专题8-1 8.1基本立体图形+8.2立体图形的直观图+8.3简单几何体表面积体积(9大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题8-1 8.1基本立体图形 +8.2立体图形的直观图 +8.3简单几何体表面积体积 题型一：多面体结构特征 典型例题 例题1．（24-25高二·上海·课堂例题）一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（    ） A．必定都不是直角三角形； B．至多有一个直角三角形； C．至多有两个直角三角形； D．可能都是直角三角形． 【答案】D 【知识点】棱锥的结构特征和分类、线面垂直证明线线垂直 【分析】举例，如图，在三棱锥中，，底面，然后分析判断即可. 【详解】如图，在三棱锥中，，底面， 因为底面， 所以， 所以为直角三角形， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以三棱锥的三个侧面都是直角三角形； 若不垂直底面，则无法做到每个面都是直角三角形. 故选：D 例题2．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【知识点】判断几何体是否为棱柱、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 精练核心考点 1．（23-24高一下·天津·期中）下列说法中，正确的有（    ）个． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形； ⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线； ⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析、斜二测画法辨析 【分析】举例说明，结合锥体、台体的结构特征判断①②③⑤⑥；利用斜二测画法规则判断④即可. 【详解】对于①，正八面体的8个面都是三角形，正八面体不是三棱锥，①错误； 对于②，当截面与棱锥底面不平行时，原棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，②错误； 对于③，经过底面直角三角形锐角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥，四个面都是直角三角形，③正确； 对于④，梯形的直观图不可以是平行四边形，④错误； 对于⑤，圆台所有母线交于一点，因此通过圆台侧面一点，有一条母线，⑤错误； 对于⑥，一条侧棱垂直于底面矩形的四棱锥，四个侧面都是直角三角形，⑥正确， 所以正确命题的个数为2. 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、球的结构特征辨析 【分析】根据空间几何体的结构特征逐项判断即可. 【详解】球只有一个曲面，没有顶点和棱，故①错，②对，③对；由于几何体是空间几何体，所以一定有面，故④错． 故选：B. 3．（23-24高一下·湖南益阳·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、斜二测画法辨析、平面的基本性质及辨析 【分析】根据棱锥的定义判断A，根据平行六面体的定义判断B，根据斜二测画法判断C，根据基本事实判断D. 【详解】对于A：三棱锥是四面体，正四面体所有棱长均相等，所以正四面体是正三棱锥，故A正确； 对于B：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C：根据斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，故C正确； 对于D：当三点恰好在同一条直径上时不能唯一确定一个平面，故D错误. 故选：D 4．（多选）（2025高三下·全国·专题练习）给出下列命题，其中真命题是（   ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 【答案】BCD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据棱柱的结构特征、概念，即可判断A、B项；举例即可说明C、D项. 【详解】对于A项，根据棱柱的定义可得，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，但是不一定全等，故A项错误； 对于B项，如图1，，，. 因为，，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 同理可得，平面平面，平面平面，故B项正确； 对于C项，如图2，平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，平面. 又易知，所以平面，故C项正确； 对于D项，如图3，长方体中，三棱锥的四个面均为直角三角形，故D项正确. 故选：BCD. 题型二：旋转体结构特征 典型例题 例题1．（23-24高一下·广东广州·期中）下列命题中错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、球的结构特征辨析 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台及球的结构特征逐项判断得解. 【详解】对于A，由棱柱的结构特征知，棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，A正确； 对于B，以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度，相当于以半圆的直径所在直线为旋转轴， 将半圆面旋转360度，由球的定义知，B正确； 对于C，由棱台的结构特征知，棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，C正确； 对于D，当截面与棱锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：D 例题2．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列命题是否正确，并说明理由： （1）以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥； （2）以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台； （3）圆柱、圆锥、圆台都有两个底面； （4）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径． 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析（4）答案见解析 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆锥、圆锥、圆台的特征判断各选项即可. 【详解】对于（1），根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角 边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故（1）正确; 对于（2），以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故（2）错误; 对于（3），圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一 个底面，故（3）错误; 对于（4），圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故（4）错误. 例题3．（多选）（23-24高一下·四川泸州·期中）下面关于空间几何体叙述正确的有（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 【答案】AC 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据多面体和旋转体的定义和特征即可一一判断. 【详解】对于A，根据圆柱的定义可知，母线均与圆柱的轴平行，则其长度都相等，故A正确； 对于B，只有底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时，才是正四棱锥，故B错误； 对于C，根据棱台的定义知，底面边数至少为3，故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面，即五个平面，故C正确； 对于D，若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台，则截面将不是圆面，故D错误. 故选：AC. 精练核心考点 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线 B．圆柱的上底面与下底面互相平行 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥 D．圆旋转一周得到的几何体一定是球 【答案】B 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、球的结构特征辨析 【分析】根据圆台、圆柱、圆锥、球的定义判断即可. 