精品解析：山西省长治市第六中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

山西省长治市第六中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷 命题人：刘斐 审题人：贾星 （考试时间：120分钟 满分：150） 一、单选题：本题共8个小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可. 【详解】∵，∴或， 若，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，集合，满足题意，故成立， 若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去， 综上所述，． 故选：B． 2. 已知为锐角，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 3. 在中，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为的中点得到，再由，即可求解； 【详解】因为，所以为的中点，所以． 又，所以，所以， 所以， 所以，所以． 故选：C 4. 已知数列满足，，则的前6项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 5. 某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有， 故选：B 6. 某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用全概率公式及条件概率计算即可. 【详解】设事件“该教师为男教师”，事件“该教师为女教师”，事件“该教师为点赞教师”， 则， 又． 故选：C. 7. 设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，证明是以为直径的圆与圆的公共弦，求出点坐标，求出以为直径的圆的方程，求出直线的方程即可求解. 【详解】由知为中点， 所以，以为直径的圆过点， 故是以为直径的圆与圆的公共弦， 联立圆圆的方程，可解得， 当时，以为直径的圆的方程，与圆的方程相减，可得直线的方程为， 直线的斜率为，考虑对称性，直线斜率的另外一解为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明是以为直径的圆与圆的公共弦. 8. 已知对于，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将不等式利用指对同构转化为判断出，设，即原不等式转化为，再判断出在上单调递增，进而将不等式转化为参变分离得到对恒成立，令，求出的最小值即可. 【详解】不等式可转化为 因为，所以 设，则，在上单调递增， 又，所以 又，所以对恒成立，即 令，则由得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以则 故选：D. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则复平面内所对应的点位于第三象限 D. 已知，若关于的方程有实数根，则实数根必为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数乘法和复数模的定义计算可判断A；根据复数的定义可判断B；直接计算，由共轭复数和几何意义可判断C；由求根公式和复数为实数的条件计算可判断D. 【详解】记，则 所以，，故A正确； 虚数不能比较大小，故B错误； 因为，所以对于点为，C正确； 由求根公式得， 因为方程有实数根 所以，解得，当取时，，故D错误. 故选：AC 10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ） A. 所有可能的安排方法有64种 B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种 C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种 D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据分步计数原理计算出答案；B选项，先从4所医院选择2所，再安排三名专家，利用分步计数原理计算出答案；C选项，先从4所医院选择3所，再进行全排列得到C正确；D选项，再C选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A医院的安排方法，从而计算出答案. 【详解】A选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，A正确； B选项，先从4所医院选择2所，有种选择， 再将三名专家分到两所医院，有种选择， 则不同的安排方法有种，B错误； C选项，先从4所医院选择3所，有种选择， 再将三名专家和三所医院进行全排列，有种选择， 则不同的安排方法有种，C正确； D选项，由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择， 若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择， 故不同的安排方法有种，D正确. 故选：ACD 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式的各项系数之和为32，则_________ ，其展开式中的常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 ①. 5 ②. 10 【解析】 【详解】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；，常数项C＝10. 13. 已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】如图，设，根据勾股定理求得，，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】如图， ，则两两垂直. 作，垂足分别为，连接， 则， 所以为与的所成角，为与的所成角， 即，， 建立如图空间直角坐标系，设， 则，得， ，所以，取， 则，又， 所以，即与所成的角为. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 四、解答题：本题共5个小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分. 15. 两台车床加工同样的零件，第一台车床出现不合格品的概率是0.04，第二台车床出现不合格品的概率是0.08，将加工出来的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数量是第二台车床加工的零件数量的2倍． （1）求任取一个零件是合格品的概率； （2）若取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用全概率公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合对立事件的概率公式与条件概率公式即可得解. 【小问1详解】 设表示“第台机床加工的零件” ；表示“出现不合格品”；表示“出现合格品”， 则，，， ，， 所以 ． 【小问2详解】 由（1）得，， . 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及在区间上的最大值 （2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，最大值；（2）. 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案； （2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果. 【详解】（1）， 所以的最小正周期为. 因为，所以 于是，当，即时，取得最大值 （2）在中， ，，，. 由正弦定理，， ， ， ， . 17. 数列满足：，等比数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，试证明. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合，求得的通项公式，再由，可得，求得，求得，即可得到数列的通项公式； （2）由（1）求得，结合乘公比错位相减法，结合指数函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列满足，当时，， 所以 ， 当时，满足上式，所以数列的通项公式为， 又由，可得， 可得， 当时，，所以，解得， 此时适合，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由，，可得， 则， 可得， 两式相减，可得 所以， 因为，所以. 18. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故, 又平面，平面,所以平面； 连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点， M是的中点，在中，有，平面，平面, 所以平面，且平面，平面,, 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证平面，平面，再由面面平行的判定定理可证得结果； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求线面角，通过换元法转化为二次函数求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，设，， 则，又M是的中点， 故,，因为， 所以，解得，设，因点P为线段上一点， 则，即， 故，所以， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 即，设直线与平面所成角为， 则 当时， 设，，所以， 当时，所以， 当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】解决本题第二问关键是求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求出线面角正弦值的表达式，通过换元法转化为二次函数求最值. 19. 已知四数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； （3）当时，函数恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）讨论、、，根据函数值符号，且利用导数判断在上恒成立或的单调性，即可证结论； （3）问题化为在上恒成立，对求导，讨论参数，利用导数研究对应的单调性及其函数符号求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，又， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，，故恒成立； 当时，； 当时， 法一：令，则， 令，则，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以在上恒成立； 法二：恒成立，即在上单调递增，所以； 综上，函数只有一个零点为，得证； 【小问3详解】 由题意，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 而， 令，则， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 综上，，则，即在上单调递增， 所以， 当时，，即在上单调递增，此时，满足； 当时，，， 所以使，即存在区间使，不符合； （保号性：，，故必存在的情况，不符合；） 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意应用导数判断在上恒成立；第三问，问题化为在上恒成立为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省长治市第六中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷 命题人：刘斐 审题人：贾星 （考试时间：120分钟 满分：150） 一、单选题：本题共8个小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知为锐角，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 在中，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则的前6项和为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 6. 某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对于，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则复平面内所对应的点位于第三象限 D. 已知，若关于的方程有实数根，则实数根必为 10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ） A. 所有可能的安排方法有64种 B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种 C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种 D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式的各项系数之和为32，则_________ ，其展开式中的常数项为__________．（用数字作答） 13. 已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为___________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 四、解答题：本题共5个小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分. 15. 两台车床加工同样的零件，第一台车床出现不合格品的概率是0.04，第二台车床出现不合格品的概率是0.08，将加工出来的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数量是第二台车床加工的零件数量的2倍． （1）求任取一个零件是合格品的概率； （2）若取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率． 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及在区间上的最大值 （2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围. 17. 数列满足：，等比数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，试证明. 18. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 已知四数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； （3）当时，函数恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $