1.1 集合-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第１节　集　合 ★[课程标准] １．了解集合的含义,了解全集与空集的含义,体会元素与集合的属于关系． ２．理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集． ３．理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,会求给定子集的补集． ４．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,能使用韦恩(Venn)图表达集合 的基本关系及集合的基本运算． 　　　　　　　　学生用书　P１ １．集合的基本概念 (１)集合元素的性质:确定性、无序性、互异性． (２)元素与集合的关系 ①属于,记为∈;②不属于,记为∉． (３)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N＋(或N∗) Z Q R (４)集合的表示方法:①列举法;②描述法;③图示法． ２．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子 集 如果集合 A 的 每个 元素 都是集合B 的 元素,就说A 包含于 B,或者说B 包含A, 若A 包含于B,则称 A 是B 的一个子集 A⊆B(或 B⊇A) 真 子 集 如果A⊆B 但A≠B, 就说A是B的真子集 A⫋B(或 B⫌A) 集合 相等 如果A⊆B 并且B⊆ A,就 说 两 个 集 合 相等 A＝B ３．集合的基本运算 　　表示 运算 　 文字语言 集合 语言 图形语言 记法 并 集 把 所 有 集 合 A、B 中 的 元 素放在一起组 成的集合,叫 做 A 和B 的 并 集,简 称 为并 {x|x ∈A,或 x∈B} A∪B 　　表示 运算 　 文字语言 集合 语言 图形语言 记法 交 集 把所有既属于 A 又 属 于 B 的元素组成的 集合,称为A, B的交集 {x|x ∈A,且 x∈B} A∩B 补 集 若 A 是 全 集 U 的 子 集,U 中 不 属 于 A 的元素组成的 子 集 叫 作 A 的补集 {x|x ∈U,且 x∉A} ∁UA 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．若有限集A 中有n 个元素,则A 的子集有２n 个, 真子集有２n－１个,非空真子集有２n－２个． ２．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UB⊆∁UA． ３．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)＝(∁UA)∩ (∁UB)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)⌀＝{０}． (　　) (２)空集是任何集合的子集,两元素集合是三元素 集合的子集． (　　) (３)a在集合A 中,可用符号表示为a⊆A．(　　) (４)N⊆N＋⊆Z． (　　) (５)若A＝{x|y＝x２},B＝{(x,y)|y＝x２},则A∩B＝ {x|x∈R}． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)× 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 ◆[小题查验] １．若集合A＝{x∈N|x≤ ２０２５},a＝４ ２,则下面结 论中正确的是 (　　) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 答案:D ２．(２０２５􀅰北京模拟)已知集合A＝{x|lnx＜１},若 a∉A,则a可能是 (　　 ) A．１e　　　　B．１　　　　C．２　　　　D．３ 解析:D　[由lnx＜１,得０＜x＜e,则A＝{x|０＜x ＜e},∁RA＝{x|x≤０,或x≥e},由a∉A,得a∈ ∁RA,显然选项A、B、C不满足,D满足．] ３．(２０２４􀅰全国甲卷)集合A＝{１,２,３,４,５,９},B＝ {x|x∈A},则∁A(A∩B)＝ (　　) A．{１,４,９} B．{３,４,９} C．{１,２,３} D．{２,３,５} 解析:D　[因为A＝{１,２,３,４,５,９},B＝{x|x∈ A},所以B＝{１,４,９,１６,２５,８１},则A∩B＝{１,４, ９},∁A(A∩B)＝{２,３,５}．] ４．(BSD必修第一册P９ 例６改编)若集合A＝{x|－１ ＜x＜５},B＝{x|x≤１或x≥４},则A∪B＝　　　　, A∩B＝　　　　　　　　． 解析:因为 A＝{x|－１＜x＜５},B＝{x|x≤１或 x≥４},所以A∪B＝R,A∩B＝{x|－１＜x≤１或 ４≤x＜５}． 答案:R　{x|－１＜x≤１或４≤x＜５} ５．(忽视空集讨论)已知集合 M＝{x|x－a＝０},N＝ {x|ax－１＝０},若 M∩N＝N,则实数a 的值是 　　　　． 解析:由题易得 M＝{a},∵M∩N＝N,∴N⊆M, ∴N＝⌀或 N＝M,∴a＝０或a＝±１． 答案:０或１或－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P２ 　　　集合的基本概念 １．已知集合A＝{x|－１＜x＜３,x∈N},B＝{C|C⊆ A},则集合B 中元素的个数为 (　　) A．６　　　 B．７ 　　　C．８　 　　D．９ 解析:C　[因为集合A＝{x|－１＜x＜３,x∈N}, 所以A＝{０,１,２},因为B＝{C|C⊆A}, 所以B 中的元素为A 的子集,即B 有２３＝８个．] ２．(多选)已知集合{x|mx２－２x＋１＝０}＝{n},则 m＋n的值可能为 (　　) A．０ B．１２ C．１ D．２ 解析:BD　[因为集合{x|mx２－２x＋１＝０}＝{n}, 所以 m＝０, －２n＋１＝０{ 或 m≠０, Δ＝４－４m＝０, n＝－－２２m , ì î í ï ï ï ï 解得 m＝０, n＝１２{ 或 m＝１, n＝１,{ 所以m＋n＝１２ 或m＋n＝２．] ３．设A＝ ２,３,a２－３a,a＋２a＋７{ },B＝{|a－２|,３}, 已知４∈A 且４∉B,则a的取值集合为　　　　． 解析:因为４∈A,即４∈ ２,３,a２－３a,a＋２a＋７{ }, 所以a２－３a＝４或a＋２a＋７＝４． 若a２－３a＝４,则a＝－１或a＝４; 若a＋２a ＋７＝４ ,即a２＋３a＋２＝０,则a＝－１ 或a＝－２． 由a２－３a与a＋２a＋７ 互异,得a≠－１． 故a＝－２或a＝４．又４∉B,即４∉{|a－２|,３}, 所以|a－２|≠４,解得a≠－２且a≠６． 综上所述,a的取值集合为{４}． 答案:{４} ４．(２０２５􀅰上海模拟)已知集合A＝{１,２,３},B＝{１, m,n},若３－m∈A,n＋１∈A,则非零实数m＋n的 可能取值集合是　　　　． 解析:因为３－m∈A,所以３－m＝１或３－m＝２或 ３－m＝３, 解得m＝２或m＝１或m＝０,因为n＋１∈A,所以 n＋１＝１或n＋１＝２或n＋１＝３, 解得n＝０或n＝１或n＝２, 又因为B＝{１,m,n},所以 m＝２, n＝０{ 或 m＝０, n＝２,{ 即m＋n＝２． 答案:{２} 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 与集合中的元素有关问题的求解策略 (１)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代 表元素的含义,再看元素的 限 制 条 件,明 确 集合 的 类 型,是 数 集、点 集 还 是 其 他 类 型 集合． (２)集合元素的三个特性中的互异性对解题的 影响较大,特别是含有字母 的 集 合,在 求 出 字母的值后,要注意检验集合中的元素是否 满足互异性． (３)对于集合相等首先要分析已知元素与另一 个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出 方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互 异性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 高考总复习　数学(BS) 　　　集合间的基本关系 [典例]　(１)(２０２５􀅰全国模拟)若集合A＝{x∈N|x ≤ ２０２５},实数a满足{a２a ２－４３a＋１２＝１},则下列 结论正确的是 (　　) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A [解析]　因为２a ２－４３a＋１２＝１,所以a２－４ ３a＋１２ ＝０,解得a＝２ ３, 因为A＝{x∈N|x≤ ２０２５},所以a∉A． 