【详解】对于A，通过圆台侧面上一点只能做出条母线，故A错误； 对于B，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故B正确； 对于C，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥， 绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体，故C错误； 对于D，圆绕直径旋转一周得到的几何体是球，故D错误． 故选：B． 2．（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 【答案】CD 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】利用旋转体的特征易于判断A,C项，对于B，要明确平面的无限延展性，即可判断其正误；对于D，利用球的截面圆性质即可判断. 【详解】对于A，以直角梯形不垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故A错误； 对于B，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B错误； 对于C，根据圆锥的定义易得C正确； 对于D，由球的截面圆的性质可得,故D正确. 故选：CD. 3（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 【答案】BD 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、球的结构特征辨析 【分析】借助球、圆锥、圆台等旋转体的定义及性质逐项判断即可得. 【详解】对A：半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面， 球面围成的几何体叫作球，故A错误； 对B：以直角三角形的直角边所在直线为轴， 其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确； 对C：当两个平行截面不平行于上、下两个底面时， 两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误； 对D：将圆锥截去一个小圆锥，则截面必与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确． 故选：BD． 题型三：多面体展开图及最短距离问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥的展开图 【分析】通过展开平面以及勾股定理求得正确答案. 【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据勾股定理，，∴. 故选：A   . 例题2．（23-24高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用展开方法，以为基准，将和翻折使其与共面，然后利用余弦定理求解. 【详解】由正方体的结构特征可知，平面， 点M是内一动点，且，所以点在线段上运动， 动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于,最小值等于 ， 由余弦定理可求得， 所以， 故的周长最小值等于， 故选：B. 精练核心考点 1．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答. 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为 .    【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、空间距离公式的应用、余弦定理解三角形 【分析】建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算线段长，根据点的位置作和的展开图，问题转化为求的长，利用余弦定理分析特征即可得到结果. 【详解】由题意得，为等腰直角三角形，.    如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，， ∴，.    如图，作和的展开图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长. 在中，由余弦定理得，， 由得，， ∵，∴， ∴，即的最小值为. 故答案为：. 题型四：旋转体展开图及最短距离问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、圆台的展开图 【分析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 例题2．（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台的展开图、余弦定理解三角形、台体体积的有关计算 【分析】先由体积公式与已知数据待定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】由圆台轴截面为等腰梯形，故对边不是母线，分别是下、上底面圆的直径. 故由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为， 设圆台的高为，由圆台的体积为， 得，解得. 在梯形中，则，即母线长为. 如图，由圆台性质，延长交于点， 由与相似，得，解得. 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 连结，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，， 由余弦定理得 所以. 验证知，由，得，， 此时，恰与扇形弧所在圆相切，满足题意. 故选：B. 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在高为 ，底面半径为的圆柱轴截面 的两边 与 上分别有 两点，且 ，则 两点沿圆柱侧面的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的侧面展开图，结合勾股定理即可求解. 【详解】把圆柱侧面沿母线 剪下一半展成矩形 ，如图 ，则展开图中线段 的长即为所求. 作 ， 因为 ，所以 . 又因为 ，所以 . 而 ，所以 . 故选： C. 2．（23-24高一上·陕西渭南）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 3（24-25高二上·上海·期中）已知在圆锥中，底面圆的直径，的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题、弧长的有关计算、圆锥的结构特征辨析 【分析】将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为，因为的面积为， 所以，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 题型五：截面及其相关计算 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、判断正方体的截面形状 【分析】由题意分析得截面与棱的交点应在相邻的三条棱上，作出可能的图后逐个分析，特殊①恰好经过三个顶点；②恰好经过两个顶点；③与三条棱都交于任意点，设交点到顶点的距离分别为，由勾股定理定理表示出三角形三边，然后利用余弦定理得到三角形内角的范围. 【详解】一个平面截正方体要使其截面为三角形，则与棱的交点应在相邻的三条棱上． ①如图1，当三个交点恰好在正方体的顶点处，则为等边三角形； ②如图2，在①基础上将其中一个顶点沿棱平移，则可能产生等腰三角形； ③如图3，一般情形下，设交点到同一个顶点的距离分别为， 利用勾股定理可知截面三角形的三边长分别为，，， 利用余弦定理知其中一个角的余弦值大小为， 所以该角为锐角，同理其余角也为锐角，所以该三角形为锐角三角形， 不可能为直角三角形． 故选：C． 例题2．（2025高一·全国·专题练习）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解. 【详解】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故答案为：. 精练核心考点 1．（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断正方体的截面形状、平行公理 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 2．（22-23高三下·北京·阶段练习）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】作出过圆锥顶点的截面，两条母线的夹角是时，截面三角形的最大面积，结合母线长为6，代入可得截面面积的最大值． 【详解】解：如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 3．（2024高一下·全国·专题练习）从一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为 ．    【答案】 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】画出轴截面，设出，由图形关系求解即可. 【详解】题图中的几何体的轴截面如图所示，   ，所以是等腰直角三角形． 又，则．设，则． 又，故， 所以所求截面面积． 故答案为： 4．（24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再判断轴截面三角形形状并求出最大面积. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 题型六：斜二测画法中有关量的计算问题 典型例题 例题1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 例题2．（多选）（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 精练核心考点 1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，则四边形ABCD的面积为 . 【答案】6 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半， ，所以原高为， 画出原图形如图所示，过点D作于E，而横向长度不变，且梯形ABCD是直角梯形，则. 故答案为：6. 2．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论. 【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为， 所以，又， 所以. 故三角形的面积是． 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 【详解】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 4．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积. 【详解】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以， 所以的高是，所以的面积是. 故答案为：. 题型七：多面体的表面积和体积 典型例题 例题1．（24-25高二下·云南·阶段练习）在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 【答案】或 【知识点】棱台表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，，设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，，进而求得棱台侧高，即可求解. 【详解】设外接球的半径为，由，得， 设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，（根据正方形外接圆半径与边长关系）， 设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，， 则正四棱台的高或， 侧面梯形的高 或， 正四棱台的表面积， 或正四棱台的表面积. 故答案为：或 例题2．（陕西省咸阳市2025年高考模拟检测（二）数学试题）在直三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】利用，可求体积. 【详解】 . 故答案为：. 例题3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为 . 【答案】4 【知识点】基本不等式求积的最大值、棱锥的结构特征和分类、棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】设正四棱锥的底面正方形边长为，侧面等腰三角形底边上的高与底面所成角为，结合体积公式将表面积表示为的函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】正四棱锥的底面中心为，线段的中点为，连接， 设，则，， 由正四棱锥的体积，得，则， 因此正四棱锥的表面积， 则 ，当且仅当，即时取等号， 解得，所以正四棱锥的表面积的最小值为4. 故答案为：4 精练核心考点 1．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、锥体体积的有关计算、空间中的点（线）共面问题 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 2．（24-25高二上·贵州·阶段练习）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、由线面角的大小求长度 【分析】结合长方体性质，利用线面角的定义，从而得到角与边之间的关系，然后利用棱锥的体积公式即可求得结果． 【详解】    在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 3．（2025高一下·全国·专题练习）已知正三棱锥，的中点为，，，请从条件①，条件②，条件③中选择两个条件作为已知，使得三棱锥存在，并求出此正三棱锥的体积.①底面边长为2；②侧棱长为；③斜高为2. 【答案】答案见解析 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】本题是求正三棱锥体积，有三种条件组合，先分析不能选②③的原因，再看选①②和①③的思路. 选①②：先由算出，再根据三角形面积公式算出.接着在中用勾股定理算出，最后根据三棱锥体积公式算出体积. 选①③：先算出和，然后在中用勾股定理算出，最后用三棱锥体积公式算出体积. 【详解】因为，可知②③不能同时成立，故不能选②③. 若选①②：则，， 在中，则， 所以正三棱锥的体积为； 选①③：则，，， 在中，则， 所以正三棱锥的体积为. 题型八：旋转体的表面积和体积 典型例题 例题1．（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】由轴截面可得底面半径及母线长，再由表面积公式即可求解； 【详解】因为轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径，母线， 所以圆锥的表面积. 故选：D. 例题2．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积. 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 例题3．（山西省部分学校2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为. 故选：C 精练核心考点 1．（2025·河北·三模）已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥中截面的有关计算、柱、锥、台体的轴截面、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的轴截面面积结合三角形的面积公式及圆锥侧面积公式即可求解. 【详解】轴截面不是最大面积，轴截面顶角为钝角， 设母线长为， 即， 所以该圆锥的侧面积. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为1的圆锥，所得圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】根据相似可得原圆锥的高，进而利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】由已知，设原圆锥的高为，则，所以， 因为， ， 所以． 故选：A． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”､“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲）．图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧､所在圆的半径分别是6和12，且，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】利用底面周长等于扇形弧长计算圆台上下底的半径，再结合母线长计算圆台的高，最后利用圆台的体积公式计算即可. 【详解】设圆台上下底的半径分别为，由题意知，得， ，得， 作出圆台的轴截面如图1所示，则圆台的高， 则上底面面积，下底面面积， 由圆台的体积计算公式得：， 故选：C． 4．（2025·陕西西安·二模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（   ） A． B．2π C． D．7π 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算、柱、锥、台体的轴截面 【分析】首先求圆台的高，再代入体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的高为，由题意可知，，得， 圆台的体积. 故选：D 题型九：球的表面积和体积 典型例题 例题1．（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆台的结构特征辨析、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 【详解】如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 例题2．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 精练核心考点 1．（2025·福建泉州·一模）已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据圆柱侧面积和球表面积公式列方程，解方程即可. 【详解】设圆柱的母线长为，则，解得. 故选：B. 2．