8.3完全平方公式与平方差公式（第2课时 平方差公式）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

8.3完全平方公式与平方差公式 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第8章 整式乘法与因式分解 第2课时 平方差公式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征.（重点） 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点） 情景导入 1. 由多项式乘法计算： （1）(3m + 1)(3m － 1)； （2）(x + 2y)(x －2y). 解（1）(3m + 1)(3m － 1) = 9m2 － 3m + 3m－1 = 9m2 －1 （2）(x + 2y)(x －2y) = x2 － 2xy + 2xy－4y2 = x2 －4y2 新知探究 请你根据上面多项式乘法的规律概括出 (a + b)(a－b)的计算公式. (a + b)(a－b) = a2－b2 这个公式称为平方差公式，用语言如何描述？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a + b)(a－b) = a2－b2 说一说 平方差公式有什么特点. （1）左边是两个数的和乘以这两个数的差. （2）右边是两个数的平方差. （3）公式中的 a，b 既可代表具体的数，还可代表单项式或多项式. 你能设计一个图形来说明上面公式吗？ a－b b b a－b 求下图中蓝色区域面积？ S = a2 － b2 = (a + b)(a－b) a + b (a + b)(a - b) = a2 - b2 说一说 平方差公式有什么特点. 左边是两个数的和乘以这两个数的差. 右边是两个数的平方差. 注 意 公式中的 a，b 既可代表具体的数，还可代表单项式或多项式. 利用平方差公式计算： （1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ； （3） (– m + n ) (– m – n) 。 解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2； （3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。 a b 总结:关键是先确定相同项“a”和相反项“b”。 例题讲解 例 1 利用平方差公式计算 （1）(– x – y)(– x + y)； （2）(ab + 8)(ab – 8) 。 解：（1）(– x – y)(– x + y)= (– x)2 – y2= x2 – y2； （2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。 例题讲解 例 2 例题讲解 例 3 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122 解：（1）103×97 =(100 + 3)(100 – 3) = 1002 – 32 = 9 991； （2）118×122 = (120 – 2)(120 + 2) = 1202 – 22 = 14 396。 (103+97)÷2=100 (118+122)÷2=120 你有什么发现? 变式练习 课本例3 利用乘法公式计算： （1）(－x + 3)(－x－3)； （2）1 999×2 001 . 解 （1）(－x + 3)(－x－3) = (－x)2 －32 = x2 －9 （2）1 999×2 001 = (2 000－1)×(2 000 + 1) = 2 0002－12 = 3 999 999 解：(1)10.3×9.7 ＝(10＋0.3)×(10－0.3) ＝102－0.32 ＝100－0.09＝99.91； (2)2 025×2 027－2 0262 ＝(2 026－1)×(2 026＋1)－2 0262 ＝2 0262－12－2 0262＝－1. 10.3与9.7的平均数为10 2 025与2 027的平均数为2 026 计算：(1)10.3×9.7；(2)2 025×2 027－2 0262. 解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算. 变式练习 课本例4 计算： （1）(a + b + c)2 ； （2）(a－b)3. 解（1）(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 +2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 例题讲解 计算： （1）(a + b + c)2 ； （2）(a－b)3. （2）(a－b)3 = (a－b)(a－b)2 = (a－b)(a2－2ab + b2) = a3－2a2b + ab2－a2b + 2ab2－b3 = a3－3a2b + 3ab2－b3 例题讲解 课本例5 利用乘法公式计算：(x + y + z)(x－y + z) . 解 (x + y + z)(x－y + z) = [(x + z) + y][(x + z)－y] = (x + z)2 －y2 = x2 +2xz + z2 －y2 例题讲解 课堂练习 1. 利用乘法公式计算： （1）(2a + 5b)(2a－5b)； （2） . 