8.4.1 平面（2课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.4 空间、点、直线平面之间的位置关系 8.4.1 平面 1 前面我们从对空间几何体的整体观察入手，以直观感知的方式， 研究了它们的结构特征。我们知道点、线、面是构成立体图形的基本元素。 为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置 关系进行研究。 本节我们先研究平面的基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面 之间的位置关系。 情景导入 生活中有哪些事物给我们以平面的形象？ 平静的湖面 平整的纸张 教室里的桌面、黑板面、 墙面、地面 情景导入 一.平面的概念： 　　光滑的课桌面、黑板面、平静的湖面等都给我们以平面形象，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的。 二.平面的特征： 　　几何里的平面是绝对平滑，无限延展（不计大小），不计厚薄的。 新知探究 判断下列各题的说法正确与否： 1、黑板面是平面； ( ) 2、平面有边界； ( ) 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ) 4.两个平面叠加起来的厚度是一个平面厚度的两倍； （ ） × × × × 深化概念 平面的表示 （1）希腊字母：平面 、平面 、平面 等； （2）代表平面的平行四边形的四个顶点：平面 ； （3）代表平面的平行四边形相对的两个顶点：平面 、 平面 三、平面的画法与表示 画法与表示 平面水平放置 平面竖直放置 ___________________________________________________ ______________ 新知探究 三、点、线、面之间的位置关系及语言表述 图形语言 文字语言 符号语言 __________________________________________ 点在直线上点在直线 外 _____________________________________________________ 点在平面 内点在平面 外 新知探究 7 图形语言 文字语言 符号语言 _____________________________________________________ 直线在平面 内直线在平面 外 _______________________________________________ 直线与平面 相交于点 续表 新知探究 8 图形语言 文字语言 符号语言 ______________________________________________ 平面 与平面 相交于直线 __________ 续表 新知探究 9 思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 四、与平面有关的基本事实及推论 新知探究 基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． A C B 作用：确定平面的主要依据． 不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC” 也可以说成：“不共线三点确定一个平面” 符号语言：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 新知探究 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 11 思考2：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？ 在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上。 新知探究 基本事实2： 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内. A B l 作用：判断直线是否在平面内 符号语言： 新知探究 思考3：把三角尺的一个角立在课桌面上面，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交与一点B?为什么？ 想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线，由此我们得到又一个基本事实。 新知探究 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线   符号语言： P∈α，且P∈β则α∩β=l , 且P∈l 作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上． 交线是唯一的 P 新知探究 相交平面的画法 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面 挡住，通常把被挡住的部分画成______或不画，这样可使画出的图形 立体感更强一些，如图1和图2所示. 虚线 图1 图2 新知探究 16 三个推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 作用：三个推论和基本事实1都是确定平面的依据 新知探究 思考5：如图，用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两条细绳相交，就说明四条腿的底端在同一平面内，否则就不在同一平面内，你知道其依据是什么吗？ 新知探究 思考6：你能证明推论二和推论三吗？ 证明：如图，设点A是直线l外一点，在直线l上任取两点B、C 由基本事实一，A、B、C三点确定唯一的平面α， 由基本事实二，因为B、C都在平面α内，所以直线l在平面α内， 因此直线l和点A都在平面α内， 即经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。  新知探究 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 ①确定平面 ②使得两条相交直线都在平面内 m n  B A 新知探究 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 ①确定平面 ②使得两条平行直线都在平面内 a b  B A C 证明:设直线，由平行线的定义，，在同一平面内， 这就是说，过，有平面(如图). 设为直线上任意一点，则点不在直线上， 点和直线在过，的平面内. 由推论1，过点和直线的平面只有一个， 所以过平行直线，的平面只有一个 新知探究 空间图形 文字叙述 符号表示 平面的概念和特征 平面的画法和表示 平面的三个基本事实以及推论 课堂小结 课本第128页1、2、3、4题 课堂练习 第二课时 例1 求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 证明 可将原问题转化为“已知， ， .求证：直线，， 共面.” 证法一：因为，所以直线，可确定一个平面 . 因为，，所以 ， ，所以 . 所以直线，，都在平面 内， 所以直线，， 共面. 五、点、线共面问题 B C  A 新知探究 25 证法二：因为不在直线 上， 所以点和直线可确定一个平面 . 因为，所以 ， 又 ，所以 ，同理 ， 所以直线，， 共面. 新知探究 26 证法三：因为，， 三点不在同一条直线上， 所以，，三点可以确定一个平面 . 因为 ， ，所以 ， 同理 ， ， 所以直线，， 共面. 新知探究 27 解题感悟 证明点、线共面的常用方法 （1）纳入法：先由部分点、直线确定一个平面，再证明其他点、直线 也在这个平面内. （2）重合法：先说明一些点、直线在一个平面内，另一些点、直线在 另一个平面内，再证明两个平面重合. 新知探究 28 练习：已知直线，直线与，都相交，求证：直线，， 共面. 证明 ， 直线，确定一个平面，记为 ，如图. 设， ， 则，， ， ， ， 直线，， 共面. 新知探究 29 六、点共线问题： 例2.如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R. 求证：P，Q，R三点在同一条直线上． 新知探究 七、线共点问题： 例3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点． / 新知探究 一、点共线问题的证明思路：证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上； (2)选择其中两点确定一条直线（两平面的交线），然后证明其他点也在这条直线上． 二、三线共点问题的证明思路： （1）先说明两条直线共面且交于一点； （2）再说明这个点也在第三条直线上，从而将问题转化为证明点在线上问题。 总结提升 1. 如图所示，在正方体中，，分别是， 的中点. 求证： （1），，， 四点共面； （2），， 三线共点. 变式练习 33 求证： （1），，， 四点共面； 证明： 连接，， . ，分别是， 的中点， ， 又在正方体中，， ， ，，， 四点共面. 变式练习 34 （2），， 三线共点. 证明：延长与，由（1）知，，，四点共面，与 共面， 两条延长线必相交，设交点为 ，如图所示. 直线， 平面 ， 平面 . 同理 平面 . 又平面 平面 ， 直线，，， 三线共点. 变式练习 35 一、点、线共面问题：（1）纳入法，（2）重合法； 二、点共线问题（利用基本事实2） 三、三线共点问题（转化为点共线问题）。 课堂小结 谢谢观看 $$