精品解析：天津市第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

天津一中2024-2025-2高三年级 数学学科四月考试卷 本试卷总分共150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷的无效．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）（每小题5分） 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，再利用并集的运算即可求解. 【详解】集合， 又因为集合，由交集的定义可得， ， 故选：C. 2. “”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与抛物线有一个交点的等价条件结合充分条件和必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】由，得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意； 当时，， 所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或， 所以”能推出“直线与抛物线只有一个公共点， 直线与抛物线只有一个公共点不能推出， “”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件， 故选：A 3. 函数的大致图象是（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性公式运算发现函数为非奇非偶函数，排除A；易知当时，，故排除C；观察B，D选项，发现它们的主要区别是当时，的图象在y轴两侧的变化趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验，即可得出结果. 【详解】解：易知函数的定义域为， 因为， 所以函数为非奇非偶函数，排除A； 易知当时，，故排除C； 因为，，所以，所以排除D． 故选：B． 4. 已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性可确定，根据单调性和偶函数定义可比较出函数值的大小关系. 【详解】，在是增函数， ，又为偶函数，， ，即. 故选：A. 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】借助正方体中的线面关系可说明选项A、B、C错误；利用空间向量可说明选项D正确. 【详解】 如图，在正方体中分析选项A、B、C. A.平面，平面，平面平面，但，A错误. B.，平面，但平面，B错误. C.平面平面，平面，，但平面，C错误. D.取直线的方向向量，直线的方向向量， ∵，，∴分别为平面的法向量， ∵，∴，∴，选项D正确. 故选：D. 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【解析】 【分析】利用线性回归方程必过样本中心点可判断A，利用正态分布的性质可判断B，根据线性相关系数的性质可判断C，利用百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，线性回归方程必过样本中心点得，解得，故A正确； 对于B，若随机变量服从正态分布，且， 则，则，故B正确； 对于C，若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，故C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，故D错误. 故选：D 7. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求出上下两个球的半径，结合球的体积公式求两个球的体积，相减可得结论. 【详解】设下面球的半径为， 因为上，中，下三个几何体的高度之比为， 则上面球的半径为，圆柱的高为， 由已知，所以， 故下面球的半径为，上面球的半径为， 所以下面球的体积为，上面球的体积为， 又， 所以下面球的体积与上面球的体积之差约为， 故选：A. 8. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则以下结论错误的是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 在上恰有50个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象变换求得的解析式，再根据三角函数奇偶性、对称性、单调性以及零点个数的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变， 得到函数的图象. 对A：，函数定义域为， 又，故为奇函数，A正确； 对B：，故关于对称，B正确； 对C：当时，，因为函数在单调递增， 所以在单调递增，C错误； 对D： ，当时，则， 故只需考虑，在上的零点个数， 又，结合正弦函数的图象， 可知在上共有个零点，D正确. 故选：C. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】因为，故为的中位线，,由此得到，再利用得到，推出，结合角平分线定理，找出，进而得解； 【详解】如图，记l与轴交于点， 由双曲线的定义，，, 因为，为中点，故为的中位线，, 易知，,故,故， 由的角平分线为l，由角平分线的性质得：, 所以, 故为直角三角形，面积为. 故选：C. 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题5分） 10. 已知，z的共轭复数为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据已知条件求出即可. 【详解】设，则， 所以， 所以，解得，所以， ，所以. 故答案为： 11. 展开式中，的系数为________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的通项公式：， 令，解得， 所以可得第三项中的系数是. 故答案为：60 12. 已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为X，则X的数学期望__________；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式可求第一空；利用条件概率可求第二空. 【详解】由题知，三次罚球命中的次数，所以； 记事件为“该运动员没有全部命中”， 记事件 “恰好命中两次”， 则，， 由条件概率知. 故答案为：； 13. 已知点M是抛物线上的一点，过点M作的一条切线，P为切点，点M在C的准线l上的射影为点D．当M，E，D三点共线时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设出的坐标，结合题意求得点的坐标，根据，，三点共线，求出，利用计算即得． 【详解】   如图，设，由可得准线的方程为， 依题可得，因为，，三点共线，则三点的纵坐标相等， ，半径，所以，则，， 在中，， 解得． 故答案为： 14. 已知在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，．若，AE与BF交于点N，，则的值为__________．若，则的最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设、，用、作为一组基底表示出，再由平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可得到，从而求出、，即可得解；用、作为基底表示出、，再根据数量积的运算律及定义得到关于的函数，最后根据二次函数的性质计算可得. 【详解】当时，即为的中点， 因为、、三点共线， 设，则 ， 因为、、三点共线， 设，则， 又、不共线， 根据平面向量基本定理得，解得， 所以，又，则， 所以； 因为， ， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 15. 已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，确定方程根的情况，再利用关于的一元二次方程根的分布列式求解. 【详解】作出函数的图象，如图， 令，由图知，当时，关于的方程有个不同的实数根， 当或时，关于的方程只有个实数根， 由关于x的方程有三个不同实数根， 得关于的方程的一个根在上，另一个根在上， 或方程的两个根一个为，另一个在上， 若为方程的根时，则， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程的另一个根为，不符题意； 若为方程的根时，则或， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程只有一个根为，不符题意； 若关于的方程的一个根在上，另一个在上时， 令，则，解得， 所以实数t的取值范围是. 三、解答题：（本大题共5小题，共75分） 16. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【小问1详解】 因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． （1）求证：平面BDE； （2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值； （3）求点D到平面ABE的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用空间向量方法求线面角即可； （3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 在三棱柱中，，为，的中点，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴， 在三角形中，，为中点，∴， ∵，平面，∴平面. 【小问2详解】 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，，，∴， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，所以. 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的条件，求出即可； （2）（i）设，由已知可得，根据点在椭圆上，可得，可求得最大值；（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意可得，设直线的方程为：，联立方程组，由根与系数的关系可得，求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 椭圆方程为， 【小问2详解】 （i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 方程为. 19. 若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． （1）当时，证明：． （2）当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； （3）当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由累加法可证结论； （2）由累加法可求得，进而可得，结合已知可得，参变分离可求的最大值． （3）由（2）可得，进而利用错位相减法可求得，当为奇数时，可得，当为偶数时，可得，进而可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则． 当时，，满足， 故，当且仅当时，等号成立． 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，满足上式，则． 因为，所以， 整理得． 因为，所以． 因为，所以当且仅当时，等号成立．因为，所以． 【小问3详解】 由（2）可得， 则． 设， 则， 所以， 所以，即． 因为对任意的，都有， 所以，即． 当为奇数时，，所以， 易证为递减数列，则； 当为偶数时，，所以， 易证为递增数列，则． 综上，的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：对于第三问，关键在于利用错位相法求得，进而分类讨论可得或，分类讨论是种常用方法. 20. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，且，证明：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，根据的范围讨论即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【小问1详解】 由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由，定义域为， 令得或， 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 因为，令，得或， 因为，所以，， 又，所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津一中2024-2025-2高三年级 数学学科四月考试卷 本试卷总分共150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷的无效．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）（每小题5分） 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. “”是“直线与抛物线只有一个公共点”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 对具有线性相关关系变量x、y，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 7. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）（） A. B. C. D. 8. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则以下结论错误的是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 在上恰有50个零点 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题5分） 10. 已知，z的共轭复数为，则__________． 11. 的展开式中，的系数为________. 12. 已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为X，则X的数学期望__________；若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为__________． 13. 已知点M是抛物线上的一点，过点M作的一条切线，P为切点，点M在C的准线l上的射影为点D．当M，E，D三点共线时，__________． 14. 已知在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，．若，AE与BF交于点N，，则的值为__________．若，则的最小值是__________． 15. 已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是__________. 三、解答题：（本大题共5小题，共75分） 16. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． （1）求证：平面BDE； （2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值； （3）求点D到平面ABE的距离． 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 19. 若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． （1）当时，证明：． （2）当（）中各项都取最大值时，对任意恒成立，求k的最大值； （3）当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 20. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$