≥０,ex≥１ 或sinx＜１,则􀱑p为 (　　) A．∃x＜０,ex＜１且sinx≥１ B．∃x≥０,ex＜１且sinx≥１ C．∃x≥０,ex＜１或sinx≥１ D．∃x＜０,ex≥１或sinx≤１ 解析:B　[命题是全称命题,因为命题p:∀x≥０, ex≥１或sinx＜１,所以􀱑p:∃x≥０,ex＜１且sinx ≥１．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．(２０２５􀅰 咸 阳 模 拟)已 知 命 题 p:“存 在 x∈ [１,＋∞),使得(log２３)x＞１”,则下列说法正 确 的是 (　　) A．􀱑p:“任意x∈[１,＋∞),使得(log２３)x＜１” B．􀱑p:“不存在x∈[１,＋∞),使得(log２３)x＜１” C．􀱑p:“任意x∈[１,＋∞),使得(log２３)x≤１” D．􀱑p:“任意x∈(－∞,１),使得(log２３)x≤１” 解析:C　[因为存在量词命题的否定是全称量词命 题,所以􀱑p:“任意x∈[１,＋∞),使得(log２３)x≤１”．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否 定的区别 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定 有一定的区别,否定全称量词命题和存在量词命题 时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在 量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题 的否定只需直接否定结论即可． 提醒:对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的 量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定． ▶[命题点３]　参数的取值范围问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例]　(１)(多选)若∃x∈ １２ ,２[ ],使得２x２－λx＋ １＜０成立是假命题,则实数λ可能取值是 (　　) A．３２ B．２ ２ C．３ D． ９ ２ [解析]　∵若“∃x∈ １２ ,２[ ],使得２x２－λx＋１＜０ 成立”是假命题, 即“∃x∈ １２ ,２[ ],使得λ＞２x＋１x成立”是假命题, 即等价于“∀x∈ １２ ,２[ ],使得λ≤２x＋１x成立”是 真命题． 令f(x)＝２x＋１x ,x∈ １２ ,２[ ], 由对 勾 函 数 可 知,当 x∈ １２ ,２[ ] 时,f(x)在 １ ２ ,２ ２ é ë êê ù û úú上单调递减,在 ２２ ,２ æ è ç ù û úú上单调递增, ∴当x＝ ２２ 时,函数f(x)取最小值, 即f(x)min＝f ２２ æ è ç ö ø ÷＝２ ２, ∴λ≤f(x)min＝２ ２, 故实数λ的取值范围为(－∞,２ ２]． [答案]　AB (２)已知f(x)＝ln(x２＋１),g(x)＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x －m,若 对∀x１∈[０,３],∃x２∈[１,２],使 得 f(x１)≥ g(x２),则实数m 的取值范围是　　　　　． [解析]　当x∈[０,３]时,f(x)min＝f(０)＝０,当x ∈[１,２]时,g(x)min＝g(２)＝ １ ４－m ,由f(x)min≥ g(x)min,得０≥ １ ４－m ,所以m≥１４． 即实数m 的取 值范围为 １ ４ ,＋∞[ öø ÷． [答案]　 １４ ,＋∞[ öø÷ ◉[互动探究] 若将本例(２)中“∃x２∈[１,２]”改为“∀x２∈[１,２]”, 其他条件不变,则实数m 的取值范围是　　　　　． 解析:当x∈[１,２]时,g(x)max＝g(１)＝ １ ２－m , 由f(x)min≥g(x)max,得０≥ １ ２－m ,∴m≥１２． 即实 数m 的取值范围为 １２ ,＋∞[ öø÷． 答案:１ ２ ,＋∞[ öø÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可 根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决． １．(２０２５􀅰四川模拟预测)已知命题“∀x∈[１,４], ex－２x－m≥０ ”为真命题,则实数m 的取值范围为 (　　 ) A．(－∞,e－２]　　　B．－∞,e４－１２ æ è ç ] C．[e－２,＋∞) D．e４－１２ ,＋∞[ öø÷ 解析:A　[因为命题“∀x∈[１,４],ex－２x－m≥０ ” 为真命题,所以∀x∈[１,４],m≤ex－２x． 令f(x)＝ex－２x ,x∈[１,４],y＝ex 与y＝－２x 在 [１,４]上均为增函数,故f(x)为增函数,当x＝１ 时,f(x)有最小值e－２,即m≤e－２．] ２．(２０２５􀅰 南 京 市 宁 海 中 学 模 拟)若 “∀x∈ －π３ ,π ４[ ],tanx≥m”是真命题,则实数m 的最大 值为　　　　． 解析:若“∀x∈ －π３ ,π ４[ ],tanx≥m”是真命题, 则实数m 小于等于函数y＝tanx 在 －π３ ,π ４[ ] 的 最小值, 因为函数y＝tanx在 －π３ ,π ４[ ] 上为增函数, 所 以 函 数 y＝tanx 在 －π３ ,π ４[ ] 上 的 最 小 值为－ ３, 所以m≤－ ３,即实数m 的最大值为－ ３． 答案:－ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式