精品解析：广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

湛江市第二十一中学2024-2025学年第二学期4月考.高二 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 3. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 4. 已知等差数列满足：公差，，，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式基本量计算得到，求出的值. 【详解】，即，解得， 即，故. 故选：C 5. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的焦点计算即可. 【详解】易知双曲线的焦点为， 则由题意可知：，即的值为6. 故选：C 6. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以， 所以． 故选：A. 7. 已知点，，若以为圆心，5为半径的圆与线段的垂直平分线相切，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点坐标公式和斜率公式求出线段AB的中点坐标和斜率，进而得到其垂直平分线的方程.再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质，结合点到直线的距离公式列出关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】线段中点，斜率：， 则垂直平分线，整理得， 相切即圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式有，， 即，解得或． 故选：B． 8. 已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ） A. 23 B. 12 C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，为负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值. 【详解】由题意可知：， 当时，； 当时，， 两式相减可得：，整理得：， 所以，或， 当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大， 此时，解得，此时； 当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大， 此时，解得，此时； 综上所述：的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象确定周期以及最高点，即可求解和，进而可判断AB，代入即可判断C,求解方程的根，即可求解D. 【详解】由图可知：,故， ,故，由于，则， 故，故A正确，B错误， 为偶函数，故C错误， 令，则，故， 当时，此时或故D正确， 故选：AD 11. 记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（ ） A. B. 可能为常数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A由是正项数列，即即可判断，对于B当时即可判断，对于C利用基本不等式即可判断，对于D即可判断. 【详解】因为是正项数列，所以，，所以，故A正确； 若，满足，故B正确； ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； ， 即，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. 已知夹角为的非零向量满足，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由得，化简代入结合数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为的夹角为，且， 而，则， 所以， 则，解得：. 故答案为：2. 14. 若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为___________． 【答案】1215 【解析】 【分析】由题意，根据等差数列前项和公式求出数列的项数和前480项中2的个数，再求出数列的前30项和即可. 【详解】数列中从到的项数为： ，令，得，且， 所以数列的前480项中后面还有15项， 则数列的前480项中2的个数为． 由，得， 故数列的前30项和是数列的前10项和，且和为， 所以数列的前480项和为． 故答案为：1215 【点睛】难点点睛：本题的难点是推出数列的前480项中后面还有15项. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设数列的前n项和为 （1）若数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，求的通项公式及； （2）若.求数列的通项公式； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项可得，结合等比数列通项公式求得，进而可得； （2）根据与的关系分析可知是首项为1，公比为2的等比数列，即可得结果. 【小问1详解】 设数列是公比为， 因为是与的等差中项， 则，即， 又因为，则，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为， 当时，，则. 当时，， 两式相减得，即， 可知是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）求证：平面PBF； （2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 证明：取PB的中点G，连接EG，GF，如图． 因为E，G是PA，PB的中点，所以，且. 因为，且， 所以，所以四边形EGFD为平行四边形， 所以， 又平面PBF，平面PBF， 所以平面PBF. 【小问2详解】 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 所以，，． 设平面PBF的法向量为， 则， 则| ， 所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为. 17. 拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． （1）当时，求； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【小问1详解】 拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． 【小问2详解】 因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 18. 数列满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义可证明结论. （2）利用累加法可求得数列的通项公式. （3）求出，利用错位相减法和分组求和可得结果. 【小问1详解】 ∵， ∴，即， ∴数列是等比数列. 【小问2详解】 由（1）得数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴当时， ， 当时，，满足上式， ∴. 【小问3详解】 由（2）得，. 设 ①， 则2 ② ①②得：， ∴， ∴. 19. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，； (Ⅱ)（i）. （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【解析】 【详解】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由 可得.因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有， 故. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2024-2025学年第二学期4月考.高二 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 4. 已知等差数列满足：公差，，，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 5. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若以为圆心，5为半径的圆与线段的垂直平分线相切，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ） A. 23 B. 12 C. 20 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 11. 记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（ ） A. B. 可能为常数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 13. 已知夹角为的非零向量满足，，则__________. 14. 若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设数列的前n项和为 （1）若数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，求的通项公式及； （2）若.求数列的通项公式； 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）求证：平面PBF； （2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 17. 拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． （1）当时，求； （2）若的面积为，求的值． 18. 数列满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 19. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $