7.2 离散型随机变量及其分布列（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7．2 离散型随机变量及其分布列（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）理解随机变量及离散型随机变量的含义． （2）掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质． （3）理解两点分布． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生已经全面学习了统计概率与排列组合，有了知识上的准备；并且通过古典概率的学习，基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率，有了方法上的准备，但并未系统化．学生将在学习概率的基础上，利用计数原理与排列组合知识求古典概型的概率，这是本节的难点，主要是分清概率类型，计算随机变量取得每一个值时的概率．此外，学生还需要注意是放回抽样还是不放回抽样． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：离散型随机变量的概念及其分布列． 教学难点：会写出随机变量的取值以及随机试验的结果；分布列的求法和性质的应用． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环（含7环）以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0．1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列．你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？ 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．随机变量的概念及分类 问题1：（1）某人在射击训练中，射击一次，命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ （2）篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ （3）掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ （4）抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？ 【破解方法】（1）试验结果：命中1环，命中2环，…，命中10环，用数值表示试验结果：1，2，…，10． （2）投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分． （3）共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果． （4）掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上． 问题2：我们发现，有些随机试验的样本点与数值并没有直接关系，这时我们需要采取适当的方法建立起样本点与实数的联系．例如在随机抽取一件产品时，有 “抽到正品” 和 “抽到次品” 两种可能的结果．你能建立样本点和实数之间的对应吗? 【破解方法】对于任何一个随机试验，总可以把它们的每一个样本点与一个实数对应，即通过引入一个取值依赖于样本点的变量，来刻画样本点与实数的对应关系，实现样本点的数量化．因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量的取值也具有随机性． 【归纳新知】 （1）随机变量 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量． （2）离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值． 离散型随机变量的特征： （1）可以用数值表示． （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值． （3）试验结果能一一列出． （3）随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 2．离散型随机变量的分布列 问题3：掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 【破解方法】列成表的形式 X 1 2 3 4 5 6 P 【归纳新知】 （1）离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列，简称为分布列． （2）可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 问题4：类比函数的研究过程，在引入随机变量概念，定义离散型随机变量的概率分布列并对分布列做出表示后，你认为接下来应该研究什么? 【破解方法】先由学生根据概率的性质，结合具体的实例，小组讨论探究获得离散型随机变量的分布列的性质． 【归纳新知】 离散型随机变量的分布列的性质 （1）； （2）． 两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：两点分布 【典例1-1】一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义，求X的分布列． 【解析】根据X的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，则 ，． 则X的分布列为： X 0 1 P 【典例1-2】在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？ 【解析】若随机变量只取有限多个或可列无限多个值，则称为离散型随机变量， 在某项体能检测中，跑时间不超过为优秀，某同学跑所花的时间是连续的， 所以某同学跑所花费的时间不是离散型随机变量，而是连续型随机变量； 如果只关心是否优秀，只需要定义一个两点随机变量就可以了，如下： ，此时是离散型随机变量，它仅有两个取值，其中表示优秀，表示不优秀． 【变式1-1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0．7，求他罚球1次的得分的分布列． 【解析】先确定随机变量可能取法，再分别求对应概率，最后列表可得分布列，也可根据二点分布直接得分布列 试题解析：解　设此运动员罚球1次的得分为ξ，则ξ的分布列为 ξ 0 1 P 0．3 0．7 （注：ξ服从二点分布） 题型二：用随机变量表示事件的结果 【典例2-1】举出两个离散型随机变量的例子． 【解析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数； （2）某公共汽车站1分钟内等车的人数； 【典例2-2】下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）抛掷2枚骰子，所得点数之和； （2）某足球队在5次点球中射进的球数； （3）任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差． 【解析】（1）抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12． 2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11； 3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21； 4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31； 5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41； 6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33； 7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43； 8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44； 9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54； 10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55； 11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65； 12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66． （2）某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为0，1，2，3，4，5 0表示5次点球中射进0球； 1表示5次点球中射进1球； 2表示5次点球中射进2球； 3表示5次点球中射进3球； 4表示5次点球中射进4球； 5表示5次点球中射进5球． （3）任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示． 题型三：求离散型随机变量的分布列 【典例3-1】某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示．             等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及． 【解析】X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5， “不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“优”． 根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表所示． X 1 2 3 4 5 P ． 【典例3-2】一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 【解析】设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2，根据古典概型的知识，可得X的分布列为 ，，． 用表格表示X的分布列，如表所示． X 0 1 2 P 【变式3-1】抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列． 【解析】由已知，抛掷一次一枚质地均匀的硬币， 正面向上的概率为 记正面向上的次数为，则可取0，1，2， ， ， ， 所以正面向上的次数的分布列为： 0 1 2 题型四：分布列的性质及其应用 【典例4-1】已知随机变量满足，，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，解得，则， 所以． 故选：A 【典例4-2】某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 0．2 0．3 0．15 0．45 试说明该同学的计算结果是否正确． 【解析】根据分布列的性质可知： 分布列中所有概率之和等于1， 而题目中， 所以该同学的计算结果不正确． 环节四：小结提升，形成结构 问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）为什么要引入随机变量概念？ （2）为什么要研究离散型随机变量的分布列？ （3）根据本课所举的例题，你能归纳出求离散型随机变量分布列的一般步骤吗？ （4）分布列的性质在解决概率问题中能起到什么作用? 【破解方法】学生独立思考总结，然后进行回答，教师适当予以引导，师生共同总结． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 故，A正确， 其他选项，均不合要求． 故选：A 2．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 则，解得， 即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为． 故选：B． 3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】由题意知，甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 其中甲得3分，有两种情况： 甲赢一局输两局，甲得分为3分； 甲、乙平局三次，甲得分为3分． 所以{ξ＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 故选：D． 4．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故． 故选：B． 5．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球的概率 【答案】B 【解析】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求 故选：B 6．张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯． （1）写出随机试验的样本空间； （2）设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件． 【解析】（1）设在一个路口遇到红灯记为1，遇到绿灯记为0，用表示他经过四个路口所遇到红绿灯情况，其中表示第个路口的情况，则随机试验的样本空间 ， ，，，， （2）设他可能遇到红灯的次数为X，则的可能取值为、、、、； 表示 表示 表示 表示，，，， 表示 7．某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为： X 6 7 8 9 10 P 0．05 0．15 0．25 0．35 0．20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？ 【解析】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9、10环， 其概率为P＝P（X＝9）+P（X＝10）＝0．35+0．20＝0．55， 故他射击一次为优秀的概率是0．55． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第60~61页习题7．2 第1、3、4、5题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 在本节课的教学中，通过具体实例和情境创设，成功地激发了学生的学习兴趣和积极性。通过小组学习和合作交流，学生之间的互动和合作也得到了加强。然而，在教学过程中也发现了一些问题，如部分学生对随机变量的概念理解不够深入，对分布列的求法和性质的应用存在困难等。针对这些问题，需要在今后的教学中进一步加强引导和练习，帮助学生更好地掌握所学知识。 10 / 10 京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$