8.2～8.3立体图形的直观图及简单几何体的表面积与体积（七个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

8.2~8.3立体图形的直观图及简单几何体的表面积与体积 一、斜二测画法 五、球的表面积与体积 二、多面体的表面积 六、球的外接问题 三、旋转体的表面积 七、组合体的表面积和体积 四、柱、锥、台的体积 知识点1斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 知识点2直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 重难点一、斜二测画法 【例1】如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 【例2】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【详解】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 故选：A 【变式1-1】（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 【变式1-2】如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是 .    【答案】 【详解】    如图1，设与交点为， 因为，，所以，. 的平面图如图2所示：    则， . 故答案为：. 【变式1-3】已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【答案】/ 【详解】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解. 【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 知识点3表面积 1．多面体的侧面积和表面积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 2.旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 重难点二、多面体的表面积 【例3】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 【例4】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【答案】 【详解】因为侧棱底面， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为， 所以底面，均为直角三角形． 因为，， 所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 【变式2-1】底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 【答案】C 【详解】 由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4， 则棱锥的高，斜高为， 侧面积为． 故选：C. 【变式2-2】如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】 如图所示，，，连接，分别是的中点，连接，取的中点，连接. 由题意，在正四棱台中，平面，则， 因为分别是的中点，所以，且， 又分别是的中点，所以，且， 故，则四点共面； 因为平面，平面，所以， 所以四边形为直角梯形， 在直角梯形中，，又点是的中点， 所以四边形为矩形，则，且，又， 因此，在直角中，， 所以在正四棱台中， 侧面积， 底面积， 表面积（平方厘米）， 又每平方厘米的防腐处理费用为元， 所以该零部件的防腐处理费用是（元）. 故选：A 【变式2-3】如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 重难点三、旋转体的表面积 【例5】已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台表面积. 故选：B 【例6】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 由圆锥的侧面积公式可得，解得， 因为，所以. 故选：C. 【变式3-1】已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】B 【详解】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 【变式3-2】已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 故选：B. 【变式3-3】斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知斯坦梅茨几何体的表面积为16，剩余四个几何体的表面积等于原两个圆柱表面积的和， 所以斯坦梅茨几何体的表面积与剩余四个几何体的表面积的比值为. 故选:A. 知识点4体积 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 重难点四、柱、锥、台的体积 【例7】紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台， 圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4， 可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积， 设大圆锥的高为，所以，解得：， 则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6， 所以该壶的容积. 故选：B. 【例8】已知正三棱锥，的中点为，，，请从条件①，条件②，条件③中选择两个条件作为已知，使得三棱锥存在，并求出此正三棱锥的体积.①底面边长为2；②侧棱长为；③斜高为2. 【答案】答案见解析 【详解】因为，可知②③不能同时成立，故不能选②③. 若选①②：则，， 在中，则， 所以正三棱锥的体积为； 选①③：则，，， 在中，则， 所以正三棱锥的体积为. 【变式4-1】如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. 【变式4-2】已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，则此圆锥的体积为 ． 【答案】 【详解】如图所示， 圆锥SO中，底面圆半径为， 高为， 所以圆锥SO的体积为：. 故答案为：． 【变式4-3】如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】(1) (2)（元） 【详解】（1）设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. ， 故总费用为（元）. 重难点五、球的表面积与体积 【例9】已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 【例10】现有一圆环如图所示，该圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆绕对称轴旋转一周得到的几何体为球体， 故该圆环绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为大球的体积减去小球的体积， 即. 故选：C 【变式5-1】已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为. 故选：C 【变式5-2】将一个半径为的金属球熔化后，先浇铸成个半径为的小球，再把剩余材料铸成个正方体， 则该正方体的棱长大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体为棱长为，则，解得. 故选：B. 【变式5-3】已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对称性，可知球心与正四面体重心重合， 由于球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，故每个面的交线为半径为3的圆． 设球心为,为的中心，则,故，故 设球心到任意面的距离为，则由等体积法可得, 故连接球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，再连交线圆上一点与球心（即为球的半径），由勾股定理得球的半径为，则表面积为． 故选：B．    重难点六、球的外接问题 【例11】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 【例12】若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 【答案】C 【详解】   如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题意球O的半径， 所以，，则， 故中，边AB的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 【变式6-1】（2025届高三第一次模拟考试数学试题）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，， 所以，所以. 设外接圆半径为，则. 又平面，且，设三棱锥的外接球半径为， 则. 所以三棱锥的外接球表面积为：. 故选：D 【变式6-2】一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 【变式6-3】已知正三棱锥的底面边长为，高为，球在正三棱锥的内部，则球体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底面的外接圆半径， 即正三棱锥的侧棱长，则正三棱锥是正四面体， 当球与正四面体的四个面都相切时，球的体积最大， 由等体积法得球的半径为 ，即， 所以球体积的最大值， 故选：A. 重难点七、组合体的表面积和体积 【例13】如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为， 长方体的体积为，则正四棱锥体积为， 所以正四棱锥的高为，所以正四棱锥斜面上的高， 所以正四棱锥的一个侧面积为， 所以组合体的表面积为，故B正确. 故选：B. 【例14】陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地看成是由一个圆锥和一个同底的圆柱组合而成的几何体.如图1是一种实木陀螺，其直观图如图2所示，其中为圆锥顶点，为圆柱上底面圆的圆心，圆锥底面半径为1，高为2，且上部分圆锥的体积为下部分圆柱体积的，若该陀螺是由一个大圆柱体通过切削得到，则该大圆柱体体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知圆锥的高为2，圆柱与圆锥的底面半径均为1，设圆柱的高为， 则，，因为，所以，所以. 当大圆柱体与陀螺等高，且与图中的圆柱同底时，大圆柱体的体积最小， 所以大圆柱体的高为4，底面半径为1，所以该大圆柱体体积的最小值为. 故选：B. 【变式7-1】蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【答案】D 【详解】因为ABCDEF是正六边形，又BC=1， 则，即， 因为四边形PGHI为菱形，连接PH，GI，则， 又且GI=AC，则， 设， 则， 则，则， 则菱形PGHI的面积为， 则上顶菱形的面积为. 故选：D. 【点睛】 【变式7-2】青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】B 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径和高均为米，且半球的半径为米， 因此，此鼎的容积为立方米. 故选：B. 【变式7-3】中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 1．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由斜二测画法规则知， 即为直角三角形，其中， 所以， 边上的中线长度为. 