吉林省长春市2025届高三质量监测（三）数学试题

参考答案 题号 2 4 答案 D B C A A D 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 1.【解答案】-02-21,部为△,故选C。 2.【详解答案】x*-2x>0等价于x<0或x>2,因此“x>2”→“x2-2x>0”,故选A 3.【详解答案】令x-1=teR,则x=t+1,所以/f(t)=e'*,即f(x)=e’.故选D. 选A. 5.【详解答案】圆台的侧面积=大圆锥的侧面积-小圆锥的侧面积,nx4x42-nx3x3/2 7/2n,故选B. 6.【详解答案】x的系数是1xC(2x)x1}+(-x)xC(2x)x1=80-40=40.故选D. 7.【详解答案】由函数g(x)=(x-2)f(x)的图像关于点(2,0)中心对称可知 g($2-x)=-g(2+x),即(2-x-2)f(2-x)=-(24x-2)f(2+x), 可得f(2-x)=f(2+x),因此函数f(x)具有对称轴x=2. 由g(-1)=(-1-2)f(-1)=3,可得f(-1)=-1, 由f(x)为R上的偶函数且具有对称轴x=2.可得f(3)=f(1)=f(-1)=-1.故选B 8.【详解答案】由题意的 OSC=a,乙EOS=B,则乙SCO=90 -a,乙EOC=90*-B, 所以e-cosBsinEoC EO ,即sinEOCEC3 'sin乙EOC=sin乙sCo' 参考答案 第1页三 函数y=sin2x 向右平移个单位长度得到y=sin2(x-)]=sin2x-2-),故D错误. 故选AC. 10.【详解答案】当a...+a.=/(n)=2n时,若a.=2,可演绎为a=0,a=4,a=2 a. =6....因此数列)a.不是等差数列,故A选项错误 当a ,+a.=f(n)=2n+l时,若a,=1,可演绎为a=2,a;=3,a=4,a=5,. 因此数列a. 是等差数列,故B选项正确; 当$ 1+a.=f(n)=4时,若a,=2,可演绎为a=2,a=2,a=2,as=2,. 因此数列a.是等比数列,故C选项正确; 当a .+a.=f(n)=3x2“- 时,若a.=1,可演绎为a=2,a=4,a.=8,as=16,.. 因此数列a.是等比数列,故D选项正确; 故选BCD. 11.【详解答案】当点A与圆M的圆心重合时,线段PA的中垂线与直线PM的交点O即为PM 的中点,因此点0的轨迹为圆,故A选项正确;当点A在圆M上时,轨迹为一个点,故B选项 错误,当点A在园M内且非圆心时,10P1=10A1,则10M1+10A1=r(其中r为圆M的半 径),因此点0的轨迹为圆,故C选项正确.当点A在圆M外时,10P1=10A1,则10M1- 10A1=r或1OA1-I0M!=r(其中r为圆M的半径),因此点0的轨迹为双曲线,故D正确; 故选ACD. 12.【详解答案】a?=a?·a,则(1+2d)2=(1+d)·(1+5d),d=-2, 则a.=a.+3d=1+3x(-2)=-5.故答案为-5. 13.【详解答案】la-bl=la-b1=(a-b)=Va-2a·b+b=35. 故答案为35. 14.【详解答案】设事件A=“有且仅有一次经过M(-1,0)”,事件B=“水平方向移动2次”, 按到M(-1,0)位置需要1步,3步分类讨论.记L=向左,R=向右,U=向上,D=向下, ①若1步到位为事件A.,则满足要求的是LU(L或U或R),LL(L或V或D), ②若3步到位为事件A..则满足要求的是ULD.DLV.RLL.UDL.DUL 所以P(4)5-()以p()-P()(4)_ 满足AB的情况有:LU(L或R),LD(L或R),LL(V或D).LR(U或D) 15.(本小题满分13分) 2^2 【详解答案】(1)因为tanA+tanB=- “+,由余弦定理得 22 tanA+tanB=- 2accos B acos B' 由正弦定理得 参考答案 第2贰号共7)) tanA+tanBsinCsin sinB sin Acos B+sin Bcos A sin(A+B) - sinC sin Acos Bcos A cos B cos Acos B cos Acos B cos Acos B' 在△ABC中,所以sinC>0.cosB≠0 所以sinA=cos A,所以tanA=1,又Ae(0,"),所以A; ..............分 (2)由余弦定理可得a^}=c^2}+b}-2cbcosA=c2}+b}-2cb=4 由b^}+c2}三2bc,当且仅当b=c时“=”成立, 4+2bc=2bc,bc<4 2-2 ............................................... 13分 2-22 16.(本小题满分15分) 1分 当<o时f(x)--k>0成立,一定存在x使/(x)>o. 6 ' 6-x×++6=0,则x=-3 #令#(x)--+# 1 ............... 10分 x h2 ##._#(3)=13-#3-6# # ........... .............................................................. 15分 17.(本小题满分15分) 【详解答案】(1)证明:取AB中点0,在△ABC中,AC=BC,0为AB中点,所以OC1AB, 所以有A{三A0{}A.0,即乙A.OA-,所以A.O1.AB,.... 2分 又因为A.0OOC=0,A.0C平面A.0C,0Cc平面A.0C AB1平面A.0C, (2)由(1)知A.01AB且平面AA.B.B1平面ABC 参考答案第3页(共7页) 所以A.01面ABC 则A.010C,如图以OA,0C,0A.两两垂直,以0为坐标原点,以OA,0C,0A.方向为x轴,y 轴,:轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系 A(2,0,0),B(-2,0,0),C(0,2v3,0),A.(0,0,23),.1.. 7分 .................................... 9分 ##(0.2/,-2)D=(223.,-), 设平面A.CD法向量为n=(xo,yo,z。), [4.C.n=0 23y。-232。=0 平面AA.D的法向量为m=(0.1.0)。 12分 21 所以有- ,化简得x2-10+16=0. 所以有入=8(舍)或者X=2,所以BD=2. ...................................................... 15分 18.