检测内容：第一章 直角三角形的边角关系（单元清）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

检测内容：第一章　直角三角形的边角关系 得分________　卷后分________　评价________ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题2分，共20分) 1．下列三角函数中，结果为的是( D ) A．cos 30° B．tan 30° C．sin 60° D．cos 60° 2．在如图所示的方格网中，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan ∠ACB的值为( A ) A． B． C． D．3 　　　　　　 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝8，AC＝6，则cos A的值为( D ) A． B． C． D． 4．如图，已知一座高AB＝6 m的过街天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为( A ) A．10 m B．8 m C．6 m D．5 m 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则sin A的值为( D ) A． B． C． D． 6．如图，点P在第二象限，OP与x轴负半轴的夹角是α，且OP＝10，tan α＝，则点P的坐标是( B ) A．(6，8) B．(－6，8) C．(－8，6) D．(－6，10) 7．一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知AB＝4 m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为( A ) A．(4＋4sin α)m B．(4＋4cos α)m C．(4＋)m D．(4＋)m 8．一个高1 m的正方体木箱沿坡角为α的斜面下滑至如图所示位置时，AB＝2 m，则此时木箱的端点D距地面的高度为( C ) A．(2tan α＋cos α)m B．(2tan α＋sin α)m C．(2sin α＋cos α)m D．(2sin α＋tan α)m 　　　　 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P(1，1)，则tan ∠OAP的值为( C ) A． B． C． D．3 10．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan ∠BDE的值是( A ) A． B． C． D． 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．已知∠α为锐角，且cos (90°－α)＝，则∠α＝__45°__． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，若AB＋AC＝6，则AC＝__2___． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，点B(0，3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则sin ∠BCO＝____． 　　　　　　 14．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明的眼睛与地面的距离AB＝1.7 m，视线AD与水平线的夹角为α，他与篮板底的距离BC＝5 m，若tan α＝0.3，则点D到地面的距离CD＝__3.2__m. 15．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过它的顶点C，交边AB于点D，若sin B＝，S△OCD＝6，则k的值为__4__． 16．在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos (α＋β)的值为____． 三、解答题(共82分) 17．(6分)计算： (1)2tan45°－－2sin260°＋； 解：原式＝2×1－－2×()2＋ ＝2－2－＋ ＝0　　(2)tan60°－(4－π)0＋2cos30°＋()－1. 解：原式＝－1＋2×＋4 ＝－1＋＋4 ＝2＋3 18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，∴b＝＝＝2，sin A＝＝＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30° 19．(8分)如图所示的是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4 m，BC＝1.26 m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75) 解：延长CD交AE于点F，则四边形BCFE为矩形，∴CF＝BE，EF＝BC＝1.26 m．又∵在Rt△ACF中，AF＝AC·sin ∠ACF＝10.4sin 70°≈9.78(m)，∴AE＝AF＋EF≈9.78＋1.26≈11(m)，∴楼AE的高度约为11 m 20．(8分)某段公路修建过程中需要经过一座小山，如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处同时施工(A，C，D共线).测得∠CAB＝30°，AB＝4 km，∠ABD＝105°，求BD的长． 解：过点B作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4 km，∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝2 km.又∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2 km，∴BD＝＝＝2 (km) 21．(8分)如图，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30 m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10 m到达B处时，测得∠EBC＝48°，若仪器的高度忽略不计，求广告牌ED的高度(结果保留小数点后一位)(参考数据：≈1.732，sin 48°≈0.743，cos 48°≈0.669，tan 48°≈1.111)． 解：∵在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝30 m，∴CD＝AC·tan ∠DAC＝30tan 30°＝30×＝10(m).又∵在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，BC＝AC－AB＝30－10＝20(m)，∴EC＝BC·tan ∠EBC＝20tan 48°≈20×1.111＝22.22(m)，∴DE＝EC－DC≈22.22－10≈4.9(m)，∴广告牌ED的高度约为4.9 m 22．(10分)如图，AB为东西走向的滨海大道，小莉沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动．小莉在点A处时，某艘海上观光船位于小莉北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200 m．当小莉沿滨海大道向东步行200 m到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小莉的正北方向，求观光船从C处航行到D处的航程(结果保留一位小数，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48). 解：根据题意可得AG∥DE∥HB，∴∠ACB＝∠CAG＝68°，∠D＝∠DCH＝40°，∴在Rt△ABC中，AB＝BC•tan ∠ACB＝200tan 68°≈496(m).过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE为矩形，∴CF＝BE＝AB－AE≈496－200＝296(m)，∴在Rt△CDF中，CD＝≈≈462.5(m)，∴观光船从C处航行到D处的航程约为462.5 m 23．(10分)某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6 m，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5 m的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°(点A，D与点N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN(结果精确到1 m，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)． 解：根据题意可知AD＝BE＝3.5 m, 延长BC交MN于点H，则四边形DEHN为矩形，∴HN＝DE＝1.6 m．设HE＝x m，∵在Rt△MEH中，∠MEC＝45°，∴MH＝EH·tan ∠MEC＝tan45°x＝x(m)，∴在Rt△MBH中，tan ∠MBH＝＝≈0.65，解得x≈6.5，∴MH≈6.5 m，∴MN＝MH＋HN≈6.5＋1.6≈8(m)，∴电池板离地面的高度MN约为8 m 24．(12分)如图①是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图②是该图的平面示意图，路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2 m，折臂底座CD＝1.5 m，上折臂AE＝5 m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝75°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，求路灯AB的高(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449). 解：过点E分别作EF⊥AB于点F，EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，则四边形EFBG和四边形CDHG都是矩形，∴EF＝BG，DH＝CG，EG＝BF，HG＝CD＝1.5 m，∠HDC＝90°，EF∥DH，∴∠FED＝∠EDH＝∠EDC－∠CDH＝135°－90°＝45°，∴∠AEF＝∠AED－∠DEF＝75°－45°＝30°，∴在Rt△AEF中，AF＝AE＝2.5 m，BG＝EF＝AE·cos ∠AEF＝5cos 30°＝5×＝(m)，∴DH＝GC＝BG－BC＝(－2)m，∴在Rt△EDH中，EH＝DH·tan ∠EDH＝(－2)tan 45°＝(－2)(m)，∴AB＝BF＋AF＝EG＋AF＝EH＋HG＋AF＝－2＋1.5＋2.5＝＋2≈6.3(m)，∴路灯AB的高约为6.3 m 25．(12分)王刚同学为测量河对岸的大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2 m到达斜坡上的D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比i＝1∶3(点E，C，B在同一水平线上)． (1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度； (2)求大树AB的高度(结果保留根号)． 解：(1)过点D作DH⊥CE于点H，由题意知CD＝2 m，＝，设DH＝x m，CH＝3x m，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2)2，∴x＝2，∴DH＝2 m，CH＝6 m，∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2 m (2)过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a m，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2 m，DG＝BH＝BC＋CH＝(a＋6) m．∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝a m，∴AG＝AB－BG＝(a－2) m．∵∠ADG＝30°，＝tan ∠ADG＝tan 30°＝，∴＝，∴a＝6＋4，∴AB＝BC＝(6＋4)m，∴大树AB的高度是(6＋4)m 学科网（北京）股份有限公司 $$