故选：A. 2．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，由题意知. 几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1， ，， 故该几何体的体积为. 故选：A.    3．（多选）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【详解】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确. 故选：ABD． 4．四面体的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体的表面积为，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设AB为x，因其他棱长为2，则. 取AB中点为E，则，又由题可得， 结合，由勾股定理，，则 则， 则. 当且仅当时取等号. 故选：B 5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为元，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 5．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 6．已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm， 如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为， 故第二个正四棱台的体积为. 故选：C. 7．已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 8．如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球体的半径为半径为，所以，即得， 又，所以开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 . 故选：C. 9．古代的粮仓不仅是储存粮食的设施，还承载了丰富的历史和文化价值，如唐朝的“含嘉仓”等，这些粮仓不仅是国家强盛的见证，也是中国传统文化和农业社会的重要体现.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（   ）    A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】D 【详解】圆柱体积为（立方米），圆锥体积为（立方米）， 所以，该组合体的体积为（立方米）. 故选：D. 11．某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 12．如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 【答案】 【详解】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成， 则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和． 又四棱锥的侧棱长为， 所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 故答案为： 13．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为 . 【答案】 【详解】设该球的半径为，由圆锥和圆柱的高相等及对称性，可知球心O在高线上， 作出组合体的轴截面图如图所示， 则，，， 在中，，即，解得， 所以该球的体积为. 故答案为： 14．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中.求平面四边形的面积. 【答案】 【详解】在直观图中设交于点， 则，， 平面四边形如图所示， 则，， 所以. 15．我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)94毫米 【详解】（1）因为器形不同，所以不能直接用盆里的水深来代替平地水深. （2）根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图， 根据题意得：寸，寸，寸，寸． （立方寸）. （3）由（2）知寸，即水面的半径为10寸， 所以盆中水的体积为（立方寸） 因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸． 再根据1寸约为现代的31.2毫米计算可得：（毫米） 故折算到现代的雨量约为94毫米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2~8.3立体图形的直观图及简单几何体的表面积与体积 一、斜二测画法 五、球的表面积与体积 二、多面体的表面积 六、球的外接问题 三、旋转体的表面积 七、组合体的表面积和体积 四、柱、锥、台的体积 知识点1斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 知识点2直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 重难点一、斜二测画法 【例1】如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例2】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【变式1-1】（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【变式1-2】如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是 .    【变式1-3】已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 知识点3表面积 1．多面体的侧面积和表面积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 2.旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 重难点二、多面体的表面积 【例3】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【例4】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【变式2-1】底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 【变式2-2】如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-3】如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 重难点三、旋转体的表面积 【例5】已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．4 B． C． D． 【变式3-1】已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【变式3-2】已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（   ） A． B． C． D．2 【变式3-3】斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 知识点4体积 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 重难点四、柱、锥、台的体积 【例7】紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ） A． B． C． D． 【例8】已知正三棱锥，的中点为，，，请从条件①，条件②，条件③中选择两个条件作为已知，使得三棱锥存在，并求出此正三棱锥的体积.①底面边长为2；②侧棱长为；③斜高为2. 【变式4-1】如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，则此圆锥的体积为 ． 【变式4-3】如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 重难点五、球的表面积与体积 【例9】已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【例10】现有一圆环如图所示，该圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式5-2】将一个半径为的金属球熔化后，先浇铸成个半径为的小球，再把剩余材料铸成个正方体， 则该正方体的棱长大约为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 重难点六、球的外接问题 【例11】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例12】若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 【变式6-1】（2025届高三第一次模拟考试数学试题）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【变式6-3】已知正三棱锥的底面边长为，高为，球在正三棱锥的内部，则球体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 重难点七、组合体的表面积和体积 【例13】如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 【例14】陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地看成是由一个圆锥和一个同底的圆柱组合而成的几何体.如图1是一种实木陀螺，其直观图如图2所示，其中为圆锥顶点，为圆柱上底面圆的圆心，圆锥底面半径为1，高为2，且上部分圆锥的体积为下部分圆柱体积的，若该陀螺是由一个大圆柱体通过切削得到，则该大圆柱体体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【变式7-2】青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【变式7-3】中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 1．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 4．四面体的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体的表面积为，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为元，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 6．已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．古代的粮仓不仅是储存粮食的设施，还承载了丰富的历史和文化价值，如唐朝的“含嘉仓”等，这些粮仓不仅是国家强盛的见证，也是中国传统文化和农业社会的重要体现.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（   ）    A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 11．某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 13．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为 . 14．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中.求平面四边形的面积. 15．我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$