(本小题满分17分) 【详解答案】(1)由x2+y2=A+y,得x2+(1-)2= ........... 所以当入0,目4>1时,(入,u)曲线为双曲线: ......................... ............... (i)由题意得B(-x%,-)%),D(-xo,yo),设点E(x,y),由D-4, [x+g=- $ -y%=0 ly=yo 3. 直线BE的斜率为h=- 2 3 ........................ 6分 参考答案 第4页共云 联立 16y+3 由韦达定得xe·(-xo)= 16+3 ,解得xc= ..................................... 8分 xo。 xo △ 162+3 得x。<-- 3*。<0,所以xc= 3 3-- xo。 ## $6 +316(3x-3) +3(16x-15) xo4 所以x。= ........................... 3x-9(3-3) _ 10分 9-8x} 3 3xo-- t* t。 16×-15416×-9 ->0, $8-9-3-3(8-9) 因为xo>1,所以 ........................................ 11分 ..........1.. 4.). 3+4y 3)#o(xo-)+8yo y%。+- 3y. 。“ 8yo (ii)由(i)得= xo-xc xo。-xc 2。 16+3 xo+ +_30 xo 2%-24xxo 722-24xro 3y。 3yo xo。 72y。 +24x。 242 24 x。 xo y%。 .......................................... 15分 因为→#则,-(1-#(), #&+4,_--(-242分、1分 参考答案 第5页(共 (1)由题意得B(-xo,),D(-xo)设点E(x)由DE=AD, y-y%=0 ly=yo 2y。 3y。 #。 32。 所以直线BG的方程为y+y。三- (x........................................... 6分 2。 同理,由 ,两式作差得(x+xo)(x-xo)-(y+yo)(y-)%)=0, tx。 将直线BG方程代入并化简得(x-x。)+y(y-yo)=0(*) x%。 3' ............................................ 4,); 12分 (ì)由(*)式可得(x-x)+(y-yo)=0,所以&,·k.,-.)二--1, .......15分 x8。x-x。 ................................................... 17分 19.(本小题满分17分) 【详解答案】 (1)由题意可得:x-8,v=3. .................................................................... 1分 5 330-5x64= x=12时,-23. 5 (2)x可取值为1,2,...,n 参考答案 第6页(共7页) 当k(n时,P(x=)-.(2). ....................................................... 6分 7分 所以X的分布列为 n-1 2 P 33·33() . 3·()()“ 故E()-+2××+××(3)+(n-1)·(3)”()”①.. 因为#E(x-+×#()2+3×()#(n1-1)-#)”##()^② 由①-②得(×)-×()-·()”#-2()”-()” # .......1.分. (3)当k=n时,Y只能取n,故m只能取a.有P(Y=m)=P(Y=n)=1; 当0<k<n时,整数m满足t<m<k,其中/是0和2k-n中的较大者. 两次抽球包含的基本事件总数为(C). 事件“Y=m”所包含的基本事件数为CtC"C二", CtC"C二"C"C二“ 此时P(Y=m)= (C)2 13分 当1<m<k时,P(Y=m)=P(Y=m-1)CrC-"=C"-'C-. →(k-m+1)>=m(n+m-2^k)→m(+1)2} ................................................ 15分 n+2) n+2 n+2 当2k-n50时,显然(+1)2} #20, (+1)-(+1)-(n2)(2k-)-(n+1-)}_0, 当2k-n>0时, n+2 n+2 n+2 所以,(+1)? 16分 n+2 n+2 n+2 共[{1]为不超过)的最大数 ............................................... 17分 参考答案 第7页(共7页)长春市2025届高三质量监测（三） 数学 本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项：1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确 粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹 的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照愿号顺序在答题卡各题目的答愿区域内作答，超出答题区域书 写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效。 4,作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正 带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 复数：=六的虚部是 A B. 1 C.-i D.-1 2.“x>2"是“x2-2x>0"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知fx-)=e,则f(2)= A.e B.2e C.e2 D.e' 4.为了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并 绘制频串分布直方图，若该频串分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间 [92.5,102)这一组内的学生有40人，则在频串分布直方图中该组数据对应的矩形高 度为 A02 B.0.02 C.0.4 D.0.04 5.已知一个圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为√互，则该圆台的侧面积为 A.5v2t B.72n C.9V2π D.16N2π 6. 