精品解析：河南省驻马店市确山县部分初中联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年下学期学情调研卷（二） 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下面四组数中，是勾股数的是（ ） A. 15，20，25 B. ，， C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，若三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴15，20，25是勾股数，符合题意； B、∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； C、∵，，不是正整数， ∴，，不是勾股数，不符合题意； D、∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 2. 若 有意义，则 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根，根据题意得，可求出，再得代数式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 故选：B ． 3. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 5. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由三角形中位线定理得到的长，再利用勾股定理求出的长，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 6. 若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 7. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 8. 已知：如图，，小静进行了以下作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：由作图可得，， ∴四边形是菱形， ∴， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，解题时注意：菱形的面积等于对角线乘积的一半，判定出四边形是菱形是解题的关键． 9. 如图，在中，，分别以，和为直径作半圆，已知，，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据图形面积之间的关系得到，再由勾股定理得到，据此可推出，再利用完全平方公式的变形即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故选：B． 10. 如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（ ） A. B. 3 C. 2或3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证明，进而得到，由是的三等分点可得或，则可求出的长，在中有勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， 由正方形和折叠的性质可得，且， ， ， ， 当点G是靠近点B的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 当点G是靠近点C的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，，则用表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法．掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 12. 若三角形的三边a、b、c满足，则该三角形的最大内角度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定得到这个三角形是等腰三角形，根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形．然后根据等腰直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：∵三角形的三边满足， ∴设，，， ∴， ∴这个三角形是等腰三角形， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形是等腰直角三角形， ∴该三角形的最大内角度数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的运用，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键． 13. 与最简二次根式能合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为： ． 14. 如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 15. 如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用菱形的性质可证明为等边三角形，以及，则可得到，再利用等边三角形的性质可判断①；利用勾股定理可判断②；在上截取，连接，可证明得到，则可推出当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可判断③；根据含30度角的直角三角形的性质得到，，据此可得判断④；． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③正确； ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离． 【答案】点到水平地面的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，先证明四边形是矩形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题可知，，，， ． 四边形是矩形， ． ∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ． 答：点到水平地面的距离为． 18. 如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握正方形的性质得到三角形全等是解题的关键． 根据正方形的性质可证，得到，则有，即是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】略 19. 如图，在河南省开封市的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台，其面积为，长为． （1）求这个舞台的宽； （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为的装饰带（图中阴影部分），求装饰后长方形舞台的面积． 【答案】（1）这个舞台的宽为 （2）装饰后矩形舞台的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）用长方形面积除以其长即可求出其宽； （2）根据题意求出装饰后的长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 答：这个舞台的宽为． 【小问2详解】 解：装饰后矩形舞台的面积为， 答：装饰后矩形舞台的面积为． 20. 中，平分． （1）求证四边形是菱形． （2）满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ∴四边形是平行四边形； 平分． ． ， ． ． ． ∴四边形是菱形． （2） 解：当时，四边形是正方形； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答． （1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点是点E，的对应边交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将矩形沿对角线折叠， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据折叠的性质我们可得出，，，证明，设，利用勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将矩形沿对角线折叠， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点晴】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 22. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1） （2），证明如下： ； （3）71 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2）略 （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 23. 如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． （1）在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） （2）连接，，若与互相平分，求此时t的值； （3）在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）t的值为3 （3）存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期学情调研卷（二） 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下面四组数中，是勾股数的是（ ） A. 15，20，25 B. ，， C. ，， D. 2. 若 有意义，则 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 7 3. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 6. 若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知：如图，，小静进行了以下作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，在中，，分别以，和为直径作半圆，已知，，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（ ） A. B. 3 C. 2或3 D. 或3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，，则用表示为______． 12. 若三角形的三边a、b、c满足，则该三角形的最大内角度数为______． 13. 与最简二次根式能合并，则________． 14. 如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么__________． 15. 如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离． 18. 如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 19. 如图，在河南省开封市的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台，其面积为，长为． （1）求这个舞台的宽； （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为的装饰带（图中阴影部分），求装饰后长方形舞台的面积． 20. 中，平分． （1）求证四边形是菱形． （2）满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 21. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点是点E，的对应边交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 22. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 23. 如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． （1）在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） （2）连接，，若与互相平分，求此时t的值； （3）在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $