精品解析：天津市武清区黄花店中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2025 年3月高一数学第一次月考试卷 一、单选题(每题4分) 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果等于（ ） A B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，且，则（ ） A B. 1 C. D. 2 4. 在△ABC中，若，则C的值为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（ ） A. 120° B. 150° C. 45° D. 60° 6. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，，EF∥BC，EF交AC于F，设，则等于（ ） A. B. C D. 8. 已知平面向量，满足，，，则 A B. C. D. 9. 中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，那么（ ） A. B. 或 C. D. 10. 在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题(每题5分) 11. 若向量，且，则______． 12. 若，则____________. 13. 在边长为6的正中，若点满足，则__________. 14. 已知，的夹角为，则使向量与的夹角为锐角的的取值范围是____. 15. 若，是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于__________． 16. 如图，某景区的山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角；从B处攀登3千米到达D处，回头看索道AC，发现张角；从D处再攀登4千米到达C处，则索道AC的长为___________千米. 三、解答题 17. 已知复数，其中为虚数单位. （1）当实数取什么值时，复数是虚数； （2）若复数，求实数的值. 18. 平面内给定三个向量，，. （1）求； （2）求； （3）若，求实数k. 19. 已知内角的对边分别是，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的面积． 20. 在中，内角所对的边为，满足. （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年3月高一数学第一次月考试卷 一、单选题(每题4分) 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算直接求解. 【详解】∵， ∴. 故选:A． 2. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量加法法则及相反向量计算即可. 【详解】， 故选：B. 3. 已知向量与的夹角为，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量数量积定义即可求解. 详解】由，则，， 又向量与的夹角为， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4. 在△ABC中，若，则C的值为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理可将变形为 考点：正弦定理 5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（ ） A. 120° B. 150° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 又， 所以. 故选：B. 6. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第一个向量在第二个向量上的投影，等于两向量的数量积除以第二个向量的模，根据题意即可计算得解． 【详解】，与的夹角为， ， ， 在方向上的投影为． 故选：． 【点睛】本题考查两向量数量积的几何意义，属于基础题． 7. 在△ABC中，，EF∥BC，EF交AC于F，设，则等于（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知，，，利用平面向量的加法法则计算化简即可． 【详解】，又∵EF∥BC， 故选：A 8. 已知平面向量，满足，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得，然后求解向量的模即可. 【详解】由题意可得：， 且：，即，，， 由平面向量模的计算公式可得： . 故选：B. 9. 中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，那么（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意和正弦定理求出，再由内角的范围和边的关系求出． 【详解】由题意得，，，， 由正弦定理得，，则， 因为，， 所以或， 故选：B． 10. 在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得，进而利用面积公式求解. 【详解】解：∵，∴ ∴， ∵， ∴，∴， ∴， 故选：D. 二、填空题(每题5分) 11. 若向量，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可. 【详解】由，及，得，所以， 故答案为： 12. 若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再利用共轭复数的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 13. 在边长为6的正中，若点满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】以、作为一组基底表示出、，再根据数量积运算律计算可得. 【详解】因为，所以， ， 所以 . 故答案为： 14. 已知，的夹角为，则使向量与的夹角为锐角的的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，进而结合向量运算得，解不等式得或，再考虑与共线同向时，，进而可得答案. 【详解】因为与夹角为锐角， 所以，即， 因为，的夹角为 所以 ，解得或. 当与共线同向时，， 故的取值范围是 故答案为： 15. 若，是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据向量共线定理即可得到答案. 【详解】由题意三点共线，则向量与向量共线，所以， 又由，则， 所以，所以. 故答案为：0. 16. 如图，某景区的山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角；从B处攀登3千米到达D处，回头看索道AC，发现张角；从D处再攀登4千米到达C处，则索道AC的长为___________千米. 【答案】 【解析】 【分析】在中根据，求出，利用内角和定理算出，从而千米，利用余弦定理算出．然后在中，根据两边、长和夹角，利用余弦定理解出值，从而得出． 【详解】解：在中，千米，， 得中，千米，（千米） 在中，千米， （千米） 千米． 故答案为：． 三、解答题 17. 已知复数，其中为虚数单位. （1）当实数取什么值时，复数是虚数； （2）若复数，求实数的值. 【答案】（1）且（2）或 【解析】 【分析】（1）将解出即可 （2）由得，然后解出方程组即可 【详解】（1）由题意得，解得且 当且时，复数是虚数. （2）， 可得， 即，解得或 【点睛】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部对应相等. 18. 平面内给定三个向量，，. （1）求； （2）求； （3）若，求实数k. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量夹角的坐标公式即可求解； （2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解； （3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 解：因为，， 所以，，， 所以； 【小问2详解】 解：因为，，所以， 所以； 【小问3详解】 解：因为，，， 又， 所以，解得. 19. 已知的内角的对边分别是，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的面积． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）将已知条件变形，借助于余弦定理可求得的大小； （Ⅱ）由与解方程组可求得的值，进而利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）依题意： （Ⅱ）由余弦定理得： 即：， ，即 20. 在中，内角所对的边为，满足. （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得 ，解得； （2）由余弦定理和基本不等式得，进而的面积的最大值． 【详解】（1）由正弦定理和可得： ，又 因为为三角形内角，即， 故，， ∵，∴ （2）由条件得， 故，即，当且仅当时等号成立， 故的面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$