（天津市和平区2024-2025学年高三下学期第一次质量调查数学试卷）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 3．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设球心到上底面圆心的距离为h，由题意可得，求解即可. 【详解】由题意可知圆台的高为. 设球心到上底面圆心的距离为h，则，解得. 则，所以圆台的外接球的表面积为. 故选：D. 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8-1 8.1基本立体图形 +8.2立体图形的直观图 +8.3简单几何体表面积体积 题型一：多面体结构特征 典型例题 例题1．（24-25高二·上海·课堂例题）一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（    ） A．必定都不是直角三角形； B．至多有一个直角三角形； C．至多有两个直角三角形； D．可能都是直角三角形． 例题2．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 精练核心考点 1．（23-24高一下·天津·期中）下列说法中，正确的有（    ）个． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形； ⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线； ⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一下·湖南益阳·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面 4．（多选）（2025高三下·全国·专题练习）给出下列命题，其中真命题是（   ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 题型二：旋转体结构特征 典型例题 例题1．（23-24高一下·广东广州·期中）下列命题中错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 例题2．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列命题是否正确，并说明理由： （1）以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥； （2）以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台； （3）圆柱、圆锥、圆台都有两个底面； （4）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径． 例题3．（多选）（23-24高一下·四川泸州·期中）下面关于空间几何体叙述正确的有（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 精练核心考点 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线 B．圆柱的上底面与下底面互相平行 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥 D．圆旋转一周得到的几何体一定是球 2．（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 3（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 题型三：多面体展开图及最短距离问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 精练核心考点 1．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 2．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为 .    题型四：旋转体展开图及最短距离问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（    ） A． B． C．6 D． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在高为 ，底面半径为的圆柱轴截面 的两边 与 上分别有 两点，且 ，则 两点沿圆柱侧面的最短距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西渭南）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·上海·期中）已知在圆锥中，底面圆的直径，的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为 . 题型五：截面及其相关计算 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 例题2．（2025高一·全国·专题练习）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 精练核心考点 1．（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23高三下·北京·阶段练习）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 3．（2024高一下·全国·专题练习）从一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为 ．    4．（24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 题型六：斜二测画法中有关量的计算问题 典型例题 例题1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 例题2．（多选）（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 精练核心考点 1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，则四边形ABCD的面积为 . 2．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 4．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 题型七：多面体的表面积和体积 典型例题 例题1．（24-25高二下·云南·阶段练习）在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 例题2．（陕西省咸阳市2025年高考模拟检测（二）数学试题）在直三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 例题3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为 . 精练核心考点 1．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州·阶段练习）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一下·全国·专题练习）已知正三棱锥，的中点为，，，请从条件①，条件②，条件③中选择两个条件作为已知，使得三棱锥存在，并求出此正三棱锥的体积.①底面边长为2；②侧棱长为；③斜高为2. 题型八：旋转体的表面积和体积 典型例题 例题1．（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 例题3．（山西省部分学校2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 精练核心考点 1．（2025·河北·三模）已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为1的圆锥，所得圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”､“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲）．图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧､所在圆的半径分别是6和12，且，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·二模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（   ） A． B．2π C． D．7π 题型九：球的表面积和体积 典型例题 例题1．（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2025·福建泉州·一模）已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（天津市和平区2024-2025学年高三下学期第一次质量调查数学试卷）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知球的体积为，则球的表面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$