精品解析：2025年河南省驻马店市上蔡县中考一模数学试题

2025年普通高中招生考试一模试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2025 C. D. 2. “於显乐都，既丽且康！陪京之南，居汉之阳，”东汉张衡以一篇《南都赋》赞颂了家乡南阳地理位置之独特、自然山河之壮美、历史人文之悠远．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，与“南”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 陪 B. 汉 C. 阳 D. 居 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于菱形的说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角一定相等 B. 菱形的对角线一定相等 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 5. 兆帕（）是一个用于表示压力或应力的单位，它是帕斯卡（）的百万倍，即兆帕的，则兆帕用科学记数法表示为（ ） A. 帕 B. 帕 C. 帕 D. 帕 6. 一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，直线，正五边形的边在直线上，顶点在直线上，过点作正五边形的对称轴分别交，，于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且为负数，则（ ） A 2 B. C. D. 9. 点，是抛物线上的两个点，且，则m的值可以是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式有意义时，应满足的条件是______． 12. 不等式组的解集为_______． 13. 豫菜又称中原河南菜系，扒、烧、炸、熘、爆、炒、炝别有特色，享誉海内外，现有红烧肉、粉蒸肉、炒黄瓜、清炒茄子四个菜（如图所示），随机选两个不同的菜，则选到“一荤一素”的概率为______． 14. 如图，是的外接圆，是的直径，是劣弧上一点，连接，，若，则的度数为______． 15. 如图，在中，，，点在边上，将沿所在直线翻折得到，的平分线交边于，连接．若是以为一腰的等腰三角形，则的度数是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 八年级（）班的体育老师对全班名同学进行了一次体测，成绩（得分均为整数）满分为分，成绩达到分及以上为合格，该班的体育委员根据这次体测成绩制作了统计图和分析表如下： 八年级（）班全体学生体测成绩分析表 平均分分 中位数分 众数分 合格率 男生 女生 已知该班男生中不合格的仅有人，女生得分的人数为． （1）该班共有女生______人； （2）补全“八年级（）班全体学生体测成绩分析表”； （3）你认为在这次体测中，该班的全体男生和全体女生哪个表现得更好？说明理由． 18. 如图，在等腰中，顶角 （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）作于点，再作交于点．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，．反比例函数经过顶点 （1）求的值； （2）以点为圆心，长为半径画弧，点在第一象限，若，求的长． 20. 某综合实践小组利用量角器和铅垂自制了一个简易测角仪，如图1，沿着视线1在底部观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上，两点均在视线上时，记视线与铅垂线所夹的锐角为． （1）则仰角的度数为______．（用含的代数式表示） （2）该小组利用这个简易测角仪测量下图中柏树的高度，示意图为图2，他们先在点处观察柏树的最高点，得，然后沿方向前进，在点处观察柏树的最高点，得，已知观测点，距地面的高度．，求柏树的高度．（结果精确到1m．参考数据：） 21. 南阳烙画，起源于秦汉，鼎盛于明清，发展于现代，2021年入选中国非物质文化遗产，素以“南阳三大宝”之首而蜚声海内外．某网店老板小杰在南阳某烙画专营店选中A，B两款高端烙画，决定从该店进货并销售，已知两款烙画的进货价和销售价如下表： A款烙画 B款烙画 进货价（元/件） 80 140 销售价（元/件） 98 168 （1）第一次小杰用2440元购进了A，B两款烙画共20件，两款烙画各购进多少件？ （2）第二次小杰进货时，计划购进A款烙画数量不少于B款烙画数量的，且小杰计划购进两款烙画共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 跳水过程中的抛物线问题 素材1 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员甲从点起跳，从起跳到入水的过程中，其竖直高度与水平距离满足二次函数． 素材2 记运动员甲起跳后达到的最高点B到水面的高度为（），从到达最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 素材3 运动员甲每次在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作． 问题解决 任务1 求的值； 任务2 请通过计算说明，运动员甲能否成功完成动作？ 任务3 运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若达到最高点后能顺利完成动作，直接写出的取值范围． 23. 过平面内一定点作两条直线（不平行）垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．如图1，与交于点，，垂足分别为，，则为“点足三角形”，为“垂角”． （1）如图2，直线与相交，，在直线上有，，三点，则分别以，，三点为定（顶）点“点足三角形”中，“垂角”最大的是以______为顶点；（选填“”“”或“”） （2）如图3，与相交，点为直线下方一点，，，垂足分别为，，将“垂角”绕着点顺时针旋转一定角度（小于），分别与，交于C，D，连接．则与是否相等？说明理由； （3）如图4，，点在射线上，且，点是射线上的点．