所以{a}⊆A,a⊆A,{a}∈A 均为错误表述． [答案]　D (２)(２０２５􀅰吉安期中)已知全集U＝R,集合A＝ {x|－２≤x≤７},B＝{x|m＋１≤x≤２m－１},则使 B⊆A 成立的实数m 的取值范围是　　　　． [解析]　①当B＝⌀时,则m＋１＞２m－１,即m＜２, 此时B⊆A成立,符合题意． ②当B≠⌀时, m＋１≤２m－１, m＋１≥－２, ２m－１≤７,{ 解得２≤m≤４． 综上,实数m 的取值范围是(－∞,４]． [答案]　(－∞,４] ◉[互动探究] 在本例(２)中,若把“B⊆A”改为“A⊆∁UB”,则实数 m 的取值范围是　　　　． 解析:①当B≠⌀时,则m＋１≤２m－１,即m≥２, 因为集合A＝{x|－２≤x≤７},B＝{x|m＋１≤x≤ ２m－１}, 则∁UB＝{x|x＜m＋１或x＞２m－１}, 又A⊆∁UB,则m＋１＞７或２m－１＜－２, 解得m＞６或m＜－１２ ,又m≥２,所以m＞６; ②当B＝⌀时,则m＋１＞２m－１,即m＜２, 此时∁UB＝R,符合题意． 综上所述,实数m 的取值范围为m＞６或m＜２． 答案:(－∞,２)∪(６,＋∞) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系 转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关 系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图 帮助分析,而且常要对参数进行讨论,注意区间端 点的取舍． 提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的 情况． １．(２０２５􀅰烟台模拟)若一个集合是另一个集合的子 集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共 元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”, 对于集合A＝{－１,２},B＝{x|ax２＝２,a≥０},若这两 个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a 的取值集合为 　　　　． 解析:当a＝０时,B＝⌀,此时满足B⊆A, 当a＞０时,B＝ － ２a , ２ a{ },此时 A,B 集合只 能是“蚕食”关系, 所以当A,B 集合有公共元素－ ２a＝－１ 时, 解得a＝２, 当A,B 集合有公共元素 ２a＝２ 时,解得a＝１２ , 故a的取值集合为 ０,１２ ,２{ }． 答案:０,１２ ,２{ } ２．已知集合A＝{１,２},B＝{x|x２＋mx＋１＝０,x∈R}, 若B⊆A,则实数m 的取值范围为　　　　． 解析:①若B＝⌀,则Δ＝m２－４＜０,解得－２＜m＜２． ②若１∈B,则１２＋m＋１＝０, 解得m＝－２,此时B＝{１},符合题意; ③若２∈B,则２２＋２m＋１＝０, 解得m＝－５２ ,此时B＝ ２,１２{ },不符合题意． 综上所述,实数m 的取值范围为[－２,２)． 答案:[－２,２) 　　　集合的基本运算 ▶[命题点１]　求交集、并集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－５＜x３＜５}, B＝{－３,－１,０,２,３},则A∩B＝ (　　) A．{－１,０} B．{２,３} C．{－３,－１,０} D．{－１,０,２} 解析:A　[由题意可知集合B 中,只有－１,０满足 集合A,所以A∩B＝{－１,０}．] ２．(２０２５􀅰成都期末)设集合A＝{x|(x－１)(x＋３) ＜０},B＝{x|x＞０},则 (　　) A．A∩B＝⌀ B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|０＜x＜１}D．