在(1-x0+2x)的展开式中，x3的系数是 A.20 B.-20 C.40 D.40 7。 已知函数（冈是定义在R上的偶函数，函数g(x)=(x-)f八x)的图象关于点(2,0）中 心对称，若g(-)=3,则f(3)= A.-3 B.-1 C.0 D.1 数学试题第】页（共4页） 8.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆 锥轴截面的顶角为2α，用一个平面「去截该圆锥面，随着圆锥的轴和Γ所成角B的 变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为e=cos ,比如，当a=B cosa 时，e=1,此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为2√2的圆锥S0 中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，SE=2EC,平 面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为 图1 图2 A D.25 3 2 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知函数)=s血2x-孕，则下列说法正确的是 A.函数(x)的最小正周期为π B.函数y在区间（←若0）上单调递增 C函数()的图象的对称轴方程为x=红- .(keZ) 212 D.函数f)的图象可由函数y=s血2x的图象向右平移：个单位长度得到 10.已知数列{an}满足a1+an=f(),则下列说法中正确的是 A.若a=1,f(n)=2n+1,则{an}是等差数列 B.若4=2，f()=2n,则{a}是等差数列 C.若a=1,f()=3×2,则{a}是等比数列 D.若4=2，f()=4,则{a}是等比数列 1I.在平面内，存在定圆M和定点A,点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直 线PM于点2，关于点轨迹叙述正确的是 A.当点A与圆心M重合时，点2的轨迹为圆 B.当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆 C.当点A在圆M上时，点Q的轨迹为抛物线 D.当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线 (长春三模)数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小愿5分，共15分. 12.已知公差不为0的等差数列{a,)的首项为1，且a2,4,a,成等比数列，则a= 13.已知向量a,b满足：Ia=2,1b=5,且ab=-3,则1a-b= 14.2025年春晚，，一场别开生面的机器人舞蹈表流震撼了观众.现在编排一个动作，机器 人从原点0出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3 次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M(-L,0)位置的条件下，水平方向 移动2次的概串为 四、解答题：本题共5小题，共T7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 2c2 在△ABC中，内角么B,C的对边分别为a,bc,且anM+anB=+C-B (1)求角A的大小： (2)若BC=2,求A丽AC的最大值 16.(15分) 已知函数f)=山x一女】 (1)若存在x∈(0，+o),使f(x)≥0成立，求k的取值范围： 2)已知k>0,若因≤会恒成立，求k的最小值 17.(15分) 斜三按柱ABC-4G各桉长为4，∠4B=于，D为棱B, 上的一点 (1)求证：AB⊥AC: (2)若平面AABB⊥平面ABC,且二面角A-AD-C的余 弦值为②团，求BD的长 数学试愿第3页（共4页） 18.(17分) 某网店发现其某款商品的销售量与该店在购物 4前四盛 平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更 多的顾客购买该商品，在APP上推出了A和B两款 4.0 3.5 互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券 3.0 下图是该商品销售量y(单位：千件)与日访问量x 2. 2.0 (单位：万人次)的散点图： (1)求出y关于x的回归方程y=x+a,并预 剥日访问量12万人次时销售多少千件商品： 7 8910日明丽景 (2)A款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客 每次挑战都有；的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优恋券，如果挑战 失败，可继续挑战：每位顾客共有n次挑战机会，第n次无论成功与否都结束游戏.设X 为游戏结束时，进行挑战的次数，X的数学期望为E(为，正明：E(X门<3： (3)B款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有n个小球，编号为1,2，，n,参与者从 中随机抽取k个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取k个小球，记被重复抽取的小球 数为Y,并向参与者发放Y张优惠券，求使P(Y=m)取得最大值时的m值. 参考数据： 之%=15，之=124. 参考公式：回归方程y=bx+a中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 2M-m网 6= a=y-6. 2 19.(17分) 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d,且IOP=1+d2,其中入，均为 常数，动点P的轨迹称为（几，）曲线 (1)若（亿，）曲线为双曲线，试问1，μ应满足什么条件？ (2)设曲线C为L,月曲线，点4()是C上位于第一象限的一点，点AB关于 原点O对称，点4D关于y轴对称.延长AD至E,使得DE1ADI,且直线BE和 曲线C的另一个交点G位于第二象限内. ()求，的取值范围： ()设直线OA斜率为k,直线AG斜串为飞，判断k与k的关系，并求k+k的 取值范围. (长卷三模)数学试题第4页（共4页）