当的外部存在点使得“点足三角形”的最大内角为时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年普通高中招生考试一模试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. “於显乐都，既丽且康！陪京之南，居汉之阳，”东汉张衡以一篇《南都赋》赞颂了家乡南阳地理位置之独特、自然山河之壮美、历史人文之悠远．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，与“南”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 陪 B. 汉 C. 阳 D. 居 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知， “南”字所在面相对的面上的汉字是“汉”， 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、幂的乘方、负整数指数幂，根据平方差公式、完全平方公式、幂的乘方、负整数指数幂的运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列关于菱形的说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角一定相等 B. 菱形的对角线一定相等 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，根据菱形的判定定理和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解：．菱形的对角相等，但四个角不一定相等，原说法错误，故该选项不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直且平分但不一定相等，故该选项不符合题意； ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．四条边相等四边形是菱形，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 兆帕（）是一个用于表示压力或应力的单位，它是帕斯卡（）的百万倍，即兆帕的，则兆帕用科学记数法表示为（ ） A. 帕 B. 帕 C. 帕 D. 帕 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：兆帕帕帕， 故选：． 6. 一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解可得答案． 【详解】解：∵每人投篮成绩的平均数都是8，，，，， ∴， ∴成绩最稳定的是甲， 故选：A． 7. 如图，直线，正五边形的边在直线上，顶点在直线上，过点作正五边形的对称轴分别交，，于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 过点作于点，先求出正五边形的内角，再根据其轴对称性求出，再由三角形的外角性质即可解决． 【详解】解：过点作于点， ∵ ∵，， ∴， ∵正五边形是轴对称图形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且为负数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，根据一元二次方程有两个相等的实数根可得出，再根据已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为负数， ∴， 故选∶B． 9. 点，是抛物线上的两个点，且，则m的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，求出和，再根据求解即可． 【详解】方法一：∵点，是抛物线上的两个点， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故选：A； 方法二：由题意得，抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的开口向上，且， ∴易得抛物线的对称轴在直线的右侧． ∴m的取值范围是． 故选：A． 10. 正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可． 【详解】解：由题可得：正方形面积为：， ， 最大重合面积为， B选项，不符合题意； 正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动， 最后的重合面积为0， C、D不符合题意；A选项符合题意； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式有意义时，应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义条件．根据分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 12. 不等式组的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为： 13. 豫菜又称中原河南菜系，扒、烧、炸、熘、爆、炒、炝别有特色，享誉海内外，现有红烧肉、粉蒸肉、炒黄瓜、清炒茄子四个菜（如图所示），随机选两个不同的菜，则选到“一荤一素”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选到“一荤一素”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：将红烧肉、粉蒸肉、炒黄瓜、清炒茄子四个菜用表示， 画树状图得： 共有种等可能的结果，任取两个不同的数，选到“一荤一素”的有种结果， ∴选到“一荤一素”的概率是， 故答案为：． 14. 如图，是的外接圆，是的直径，是劣弧上一点，连接，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，然后由直角三角形的性质求出的度数，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点在边上，将沿所在直线翻折得到，的平分线交边于，连接．若是以为一腰的等腰三角形，则的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 首先由轴对称可以得出，就可以得出，，在证明，得出，就可以求出的值；再分两种情况讨论解答即可，当时，当时，从而求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵沿所在直线翻折得到， ∴， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值． （1）先求算出平方根，化简绝对值，零指数幂，然后再计算加减法即可． （2）先化简分式，然后再代入数值计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 八年级（）班的体育老师对全班名同学进行了一次体测，成绩（得分均为整数）满分为分，成绩达到分及以上为合格，该班的体育委员根据这次体测成绩制作了统计图和分析表如下： 八年级（）班全体学生体测成绩分析表 平均分分 中位数分 众数分 合格率 男生 女生 已知该班男生中不合格的仅有人，女生得分的人数为． （1）该班共有女生______人； （2）补全“八年级（）班全体学生体测成绩分析表”； （3）你认为在这次体测中，该班的全体男生和全体女生哪个表现得更好？说明理由． 【答案】（1）； （2）男生合格率；女生众数为； （3）全体女生表现得更好，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，众数、中位数的意义及求法，从统计图表中获取数据及数量之间的关系是解题的关键． （）根据扇形统计图可以得到这个班的女生人数； （）根据统计图中数据可以求得男生人数，则该班男生的合格率为，由扇形统计图可知该班女生得分的人数最多，求得众数，进而补全“八年级（）班全体学生体测成绩分析表”； （）根据表格中的数据，本题答案不唯一，说的只要合理即可． 【小问1详解】 解：∵女生得分的人数为，所占百分比为， ∴该班共有女生（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得：该班共有女生人， ∴男生有（人）， ∵该班男生中不合格的仅有人， ∴该班男生的合格率为， 由扇形统计图可知：该班女生得分的人数最多， ∴女生众数为， 补全如下： 八年级（）班全体学生体测成绩分析表 平均分分 中位数分 众数分 合格率 男生 女生 【小问3详解】解：女生表现的更突出些， 理由：女生合格率比男生的合格率高一些，女生得分的众数比男生高一些（答案不唯一）． 18. 如图，在等腰中，顶角 （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）作于点，再作交于点．求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的做法作图即可． （2）过点作于点，根据含30度直角三角形的性质得出，再证明是矩形，由矩形的性质得出，由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，等量代换可得出，根据等角对等边则，等量代还即可得出． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ∴，， ， 由（1）中作图可知，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了作角平分线，矩形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，等角对等边等知识，掌握作角平分线的性质是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，．反比例函数经过顶点 （1）求的值； （2）以点为圆心，长为半径画弧，点在第一象限，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，求弧长，勾股定理，特殊角三角函数值， （1）将点N的坐标代入关系式可得答案； （2）先求出，再求出，然后根据弧长公式计算即可. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数解析式，得 ； 【小问2详解】 解：， 根据勾股定理，得. 在中，， ， ， 的长为． 20. 某综合实践小组利用量角器和铅垂自制了一个简易测角仪，如图1，沿着视线1在底部观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上，两点均在视线上时，记视线与铅垂线所夹的锐角为． （1）则仰角的度数为______．（用含的代数式表示） （2）该小组利用这个简易测角仪测量下图中柏树的高度，示意图为图2，他们先在点处观察柏树的最高点，得，然后沿方向前进，在点处观察柏树的最高点，得，已知观测点，距地面的高度．，求柏树的高度．（结果精确到1m．参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据仰角的定义即可得出答案． （2）连接并延长，交于点，则，则，再由仰角的定义得出，，由三角形外角的定义和性质得出，再由等角对等边得出，解直角三角形求出，进而可求出． 【小问1详解】 解：则仰角的度数为：， 【小问2详解】 解：如图，连接并延长，交于点，则， 则， ，， ∵，， ，， ， ， 在中， （）． 答：柏树的高度约为． 【点睛】本题主要考查了仰角的定义，解直角三角形的相关计算．三角形外角的定义和性质，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键． 21. 南阳烙画，起源于秦汉，鼎盛于明清，发展于现代，2021年入选中国非物质文化遗产，素以“南阳三大宝”之首而蜚声海内外．某网店老板小杰在南阳某烙画专营店选中A，B两款高端烙画，决定从该店进货并销售，已知两款烙画的进货价和销售价如下表： A款烙画 B款烙画 进货价（元/件） 80 140 销售价（元/件） 98 168 （1）第一次小杰用2440元购进了A，B两款烙画共20件，两款烙画各购进多少件？ （2）第二次小杰进货时，计划购进A款烙画数量不少于B款烙画数量的，且小杰计划购进两款烙画共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）款烙画购进6件，款烙画购进14件 （2）款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的实际应用，以及一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设款烙画购进件，款烙画购进件，根据用2440元购进了A，B两款烙画共20件列出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案． （2）设款烙画购进件，则款烙画数量为件，先根据题意得出m的取值范围，再根据利润的求解公式列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设款烙画购进件，款烙画购进件，根据题意得： 解方程组，得 款烙画购进6件，款烙画购进14件； 【小问2详解】 解：设款烙画购进件，则款烙画数量为件， 购进款烙画数量不少于款烙画数量的， ， 解得， 设利润为元，根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取最大值（元）， 此时， 款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元． 22. 跳水过程中的抛物线问题 素材1 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员甲从点起跳，从起跳到入水的过程中，其竖直高度与水平距离满足二次函数． 素材2 记运动员甲起跳后达到的最高点B到水面的高度为（），从到达最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 素材3 运动员甲每次在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作． 问题解决 任务1 求的值； 任务2 请通过计算说明，运动员甲能否成功完成动作？ 任务3 运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若达到最高点后能顺利完成动作，直接写出的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：运动员甲不能成功完成270C动作，理由见解析；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． 任务1：先利用待定系数法得出，然后化成顶点式，即可得出k的值． 任务2：把代入，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； 任务3：求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【详解】解：任务1：把代入， 解得：， 则运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到的最高点到水面的高度为， 即； 任务2：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成动作； 任务3：由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 23. 过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．如图1，与交于点，，垂足分别为，，则为“点足三角形”，为“垂角”． （1）如图2，直线与相交，，在直线上有，，三点，则分别以，，三点为定（顶）点的“点足三角形”中，“垂角”最大的是以______为顶点；（选填“”“”或“”） （2）如图3，与相交，点为直线下方一点，，，垂足分别为，，将“垂角”绕着点顺时针旋转一定角度（小于），分别与，交于C，D，连接．则与是否相等？说明理由； （3）如图4，，点在射线上，且，点是射线上的点．当的外部存在点使得“点足三角形”的最大内角为时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）相等，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“点足三角形”中，“垂角”的定义求解即可． （2）将“垂角”绕着点O顺时针旋转，分别与，交于C，D，则，根据余弦的定义得出，再证明，由相似三角形的性质即可得出答案． （3）分情况：当定点O在的下方时和当定点O在的上方时，分别利用勾股定理、解直角三角形的性质进行求解对应线段长度，结合线段之间的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据定义，分别过点，，作与的垂线， 根据作图可知：，，分别是以，，三点为定（顶）点的“点足三角形”的“垂角”，且和是锐角，是钝角， 故“垂角”最大的是以为顶点的． 【小问2详解】 解：将“垂角”绕着点O顺时针旋转，分别与，交于C，D， ∴， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∴， 即， 又， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①当定点O在下方时，令与交于点D，过点A作于点E，如图： 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ， 当的外部的点使得“点足三角形”的最大内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当定点O在的上方时，令与交于点D，过点B作于点E，如图： 同理得，， 设，则，， ∵， ∴， 当的外部的点使得“点足三角形”的最大内角为时， ∴， ∴， ∵，解得：， 则； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形综合题，涉及相似三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质、勾股定理和线段之间的关系，解题的关键是理解新定义，并能结合解直角三角形的性质进行分类求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$