解 （1）(2a + 5b)(2a－5b) = (2a)2－(5b)2 = 4a2－25b2 （2） （3）(y－2x)(－2x－y)； （4）(xy + 1)(xy－1). （3）(y－2x)(－2x－y) = (－2x + y)(－2x－y) = (－2x)2－y2 = 4x2－y2 （4）(xy + 1)(xy－1) = (xy)2－12 = x2y2－1 2. 利用乘法公式计算： （1）598 × 602； （2）9992 . 解（1）598 × 602 = (600－2) × (600 + 2) = 6002 － 22 = 359996 （2）9992 = (1000－1)2 = 10002－2×1000×1 + 12 = 998001 3. 计算： （1）(a + b)3； （2）(x－1)3； （3）(a－b－c)2 . 解 （1）(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 3. 计算： （1）(a + b)3； （2）(x－1)3； （3）(a－b－c)2 . （2）(x － 1)3 = (x － 1)(x － 1)2 = (x － 1)(x2 － 2x + 1) = x3 － 2x2 + x + (－x2) + 2x － 1 = x3－3x2 + 3x－1 3. 计算： （1）(a + b)3； （2）(x－1)3； （3）(a－b－c)2 . （3） (a－ b－ c)2 = [(a － b) － c]2 = (a － b)2 － 2(a － b)c + c2 = a2 － 2ab + b2 － 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 － 2ab － 2ac + 2bc 4. 计算： （1）(2a + b + 1) (2a + b－1)； （2）(3x + y + z) (3x － y－z). 解 （1）(2a + b + 1) (2a + b－1) = (2a + b)2 －12 = 4a2 + 4ab + b2 －1 4. 计算： （1）(2a + b + 1) (2a + b－1)； （2）(3x + y + z) (3x － y－z). 解 （2）(3x + y + z) (3x － y－z) = [3x + (y + z)] [3x － (y + z)] =9x2 － (y + z)2 =9x2 － (y2 +2yz+ z2) =9x2 － y2 － z2 － 2yz 分层练习 基础题 1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( ) D A. B. C. D. 2.如图，在边长为 的正方形 中央剪去一个边长为 的小正方形 ，将剩余 C A. B. C. D. 部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 ( ) 3. 下列式子中，和 相乘能用平方差公式进行计算的 是( ) A A. B. C. D. 4. [2024池州期末] 下列各式中不能用平方差公式计算的是 ( ) B A. B. C. D. 26 5. [2024沈阳沈河区期末] 如图，将 大正方形通过剪、拼后分解成新的 图形，利用等面积法可验证某些乘 法公式，在给出的四种拼法中，其 中能够验证平方差公式的是( ) C A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 27 6. 已知，则 的值为( ) A A. 13 B. 8 C. D. 5 【点拨】因为 , 所以所以 . 所以 . 7.[2024·上海中考] 计算： ________. 8.已知，那么 ____. 9.[2024上海] 计算: ________. 10.若,,则 的值为___. 2 28 11.计算： (1) ； 解：原式 . (2) . 解：原式 ． 29 12.计算： (1) ； 解：原式 . (2) ； 原式 . 30 (3) ； 解：原式 ． (4) . 解：原式 . 31 综合应用题 13. 的计算 结果是( ) D A. B. C. D. 把2转化为 再计算. 14.[2024·芜湖月考] 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称 这个正整数为“创新数”，例如 ， ，故27，63 都是“创新数”.下列各数中，不是“创新数”的是( ) D A.31 B.41 C.16 D.54 因为 ， ， ，54不能表示成两个正整 数的平方差,所以31，41和16是“创新数”，而54不是“创新数”. 33 15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那 么称这个正整数为“完美数”，如 ， ，因此 12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是( ) D A. 20是“完美数” B. 最小的“完美数”是4 C. “完美数”一定是4的奇数倍 D. 小于30的所有“完美数”之和是60 34 【点拨】 ，因此20是“完美数”，所以选项A不符 合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小 为4，所以选项B不符合题意；设两个连续偶数为 ， （为整数），则 ， 所以“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为 ，因此选项D符合题意. 35 16.计算： ___________. 17.[2024·无锡期中] 如图，一个长 方形运动场被分割成、、 、 、共5个区，区是边长为 的正方形，区是边长为 的小 正方形.列式表示整个长方形运动场的面积为______________. 36 13.［整体思想］[2024·北京月考] 已知 ,求 代数式 的值. 解：原式 . 因为,所以 , 所以原式 . 37 18.先化简，再求值： ，其中， 满足 . 解： . 因为 ， 所以， ， 解得， ， 所以原式 . 38 19.（1）若实数满足 , 则 ________; 【点拨】因为 ,所以 .整理，得 ,即 .所以 . 39 （2）设,,则 的值为____, 的值为___; 52 4 【点拨】 ,① .② 将, 分别代入①②两式，得 , . 40 （3）已知， ，求下列各式的值： ① ; 【解】因为，所以 , 即 .③ 又因为 ,④ 所以，得，所以 . ② . . 41 创新拓展题 20. ［几何直观］某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造 了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种图形中能够验证“平方差公式”的有________；(填序号) 43 (2)【应用】利用“平方差公式”计算： ； 44 解： . 45 (3)【拓展】计算： . 46 原式 . 47 21. 阅读材料，解决问题. 小明遇到下面一个问题: 计算 . 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现 特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法 如下： 48 . 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下问题： （1） ________； 【点拨】原式 . 50 （2） _ _____； 【点拨】原式 . 51 （3）化简： . 【解】当 时，原式 52 ； 当 时，原式 . 1. 计算： （1） ； （2） . 解 （1） 习题 （2） 1. 计算： （1） ； （2） . （1） (2m + 3n)(2m－3n)； 2. 计算： （2） ； 解（1） (2m + 3n)(2m－3n) = (2m)2－(3n)2 = 4m2－9n2 （2） （3）(－4x + y)(y + 4x)； （4）(x + y)(x－y) + (y－z)(y + z)－(x + z)(x－z) . （3）(－4x + y)(y + 4x) = (y－4x)(y + 4x) = y 2－(4x)2 = y 2－16x 2 （3）(－4x + y)(y + 4x)； （4）(x + y)(x－y) + (y－z)(y + z)－(x + z)(x－z) . （4）(x + y)(x－y) + (y－z)(y + z)－(x + z)(x－z) = x 2 －y 2 + y 2－z 2－(x 2－z 2) = 0 3. 计算： (a－2b－3)(a + 2b + 3) . 解 (a－2b－3)(a + 2b + 3) = [a－(2b + 3)][a + (2b + 3)] = a2－(2b + 3)2 = a2－(4b2 + 12b + 9) = a2－4b2－ 12b－ 9 4. 先化简，再求值： (5y + 1)(5y－1)－(5y + 25y2)，其中 y = . (5y + 1)(5y－1)－(5y + 25y 2) = 25y 2 －12－5y － 25y 2 = －1－5y = －1－5× = －3 5. 解方程： （1） ； 解 （2）(x + 1)(x－1)－(x + 2)2 = 7 . (x + 1)(x－1)－(x + 2)2 = 7 x 2－12－(x2 + 4x + 4) = 7 －4x = 7 + 5 x = －3 2(x + 4)(x－4) < (x－2)(2x + 5) . 6. 解不等式： 2(x 2－16) < 2x 2 + 5x －4x－10 2x 2－32 < 2x 2 + x－10 －32 + 10 < x －22 < x x >－22 （1）[( ) + ( )]2 = 4x2 + ( ) + 9y2； 7. 填空： （2）[x + ( )][x + ( )] = x2 + ( ) + 6； （3）x2 + 3x + ( ) = (x + )2 . 2x 3y 12xy 2 3 5x 8. 如果多项式 4x2 + 1 加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方，那么这个单项式是什么？ 解：(2x)2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 答：这个单项式是 ±4x 或4x4. (2x)2－4x + 1 = (2x－1)2 4x4 + 4x2 + 1 = (2x2 + 1)2 9. 一个圆的半径为 r cm，若半径减少 2 cm，那么这个 圆的面积减少多少？ πr2－π(r－2)2 = π[(r2－(r2－4r + 4)] = π(4r － 4) = 4π(r － 1) 答：这个圆的面积减少4π(r － 1) cm2. 平方差公式 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 (a+b)(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 符号表示 注意 内容 课堂小结 原理:等面积法 简便运算 方法:用不同方法表示 同一图形的面积 混合运算 平方差公式 验证公式 应用 课堂小结 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$