A∪B＝{x|x＞１} 解析:C　[∵集合A＝{x|(x－１)(x＋３)＜０}, B＝{x|x＞０},A＝(－３,１),B＝(０,＋∞), ∴A∩B＝(０,１)．] ▶[命题点２]　集合的交、并、补的综合运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰广东深圳模拟)对于任意集合 M,N,下列 关系正确的是 (　　 ) A．M∪(∁M∪NN)＝M∪N B．∁M∪N(M∩N)＝(∁M∪NM)∪(∁M∪NN) C．M∩(∁M∪NN)＝M∩N D．∁M∪N(M∩N)＝(∁M∪NM)∩(∁M∪NN) 解析:B　[如图所知, ∁M∪NN 为区域①,所以 M ∪(∁M∪NN)＝M,故 A错 误;∁M∪N(M∩N)为区域 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 ①和③;∁M∪NM 为区域③,∁M∪NN 为 区 域①,则 (∁M∪NM)∪(∁M∪NN)也 为 区 域①和③,两 边 相 等,故B正确;∁M∪NN 为区域①,M∩(∁M∪NN)为 区域①,不等于区域②(区域②为 M∩N),故C错 误;∁M∪N(M∩N)为区域①和③;而∁M∪NM 为区域 ③,∁M∪NN 为区域①,所以(∁M∪NM)∩(∁M∪NN) 为空集,所以D错误．] ２．(多选)已知集合 A＝{x|－１＜x≤３},集合B＝ {x||x|≤２},则下列关系式正确的是 (　　) A．A∩B＝⌀ B．A∪B＝{x|－２≤x≤３} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－１或x＞２} D．A∩(∁RB)＝{x|２＜x≤３} 解析:BD　[∵A＝{x|－１＜x≤３},B＝{x||x|≤ ２}＝{x|－２≤x≤２}, ∴A∩B＝{x|－１＜x≤３}∩{x|－２≤x≤２}＝{x| －１＜x≤２},故A不正确; A∪B＝{x|－１＜x≤３}∪{x|－２≤x≤２}＝{x|－２≤x ≤３},故B正确; ∵∁RB＝{x|x＜－２或x＞２}, ∴A∪(∁RB)＝{x|－１＜x≤３}∪{x|x＜－２或 x＞２}＝{x|x＜－２或x＞－１},故C不正确; A∩(∁RB)＝{x|－１＜x≤３}∩{x|x＜－２或 x＞２}＝{x|２＜x≤３},故D正确．] ▶[命题点３]　利用集合的基本运算求参数的取值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(范围) 􀪋􀪋􀪋[典例]　(１)(２０２５􀅰天津河东模拟)已知集合 A＝ {１,３,a２},B＝{１,a＋２},A∪B＝A,则实数a值构 成的集合为 (　　) A．{２} B．{－１,２} C．{１,２} D．{０,２} [解析]　由 A∪B＝A 知:B⊆A,当a＋２＝３,即 a＝１,则a２＝１,与集合中元素的互异性矛盾,不符 合;当a＋２＝a２,即a＝－１或a＝２．若a＝－１,则 a２＝１,与集合中元素的互异性矛盾,不符合;若a＝ ２,则 A＝{１,３,４},B＝ {１,４},满 足 要 求．综 上,a＝２． [答案]　A (２)(２０２５􀅰豫北名校联考)设集合A＝{x|x２＋２x －３＞０},集合B＝{x|x２－２ax－１≤０,a＞０},若 A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是 (　　) A．０,３４ æ è ç ö ø ÷ B．３４ ,４ ３[ ö ø ÷ C．３４ ,＋∞[ öø÷ D．(１,＋∞) [解析]　A＝{x|x２＋２x－３＞０}＝{x|x＞１或x＜ －３},设函数f(x)＝x２－２ax－１,因为函数f(x) ＝x２－２ax－１图象的对称轴为直线x＝a(a＞０), f(０)＝－１＜０,根据对称性可知,若A∩B 中恰有 一个整数,则 这 个 整 数 为２,所 以 有 f (２)≤０, f(３)＞０,{ 即 ４－４a－１≤０, ９－６a－１＞０,{ 所以 a≥３４ , a＜４３ , ì î í ï ï ïï 即３ ４≤a＜ ４ ３． [答案]　B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解集合运算问题应注意以下三点 (１)看元素组成．集合是由元素组成的,从研究集合中 元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (２)对集合化简．有些集合是可以化简的,先化简再 研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易 于解决． (３)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形 式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图． 　提醒:Venn图图示法和数轴图示法是进行集合 交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法 要特别注意端点是实心还是空心． １．(２０２５􀅰河北衡水模拟)已知集合A＝{－１,１},B＝ {x|ax＝１},若A∩B＝B,则a的取值集合为 (　　 ) A．{１} B．{－１} C．{－１,１} D．{－１,０,１} 解析:D　[由A∩B＝B,知B⊆A,因为A＝{－１,１}, B＝{x|ax＝１},若B＝∅,则方程ax＝１无解,所 以a＝０满足题意;若B≠∅,则B＝{x|ax＝１}＝ xx＝１a{ },因为B⊆A,所以 １ a＝±１ ,则a＝±１ 满足题意;故实数a取值的集合为{－１,０,１}．] ２．(２０２３􀅰全国甲卷)设集合M＝{x|x＝３k＋１,k∈Z}, N＝{x|x＝３k＋２,k∈Z},U 为整数集,则∁U(M∪N) ＝ (　　) A．{x|x＝３k,k∈Z} B．{x|x＝３k－１,k∈Z} C．{x|x＝３k－２,k∈Z}D．⌀ 解析:A　[因为整数集U＝{x|x＝３k,k∈Z}∪{x| x＝３k＋１,k∈Z}∪{x|x＝３k＋２,k∈Z},所 以 ∁U(M∪N)＝{x|x＝３k,k∈Z}．] 　　　集合的新定义问题 [典例]　(２０２５􀅰北京密云期末)对于正整数集合A ＝{a１,a２,􀆺,an}(n∈N∗,n≥３)如果去掉其中任意 一个元素ai(i＝１,２,􀆺,n)之后,剩余的所有元素 组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这 两个集合的所有元素之和相等,就称集合A 为“和 谐集”． (１)判断集合{１,２,３,４,５}是否是“和谐集”,并说明 理由; (２)求证:若集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素 个数为奇数; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 高考总复习　数学(BS) (３)若集合A 是“和谐集”,求集合A 中元素个数的 最小值． [解]　(１)当集合{１,２,３,４,５}去掉元素２时,剩下 元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况: {１,３},{４,５};{１,４},{３,５};{１,５},{３,４};{１},{３, ４,５};{３},{１,４,５};{４},{１,３,５};{５},{１,３,４},经 过计算可以发现每两个集合的所有元素之和不相 等,故集合{１,２,３,４,５}不是“和谐集”． (２)设正整数集合A＝{a１,a２,􀆺,an}(n∈N∗,n≥ ３)所有元素之和为 M,由题意可知 M－ai(i＝１,２, 􀆺,n)均为偶数,因此任意一个元素ai(i＝１,２,􀆺, n)的奇偶性相同． 若 M 是奇数,所以ai(i＝１,２,􀆺,n)也都是奇数, 由于 M＝a１＋a２＋􀆺＋an,显然n为奇数; 若 M 是偶数,所以ai(i＝１,２,􀆺,n)也都是偶数． 此时设ai＝２bi(i＝１,２,􀆺,n),显然{b１,b２,􀆺,bn} 也是“和谐集”,重复上述操作有限次,便可以使得 各项都为奇数的“和谐集”,此时各项的和也是奇 数,集合A 中元素的个数也是奇数,综上所述:若 集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素个数为奇数． (３)由(２)知集合A 中元素个数为奇数,显然n＝３ 时,集合不是“和谐集”;当n＝５时,不妨设a１＜a２ ＜a３＜a４＜a５,若A为“和谐集”,去掉a１ 后,得a２ ＋a５＝a３＋a４,去掉a２ 后,得a１＋a５＝a３＋a４,两式 矛盾,故n＝５时,集合不是“和谐集”;当n＝７时, 设A＝{１,３,５,７,９,１１,１３},去掉１后,３＋５＋７＋９ ＝１１＋１３,去掉３后,１＋９＋１３＝５＋７＋１１,去掉５ 后,９＋１３＝１＋３＋７＋１１,去掉７后,１＋９＋１１＝ ３＋５＋１３,去掉９后,１＋３＋５＋１１＝７＋１３,去掉１１ 后,３＋７＋９＝１＋５＋１３,去掉１３后,１＋３＋５＋９＝ ７＋１１,故A＝{１,３,５,７,９,１１,１３}是“和谐集”,元 素个数的最小值为７． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 集合新定义问题的方法和技巧 (１)可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具 体的简单的应用,从而加深对信息的理解; (２)可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如 果能清晰描述,那么说明对此信息理解的较为 透彻; (３)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体 会信息的本质特征与规律 (４)如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信 息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下 可以使用书上的概念,要将“新”性质有机地应 用到“旧”性质上,创造性的解决问题． (２０２５􀅰云南昆明模拟)若非空集合A 与B,存在对 应关系f,使A 中的每一个元素a,B 中总有唯一的 元素b与它对应,则称这种对应为从A 到B 的映 射,记作f:A→B． 设集合A＝{－５,－３,－１,１,３,５},B＝{b１,b２,􀆺, bn}(n∈N∗,n≤６)且B⊆A．设有序四元数集合P ＝{X|X＝(x１,x２,x３,x４),xi∈A 且i＝１,２,３,４}, Q＝{Y|Y＝(y１,y２,y３,y４)}．对于给定的集合B, 定义映射f:P→Q,记为Y＝f(X),按映射f,若xi ∈B(i＝１,２,３,４),则yi＝xi＋１;若xi∉B(i＝１,２, ３,４),则yi＝xi．记SB(Y)＝∑ ４ i＝１ yi． (１)若B＝{－５,１},X＝(１,－３,－３,５),写出Y,并 求SB(Y); (２)若B＝{b１,b２,b３},X＝(１,－３,－３,５),求所有 SB(Y)的总和; (３)对于给定的X＝(x１,x２,x３,x４),记∑ ４ i＝１ xi＝m, 求所有SB(Y)的总和(用含m 的式子表示)． 解:(１)由题意知,Y＝f(X)＝f((１,－３,－３,５)) ＝(１＋１,－３,－３,５)＝(２,－３,－３,５), 所以SB(Y)＝２－３－３＋５＝１． (２)对１,－３,５是否属于B 进行讨论: ①含１的B 的个数为C２５＝１０,此时在映射f下, y１＝１＋１＝２; 不含１的B 的个数为C３５＝１０,此时在映射f下, y１＝１; 所以所有Y 中２的总个数和１的总个数均为１０; ②含５的B 的个数为C２５＝１０,此时在映射f下, y４＝５＋１＝６; 不含５的B 的个数为C３５＝１０,此时在映射f下, y４＝５; 所以所有Y 中６的总个数和５的总个数均为１０; ②含－３的B 的个数为C２５＝１０,此时在映射f 下, y２＝－３＋１＝－２,y３＝－３＋１＝－２; 不含－３的B 的个数为C３５＝１０,此时在映射f 下, y２＝－３,y３＝－３; 所以所 有y 中 －２的 总 个 数 和－３的 总 个 数 均 为２０． 综上,所有SB(Y)的总和为１０×(１＋２＋５＋６)＋ ２０×(－２－３)＝１４０－１００＝４０． (３)对于给定的 X＝(x１,x２,x３,x４),考虑x１ 在映 射f下的变化． 由于在A 的所有非空子集中,含有x１ 的子集B 共 ２５ 个,所以在映射f下,x１ 变为y１＝x１＋１; 不含x１ 的子集B 共２５－１个,在映射f 下,x１ 变 为y１＝x１; 所以在映射f下得到的所有y１ 的和为２５(x１＋１) ＋(２５－１)x１＝６３x１＋３２． 同理,在映射f下得到的所有yi(i＝２,３,４)的和 ２５(xi＋１)＋(２５－１)xi＝６３xi＋３２． 所以所有SB(Y)的总和为６３(x１＋x２＋x３＋x４)＋ ３２×４＝６３m＋１２８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式